高考数学复习点拨 阐释回归分析的基本思想

高考数学复习点拨阐释回归分析的基本思想
在客观世界中，变量间总是相互联系、相互依存的。

变量之间的关系大致可以分为两类：一类是具有确定性的函数关系，另一类是非确定性的关系。

非确定性的关系在统计学中称为相关关系。

回归分析就是通过分析、判断来确定相关变量之间的内在关系的一种统计方法,即寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

1 相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系。

不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

2 散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图，散点图形象地反映了各对数据的密切程度。

3 求回归直线方程的思想方法：
设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数，
则，于是得到各个偏差
，
显见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。

记
上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，采用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值，即
其中。

4 随机误差：当样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上时，可用下面的线
形回归模型来表示：
y=bx+a+e
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。

5 相关系数：对于任何给定的一组样本(x i y i)( i =1,2,…n )都可以用最小二乘法建立起一个线
性回归模型，相应地就可以得到一条回归直线。

但是，这样的一条回归直线并不是总有意义的，只有当变量X与Y之间确实存在某种因果关系时，其回归直线才有意义。

统计学中要确定变量X和Y之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检验。

相关系数记作r，它能够较精确地描述两个变量之间线性相关的密切程度。

当r>0时称Y与X正相关；当r<0时称Y与X 是负相关。

6线性回归模型的残差原因：
第一是所选择的数学模型不适合，变量间不是线性关系而建立了线性模型；第二是模型中所包含的自变量数目不合适，或是遗漏了某些重要的影响因素，或是包含了不必要的其他因素等。

一般地，残差平方和越小的模型，拟和的效果越好；类似地，还可用R2来比较两个模型的拟和效果，R2越大，模型的拟和效果也越好。

7建立回归模型的步骤：
（1）确定研究对象，明确解释变量、预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察是否存在线性关系等；
（3）确定回归方程的类型；
（4）按一定的规则估计回归方程中的参数；
（5）得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则探明原因。