第八讲洛伦兹变换演示文稿
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即两事件的时序完全可能颠倒。
第9页，共42页。
但是,若小A，小B是一母所生,
而且母亲是位旅行家,在 x1、t1 生了小A, 在 x2、t2 生了小B。
这时时序就不应颠倒了！
Δ
t
(t2
t1 )
1
u c2
.
x2 t2
x1 t1
我们将上式中的
x2 x1 t2 t1
记作 vx ,
这时，它是有物理意义的：
1
u c2
vx
0
若 t2 > t1 , 则 必有t2 t1 .
即对这种情况,在飞船上看也是小A先出生， 两事件的时序没有颠倒。
第11页，共42页。
洛仑兹变换应用举例:
例1.已知S’系相对S系以 u = 0.6c 运动，有两个 无关事件，在S 系中测量； x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s 。
ut x
1 u2 c2
x x ut
x x
1 u2 c2
z z
第3页，共42页。
x x ut 1 u2 c2
…（1）
y’= y ……………（2）
z’= z ……………（3）
在S’ 系看：
x x的运动长度 ut
S系也在运动（-u）， x长度也有缩短效应:
x 1 u2 c2 ut
将（1）式 x，代入上式，
u
uv x c2
若 u << c， 由洛仑兹速度变换
伽利略速度变换：
v
v
u
讨论2. 在各惯性系中真空中的光速都是 c 。
第25页，共42页。
例1. 在S系中一束光 沿 x方向传播, 速率为 vx=c，
在S’系中，此束光的速率多大？
【解】
vx
vx u
1
uvx c2
cu
1
u c
c
2
S
c
c uc2 c c u
b 露在外面 15 m , 闪电会留下痕迹。（？）
思考：怎么结论不一样？问题出在哪里？
第18页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
由于地面系看,列车a 端与隧道A 端相遇与闪电 正击中隧道的 B 端是同时的， 但在 列车系中看就不是同时的了:
a，A相遇的事件先发生 B 处打闪的事件后发生（想一想。）
= - 1.54×10 -13 s
负号表示 t2’小,即车头先打闪，与重要规律一致。
注意1：当Δ t 0, Δ x 0 时，得 Δ t 0. 也同时！ 注意2：在例1中， x 与 x’ 不是静长与动长关系。
第15页，共42页。
例3 . 一列车以恒定速度 u 3c / 2 通过隧道， 列车的静长为20m，隧道的静长为10m。 从地面上看，当列车的前端 a 到达隧道 A端的 同时，有一个闪电正击中隧道的 B 端。
试问：（1）从地面参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
（2）从列车参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
第16页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
【解】设地面为 S 系，列车为 S’ 系， 在地面系S中看：列车的长度要缩短为
u2
( 3c / 2)2
x1 = 0, t1=0；
x2 = 3000 m, t2=410-6 s
1.25(3000 0.6c 4106 ) u = 0.6c
2850 m
t1 ( t1 ux1 / c2 ) 0 t2 (t2 ux2 / c2 ) 2.5 106 s
题意 t1 = 0, t2 >0
不可将速度的合成与速度的变换相混淆。
讨论4. 由洛仑兹速度变换， 进一步可得到加速度变换。
ax
dvx dt
( x、y、z)
结果a是x :addvtx
a
( x、y、z)
（略）
加速度在伽里略变换中是不变量； 在洛仑兹变换中不是不变量。
第31页，共42页。
附例1. 列车静长为 l0 ,以速度u 沿车身方向相对地面
l车 l车静 1 c2 20 1 c2
10 m
a与 A相遇时，b 恰好进入隧道， 闪电不会留下痕迹。
第17页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
在列车系S’中看：隧道的长度也要缩短
l隧 l隧 静 1 u2 / c2
10 1 ( 3c / 2)2 / c2 5 m l车 静 (20 m)
参考系S’中:飞船 A的速度
vx
vx 1
u
uv x c2
1
0.9c
