北京名师破解高考数学

故排除 ( A )
把 x 2.5代入不等式 , 左 1 , 右 1
11
9
不等式不成立 , 故排除 ( D )
把x
6 代入不等式
,左 3
6 52 6
3 6
右 6 2 5 2 6 不等式不成立 6 2
6x0x2.5
排除 (B,)选(C)
解法2：考虑方程 3 x 2 x , 3 x 2 x
方程 f ( x ) x 0 的两个实根 x 1 , x 2 满足
第二讲
方程的根与不等式的解；方程的根 与因式
1（. 1995）
x 0
不等式组
3 x 3 x
2 x 的解集是 2 x
( A)x 0 x 2 ( B )x 0 x 2.5
(C ) x 0 x 6 ( D )x 0 x 3
解法 1 : 把 x 2代入不等式 , 不等式成立 ,
1
( 1
)
y1
( 1
)
y2
( 1)
设t 1 ,则 1 t 1 1
于是定比分点公式又可 以表示为
x y
tx 1 ty 1
(1 (1
t)x2 t)y2
（t R)
本题中，设
x y
x1 (1 f（x1 )
)x
(1
2
)
f
(
x2
)
则点P（x, y）是以P1( x1, f ( x1)), P2( x2 , f ( x2 ))
把上述n 1的等式相加，得 2( x2 x3 xn1 xn ) 2( x1 x2 x3 xn2 ) xn1 于是2xn1 2xn 2x1 xn1 即xn1 2xn 2x1
于是2
Lim
n
xn
Lim
n
xn1
2 x1
即6 2x1, x1 3
点评：解法的关键是要理解
(1)数列在按序排列好以后规律会呈现出来.
较深刻的理性认识，能够解释、举例或变 形、推断，并能利用知识解决有关问题。
（3）灵活和综合运用：要求系统地掌握知识 的内在联系，能运用所列知识分析和解决 较为复杂的或综合性问题。
例 1（ 20） 04
若函f(数 x)loag(x1) (a0,a1)
的定义域和0值 ,1， 域则 a等 都于 是
(A )1 (B )2 (C ) 2 (D )2
而推出的三点共线的充 要条件： 三点（ x , y ), ( x1, y 1), ( x 2 , y2 )共线的充要
条件是存在非零实数 , 使 1且 ( x , y ) ( x1 , y1 ) ( x 2 , y2 )来理解定比分
点公式，则解题中的生 命力更强 .
例3.(2005) f (x)是定义在 R上的以3为 周期的奇函数，f (2且) 0，
1
(
1 2
)
n
1
Lnimxn x1x31,即2x1x31 x1 3
点评 :解法的关键是,认识列只要有了通项公式,
可直接取极限而得 x 1的方程.
而从已知等式,建立猜想,是求通项的基础.
例5（2004）设a 0, b 0，则以下不等式中 不恒成立的是
( A)
(a
b)(
1
1 )
4
ab
(B) a 3 b3 2ab2
区间0,上单调.