0.9c c2
0.9c 0.9c
0.994c
A飞船相对与 B飞船的速度并没有超过光速。
第30页，共42页。
注意：从地面测量，二者相互离开的速度还是 1.8c 。
在同一个惯性系中，速度的合成法则由速度的 矢量性来决定，这与速度的高低毫无关系。
在S’系中：
v
x
d x d t
x, y, z
速度的变换关系，完全可以由洛仑兹 坐标变换导出
v
x
d x d t
d x dt
d t dt
d x u
dt
1
u c2
dx dt
x x ut (1 )
y y ( 2 ) z z ( 3 )
t
t
u c2
x
( 4 )
第22页，共42页。
vz
vz
1
uvx c2
0,
v2
v
2 x
v
2 y
v
2 z
u2
1
u2 c2
c 2
c2
光的速度方向发生了改变，但光的速率不变。
第28页，共42页。
讨论3. 两个物体之间的相对速度 不可能超过光速。
例.已知:在地面上测得,两飞船的速度 vA地= 0.9c vB地= - 0.9c
求: A飞船相对与 B飞船的速度。
c
S
u
（与 u无关！）
第26页，共42页。
例2. 在 S’系中一束光 沿 y’ 方向传播, 速率为 c，
在 S 系中，此束光的速率多大？
【解】 由洛仑兹速度逆变换公式
vx
vx 1
u
v x u c2
0u 1 0
u,
vy
vy
1
uvx c2
u2 1 c2
c
第27页，共42页。
vx u
u2 vy 1 c2 c
运动。若在车尾 B 处发一闪光，此闪光经车头A
处的反射镜反射后回到车尾 B。
在地面参考系测量：
b 端向左移动了一端距离：
Δ S u Δ t 3c 10 3 15 m 2c
前面隧道长度缩短，b 端露在外面的长度为15m, 在列车上看，由于时间差，b 端也正好进入隧道，
B 处打闪也没有在 b 端留下痕迹，结论相同！
第21页，共42页。
二、相对论速度变换
在S系中：
dx vx dt
x, y, z
而得 t1 0, t2 0
说明在 S’系中，这两无关事件 的时间顺序发生了颠倒。
第13页，共42页。
例2.已知:火车静长为 0.5 km,速度为 100 km/h, 地面观察者看到两个闪同时击中火车的头尾, 求:火车上的观察者看到这两个闪的时间差。
【解】事件1（击中车尾）:（x1 ,t1）,（ x2 , t2 ） 事件2（击中车头）:（x2 , t2）,（x2 , t2 ）
伽利略变换。 满足“对应原理”
这时可以认为时间不延缓,长度也不缩短。
2. 当 u c 时，洛仑兹变换无意义，
即两个物体之间的相对速度不能超过c。 c 为一切物体（参考系）的极限速率。
3. 时间和空间都与运动有关。 时间和空间紧密相连，两者构成统一的 四维时空。
第7页，共42页。
洛仑兹变换符合因果时序。
例. 事件P1: 张家生了个小A 事件P2: 李家生了个小B
在S系，S’ 系中的时空坐标为:
S : p1( x1，t1 ) p2 ( x2，t2 ) S : p1( x1，t1 ) p2 ( x2，t2 )
若在地面S系看,
张家小A先出生，
u
t2 - t1 > 0。
在飞船S’系看,
必然也是张家
小
小
小A先出生吗？
v
z
vz
1
uv x c2
注意：vx’, vy’,vz’ 都是
与 u、vx有关的。
第23页，共42页。
相对论速度逆变换：
将带’不带’ , 将 u - u
vx
vx 1
u
uv x c2
vy
vy
1
uv x c2
vz
vz
1
uv x c2
第24页，共42页。
讨论
讨论1. 满足“对应原理”
v
x
vx 1
第5页，共42页。
从S’系的时空向S系的时空变换的式子：
（只须将带’ 不带’ ；u -u）
x x ut ……………（1）
y y
……………（2）
z z
……………（3）
t
t
u c2
x
……………（4）
这称为洛仑兹 逆变换。
第6页，共42页。
说明：
1. 当 u<< c时， 1 ,洛仑兹变换过渡到
按题意
Δ t t2 t1 0
Δ x x2 x1 10m
1/
1
u2 c2
1/
1 (
3c / 2)2 c2
2
第20页，共42页。
由洛仑兹变换,计算两事件的时间差，
Δ t t2
t1
(Δ
t
u c2
Δ
x)
20
3c / c2
2
(10)
10 c
3
在这段时间差内，隧道的B 端相对于列车
x1t1
x2t2
x x
第8页，共42页。
根据 洛仑兹变换
Δ t
t2
t1
(t2
u c2
x2 ) (t1
u c2
x1 )
(t2
t1
)1
u c2
.