解 (Ⅰ ). 1 x 2 ax 1
1 x 2 1 ax
1 ax 0
1
x2
1
2 ax
a2x2
x
1 a
x ( a 2 1 ) x 2 a 0
(1 )0
a
1 时： 0
x
2a 1 a2
( 2 ) a 1 时： x 0
综上得
a值
0a1
a1
北京名师破解高考数学
高考数学考试的内容与要求
高考数学科考试对知识的要求由低到 高分为三个层次,依次是了解、理解和掌握、 灵活和综合运用，且高一级的层次要求包 含低一级的层次要求。
（1）了解：要求对所列知识内容有初步 的、感性的认识，知道有关内容，并能在 有关的问题中直接应用。
（2）理解和掌握：要求对所列知识内容有
即ax3 bx2 cxd ax3 3ax2 2ax b3a 由于x2时, f(x)0 所以a0 于是b0,选A
点评：解法的主要是依根据与因式的关系
一元n次方程有根,则有因式 n; 反之有因x式,则是方程的.根
例 4 ．（ 1997 ）
设二次函数 f ( x ) ax 2 bx c ( a 0 ),
为端点的线段的内分点，定比为1 0,
而Q( x, f ( x))是曲线y f ( x)上的点， 且PQ x轴,由于f ( x) y,所以曲线呈下 凸状，如图，当等号线成立时，函数图象 即线段P1P2
Y
p
p2
y
p1
f(x)
Q
f(x)
x
0 x1 x x2
因此，选（Ａ）
点评：对定比分点公式 的理解是解题的 关键。 如果结合两向量平行的 充要条件
故a 0.618b或a b,不等式(B)成立, 0.618b a b,不等式(B)不成立,
于是ba
2 a 3,b
4 a 5,b
7 a 10,b
8 a 10,b
9 10
不等式不成立。
点评 :本题中涉及了研究不等式的诸多基本方 法,特别是对不等式(B),要想彻底搞清楚,就 要求出它成立的充要条件,这里就要使用作 差、分解因式、判断因式符号等基本方法， 而对a,b的理解又起着重要作用．
(2)若 Lim n
xn存在,
则
Lim
n
xn2
Lim
n
xn1
Lim
n
xn
解法 3：
由
xn
1 2
(
x
n1
x n 2 ) 猜想存在常数
,
使 x n x n1 ( x n1 x n2 )
即 x n (1 ) x n1 x n2
与已知等式比知
1
1 2
1 2
1 2
于是
x n x n 1 是以
x 1 为首项， 2
1 为公比的等比数列，即 2
xn
x n1
(
x1 )( 2
1 )n1 2
x1 (
1 )n1 2
x2
x1
x1(
1 )1 2
x3
x2
x1(
1 )2 2
x4
x3
x1(
1 )3 2
xn
x n1
x1(
1 )n1 2
相加
xn x1
x1(
1 3
)
1
(
1 2
)
n
1
xn
x1
x1 3
2
2
故f () 2
0
f
(
2n 2
1
)
0(n 2)
于是 f ( 3 ) 0, f ( 9 ) 0
2
2
综上知，f (x) 0在0,6内至少有
1,2,3,4,5, 3, 9等7个根. 22
点评：解好本题的关是键要理解：奇函数
与周期性相综合，会致导f (2n1) 0 2
例（4 2005）
交点（0，1),在y轴右侧直线总在曲线(2)
上方,故解集为0,;0 a 1时,直线(2)
与曲线有两个交点,横坐标分别是x1 0,
x2
2a 1 a2
,
故解集为0,
2a 1 a2
1
解（ Ⅱ ）： f ( x ) (1 x 2 ) 2 ax
f
( x )
1
(1
x
2
)
1 2
1
(1
x 2 )
(a b)(a2 ab b2 )
(a b)a (
5 2
1)b
a
(
5 2
1)b
a 2 ab b 2 0
a b 2

5b
(
b
2
5 )b
(
5 1 )b 2
a ( 5 1 )b 0 2
a 3 b 3 2ab 2与 (a b )( a 0.618 b )同号
例 3 （2000） 已知函数 f ( x ) ax 3 bx 2 cx d 的图象，如图所示，则
y
0 12 x
(A)b( ,0) (B)b(0,1) (C)b(1,2) (D)b(2, )
解：由图象知，方程 f ( x ) 0有三个根 x1 0, x2 1, x3 2, 于是 f ( x )有因式 x 0, x 1, x 2. 故 ax 3 bx 2 cx d ax ( x 1)( x 2)
考查0,2, 6,2.5,3是不是方程的根， 易知0,2,2.5,3不是方程的根， 而0是方程的根 .此, 选(C )
点评：解法２的依据是，不等式的解区间的 端点若是有限的实数，则它应当是相应方 程的根或者是定义域的边界点．
2.(2000) 已知函数f (x) 1 x2 ax(a 0)
(Ⅰ)解不等式f (x) 1 (Ⅱ)求a的取值范围，使函数f (x)在
(C ) a2 b2 2 2a 2b
(D) a b a b
分析（A）
(a b)(1 1) 2 b a 2 2 b a 4
ab
ab
ab
且a b时等号成立.
(C) a2 b2 2 2a 2b (a 1)2 (b 1) 0
且a b 1时，等号成立,
Ｘ
因此x2 2 x1
即 x1 2
2
x1
解之 2 x1 4,故选（B）
点评：解法的关键是要理解“极限”的实质：
数列的极限是数列各项集中会聚的一 个“聚点”，在它的极小的范围内会聚了数列 几乎所有的项．
解法2 ：由已知得2x2 x1 2x3 x2 x1 2x4 x3 x2
2xn xn1 xn2
3
2
分析：已知函数g(x) x,有如下功能：
0,10,1
f (x)具备这个功能的充要条 件是y f (x) 图象与直线y x交于O(0,0), A(1,1)两点 即y f (x)图象过(1,1)点 于是1 loga 2, 故a 2,选(D)
点评：解好本题的关键是把握以下两点
（１）函数y=x具备把区间a,b映射为区
恒成立”的只有
f1 ( x)
0
1
f2 ( x)
0
1
f3(x)
1 0
f4 ( x)
1 0
(A) f1( x), f3 ( x)
(B) f2 ( x)
(C ) f2 ( x), f3 ( x)
(D) f4 ( x)
分析：定比分点公式
x
x1 x2 1
1
(1 )x1
(1 )x2
y
y1 y2 1
已知数列 xn满足 x2
x1 2
,
xn
1 2 ( xn1
xn2 )(n
3,4,), 若
Lim
n
xn
2, 则 x1等于
( A) 3 (B)3 (C )4 (D)5 2
解法1：把数列各项与数的轴点上一一对应，
由xn
1 2(xn1
xn2)知：第 n个“点”是
前两个点间线段的，中于点是
２
x1
０
x2 x4x5 x3
0 所以在
0, 上存在
x1
0, x2
2a 1 a 2 , x1
x2,但 f ( x1)
f (x2) 1
故0 a 1时，f (x)在0,上不单调。
综上知，所求a值为a 1. 点评：在讨论0 a 1时，函数是不是 单调时，再一次使用不了等式f (x) 1 解区间的端点是方f程(x) 1的根这一事实， 但这里的考查情境更杂复，更隐蔽.
解集
x0
x
2a 1a2
xx0
解的几何解释f：(x) 1 1 x2 ax1
设y 1 x2 y ax1
即y2 x2 1 ( y 1) (1)
y ax1
(2)
（１）的曲线是等轴双曲线的上支
（２）的曲线是过（０，１）的直线
y a 1a 1
0a1
1
0
2a
1 a2
x
由图知
a 1时，直线（2）与曲线只有一个
间a,b的功能
(2)要使函数 y f (x)也具备上述功能，
必须且只y须 f (x)在a,b上单调，
且f (a) a, f (b) b
例2 （200） 2 如图所示fi， (x)(i 1,2,3,4)
是定义在 0,1上的四个函数，其足中满 性质“对 0,1中任意的 x1和x2,任意0,1, f x1 (1)x2f (x1)(1) f (x2)
故a2 b2 2 2a 2b恒成立。
( D ) 若 a b , 不等式显然成立， 若 a b,则 a b a b
a b a b 2 ab a b ab 显然 a b 时 , 不等式也成立 . 故 a b a b 恒成立 .
(B) a3 b3 2ab2 (a3 ab2)(b3 ab2) a(a2 b2)b2(a b)
a
2
1
(1
x )2
1 2
2x
a
2
x
a
1 x2
当 x 0, 时 , x 0,1
1 x2
故 a 1时 , f ( x )在 0, 上恒负 , 于是 a 1时 , f ( x )在 0, 上单调递减 ;
当0 a 1时，由于 f ( x ) 1的解集是
0
,
1
2
a a
2
，且
2a 1 a2
在区间0,6内，方程 f (x) 0
的解的个数的最小_值__是_
分析f： (2)0周 期 3为 f(5)0 奇函数
f(2)0周 期 3为 f(1)0, f(4)0 R上的奇函 数 f(0)0周 期 3f(3)0
另外： f ( ) f ( （) 周期性）
2
2
f ( ) f ( （) 奇函数）