x2 t2
x1 t1
由于这两个事件无因果关系，虽然 t2 - t1 > 0 但是, x1、x2 是可以取各种数值的,
对于 x2-x1的不同情况来说， t’(完全可以) 0；0；0 。
v
x
d x d t
d x dt
d t dt
d x u
dt
1
u c2
d x dt
x x ut (1 )
y y ( 2 ) z z ( 3 )
t
t
u c2
x
( 4 )
所以
v
x
vx u
1
uv x c2
（记）
同理可得
v
y
vy
1
uv x c2
这就是相对论 速度变换。
y
S
B
A
x
S vB地 0.9c
vA地 0.9c x
第29页，共42页。
【解】有人说: A飞船相对与 B飞船的
速度为 1.8 c ， 对不对？
在地面上建立参考系 S, 选谁为参考系 S’？ 在飞船B上建立参考系 S’,
参考系S中：飞船 A的速度 vA地= 0.9c = vx 参考系S’的速度 u= - 0.9c
第八讲洛伦兹变换演示文稿
1
第1页，共42页。
（优选）第八讲洛伦兹变换
2
第2页，共42页。
7.3.3 洛仑兹变换
研究： 爱因斯坦时空观
新的时空变换关系
在S系看: S’系在运动, x’长度有缩短效应
y y u
S S ut
0 0
x ut x的运动长度
P(x, y, z,t)
( x, y, z, t)
B处打闪时列车的 b 端可能已经进入隧道了。
下面来定量计算，检验一下：
第19页，共42页。
S’系中定量计算：
u
S x2t2 x1t1
列车 B 隧道 A x
S’
b
a x’
隧道
设：
x’2t’2 x’1t’1
S系
S’系
事件1（aA相遇） （ x1t1 ）（ x’1t’1 ）
事件2（B端打闪） （ x2t2 ）（ x’2t’2 ）
可得
t
t
u c2
x
1 u2 c2
…（4）
第4页，共42页。
这（1）（4）式，称为洛仑兹（坐标）变换。
通常令
1 它大于1
1 u2 c2
u
c
洛仑兹变换可以简写成
x x ut (1)
y y (2) z z (3)
（记！）
t t x (4)
c
这是从S系的时空向S’系的时空变换的式子。
-------母亲旅行的平均速度。
第10页，共42页。
在开炮---击中目标问题中，这是炮弹的飞行速度。 一般来说，这是信号（物质、能量）传播的速度。
Δ
t
(t2
t1)
1
u c2
. x2 t2
x1 t1
(t2
t1).(1
u c2
.vx )
由于 v x c ,而 u < c ,
所以
u
按题意,已知
( x1t1)
( x2t2 )
x x’ = x2’-x1’ = 0.5 km Dt = t2 - t1 =0
( x1t1 )
( x2t2 ) x u = 100 km/h
由洛仑兹变换， t’ = t’2- t’1=（ t - u x /c2）
？
第14页，共42页。
t’ = （ t - u x /c2）
求：在S’系中测量它们 的相应时空坐标。
y y S S u
ut
0 0
【解】 1
P(x, y, z,t)1来自u2 c2( x, y, z, t)
1
x x
1
(0.6c)2 c2
z z
1.25
第12页，共42页。
代入洛仑兹变换式，得
x1 ( x1 ut1 ) 0 x2 ( x2 ut2 )
由洛仑兹变换，
x’ = （ x - u t）= x 得 x = x’/ (动长与静长关系)
所以 t’ = - u x’/ ( c2)
按题意,已知
x’ = x2’-x1’ = 0.5 km
Dt = t2 - t1 =0 u = 100 km/h
= - u x’/ c2
= -100×103×0.5×103/3600×(3×108)2
第9页，共42页。
但是,若小A，小B是一母所生,
而且母亲是位旅行家,在 x1、t1 生了小A, 在 x2、t2 生了小B。
这时时序就不应颠倒了！
Δ
t
(t2
t1 )
1
u c2
.
x2 t2
x1 t1
我们将上式中的
x2 x1 t2 t1
记作 vx ,
这时，它是有物理意义的：
1
u c2
vx
0
若 t2 > t1 , 则 必有t2 t1 .
即对这种情况,在飞船上看也是小A先出生， 两事件的时序没有颠倒。
第11页，共42页。
洛仑兹变换应用举例:
例1.已知S’系相对S系以 u = 0.6c 运动，有两个 无关事件，在S 系中测量； x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s 。
ut x
1 u2 c2
x x ut
x x
1 u2 c2
z z
第3页，共42页。
x x ut 1 u2 c2
…（1）
y’= y ……………（2）
z’= z ……………（3）
在S’ 系看：
x x的运动长度 ut
S系也在运动（-u）， x长度也有缩短效应:
x 1 u2 c2 ut
将（1）式 x，代入上式，
u
uv x c2
若 u << c， 由洛仑兹速度变换
伽利略速度变换：
v
v
u
讨论2. 在各惯性系中真空中的光速都是 c 。
第25页，共42页。
例1. 在S系中一束光 沿 x方向传播, 速率为 vx=c，
在S’系中，此束光的速率多大？
【解】
vx
vx u
1
uvx c2
cu
1
u c
c
2
S
c
c uc2 c c u
b 露在外面 15 m , 闪电会留下痕迹。（？）
思考：怎么结论不一样？问题出在哪里？
第18页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
由于地面系看,列车a 端与隧道A 端相遇与闪电 正击中隧道的 B 端是同时的， 但在 列车系中看就不是同时的了:
a，A相遇的事件先发生 B 处打闪的事件后发生（想一想。）
= - 1.54×10 -13 s
负号表示 t2’小,即车头先打闪，与重要规律一致。
注意1：当Δ t 0, Δ x 0 时，得 Δ t 0. 也同时！ 注意2：在例1中， x 与 x’ 不是静长与动长关系。
第15页，共42页。
例3 . 一列车以恒定速度 u 3c / 2 通过隧道， 列车的静长为20m，隧道的静长为10m。 从地面上看，当列车的前端 a 到达隧道 A端的 同时，有一个闪电正击中隧道的 B 端。
试问：（1）从地面参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
（2）从列车参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
第16页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
【解】设地面为 S 系，列车为 S’ 系， 在地面系S中看：列车的长度要缩短为
u2
( 3c / 2)2
x1 = 0, t1=0；
x2 = 3000 m, t2=410-6 s
1.25(3000 0.6c 4106 ) u = 0.6c
2850 m
t1 ( t1 ux1 / c2 ) 0 t2 (t2 ux2 / c2 ) 2.5 106 s
题意 t1 = 0, t2 >0
不可将速度的合成与速度的变换相混淆。
讨论4. 由洛仑兹速度变换， 进一步可得到加速度变换。
ax
dvx dt
( x、y、z)
结果a是x :addvtx
a
( x、y、z)
（略）
加速度在伽里略变换中是不变量； 在洛仑兹变换中不是不变量。
第31页，共42页。
附例1. 列车静长为 l0 ,以速度u 沿车身方向相对地面
l车 l车静 1 c2 20 1 c2
10 m
a与 A相遇时，b 恰好进入隧道， 闪电不会留下痕迹。
第17页，共42页。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
在列车系S’中看：隧道的长度也要缩短
l隧 l隧 静 1 u2 / c2
10 1 ( 3c / 2)2 / c2 5 m l车 静 (20 m)
参考系S’中:飞船 A的速度
vx
vx 1
u
uv x c2
1
0.9c
0.9c c2
0.9c 0.9c
0.994c
A飞船相对与 B飞船的速度并没有超过光速。
第30页，共42页。
注意：从地面测量，二者相互离开的速度还是 1.8c 。
在同一个惯性系中，速度的合成法则由速度的 矢量性来决定，这与速度的高低毫无关系。
在S’系中：
v
x
d x d t
x, y, z
速度的变换关系，完全可以由洛仑兹 坐标变换导出
v
x
d x d t
d x dt
d t dt
d x u
dt
1
u c2
dx dt
x x ut (1 )
y y ( 2 ) z z ( 3 )
t
t
u c2
x
( 4 )
第22页，共42页。
vz
vz
1
uvx c2
0,
v2
v
2 x
v
2 y
v
2 z
u2
1
u2 c2
c 2
c2
光的速度方向发生了改变，但光的速率不变。
第28页，共42页。
讨论3. 两个物体之间的相对速度 不可能超过光速。
例.已知:在地面上测得,两飞船的速度 vA地= 0.9c vB地= - 0.9c
求: A飞船相对与 B飞船的速度。
c
S
u
（与 u无关！）
第26页，共42页。
例2. 在 S’系中一束光 沿 y’ 方向传播, 速率为 c，
在 S 系中，此束光的速率多大？
【解】 由洛仑兹速度逆变换公式
vx
vx 1
u
v x u c2
0u 1 0
u,
vy
vy
1
uvx c2
u2 1 c2
c
第27页，共42页。
vx u
u2 vy 1 c2 c
运动。若在车尾 B 处发一闪光，此闪光经车头A
处的反射镜反射后回到车尾 B。
在地面参考系测量：
b 端向左移动了一端距离：
Δ S u Δ t 3c 10 3 15 m 2c
前面隧道长度缩短，b 端露在外面的长度为15m, 在列车上看，由于时间差，b 端也正好进入隧道，
B 处打闪也没有在 b 端留下痕迹，结论相同！
第21页，共42页。
二、相对论速度变换
在S系中：
dx vx dt
x, y, z
而得 t1 0, t2 0
说明在 S’系中，这两无关事件 的时间顺序发生了颠倒。
第13页，共42页。
例2.已知:火车静长为 0.5 km,速度为 100 km/h, 地面观察者看到两个闪同时击中火车的头尾, 求:火车上的观察者看到这两个闪的时间差。
【解】事件1（击中车尾）:（x1 ,t1）,（ x2 , t2 ） 事件2（击中车头）:（x2 , t2）,（x2 , t2 ）
伽利略变换。 满足“对应原理”
这时可以认为时间不延缓,长度也不缩短。
2. 当 u c 时，洛仑兹变换无意义，
即两个物体之间的相对速度不能超过c。 c 为一切物体（参考系）的极限速率。
3. 时间和空间都与运动有关。 时间和空间紧密相连，两者构成统一的 四维时空。
第7页，共42页。
洛仑兹变换符合因果时序。
例. 事件P1: 张家生了个小A 事件P2: 李家生了个小B
在S系，S’ 系中的时空坐标为:
S : p1( x1，t1 ) p2 ( x2，t2 ) S : p1( x1，t1 ) p2 ( x2，t2 )
若在地面S系看,
张家小A先出生，
u
t2 - t1 > 0。
在飞船S’系看,
必然也是张家
小
小
小A先出生吗？
v
z
vz
1
uv x c2
注意：vx’, vy’,vz’ 都是
与 u、vx有关的。
第23页，共42页。
相对论速度逆变换：
将带’不带’ , 将 u - u
vx
vx 1
u
uv x c2
vy
vy
1
uv x c2
vz
vz
1
uv x c2
第24页，共42页。
讨论
讨论1. 满足“对应原理”
v
x
vx 1
第5页，共42页。
从S’系的时空向S系的时空变换的式子：
（只须将带’ 不带’ ；u -u）
x x ut ……………（1）
y y
……………（2）
z z
……………（3）
t
t
u c2
x
……………（4）
这称为洛仑兹 逆变换。
第6页，共42页。
说明：
1. 当 u<< c时， 1 ,洛仑兹变换过渡到
按题意
Δ t t2 t1 0
Δ x x2 x1 10m
1/
1
u2 c2
1/
1 (
3c / 2)2 c2
2
第20页，共42页。
由洛仑兹变换,计算两事件的时间差，
Δ t t2
t1
(Δ
t
u c2
Δ
x)
20
3c / c2
2
(10)
10 c
3
在这段时间差内，隧道的B 端相对于列车
x1t1
x2t2
x x
第8页，共42页。
根据 洛仑兹变换
Δ t
t2
t1
(t2
u c2
x2 ) (t1
u c2
x1 )
(t2
t1
)1
u c2
.
x2 t2
x1 t1
由于这两个事件无因果关系，虽然 t2 - t1 > 0 但是, x1、x2 是可以取各种数值的,
对于 x2-x1的不同情况来说， t’(完全可以) 0；0；0 。
v
x
d x d t
d x dt
d t dt
d x u
dt
1
u c2
d x dt
x x ut (1 )
y y ( 2 ) z z ( 3 )
t
t
u c2
x
( 4 )
所以
v
x
vx u
1
uv x c2
（记）
同理可得
v
y
vy
1
uv x c2
这就是相对论 速度变换。
y
S
B
A
x
S vB地 0.9c
vA地 0.9c x
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【解】有人说: A飞船相对与 B飞船的
速度为 1.8 c ， 对不对？
在地面上建立参考系 S, 选谁为参考系 S’？ 在飞船B上建立参考系 S’,
参考系S中：飞船 A的速度 vA地= 0.9c = vx 参考系S’的速度 u= - 0.9c
第八讲洛伦兹变换演示文稿
1
第1页，共42页。
（优选）第八讲洛伦兹变换
2
第2页，共42页。
7.3.3 洛仑兹变换
研究： 爱因斯坦时空观
新的时空变换关系
在S系看: S’系在运动, x’长度有缩短效应
y y u
S S ut
0 0
x ut x的运动长度
P(x, y, z,t)
( x, y, z, t)
B处打闪时列车的 b 端可能已经进入隧道了。
下面来定量计算，检验一下：
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S’系中定量计算：
u
S x2t2 x1t1
列车 B 隧道 A x
S’
b
a x’
隧道
设：
x’2t’2 x’1t’1
S系
S’系
事件1（aA相遇） （ x1t1 ）（ x’1t’1 ）
事件2（B端打闪） （ x2t2 ）（ x’2t’2 ）
可得
t
t
u c2
x
1 u2 c2
…（4）
第4页，共42页。
这（1）（4）式，称为洛仑兹（坐标）变换。
通常令
1 它大于1
1 u2 c2
u
c
洛仑兹变换可以简写成
x x ut (1)
y y (2) z z (3)
（记！）
t t x (4)
c
这是从S系的时空向S’系的时空变换的式子。
-------母亲旅行的平均速度。
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在开炮---击中目标问题中，这是炮弹的飞行速度。 一般来说，这是信号（物质、能量）传播的速度。
Δ
t
(t2
t1)
1
u c2
. x2 t2
x1 t1
(t2
t1).(1
u c2
.vx )
由于 v x c ,而 u < c ,
所以
u
按题意,已知
( x1t1)
( x2t2 )
x x’ = x2’-x1’ = 0.5 km Dt = t2 - t1 =0
( x1t1 )
( x2t2 ) x u = 100 km/h
由洛仑兹变换， t’ = t’2- t’1=（ t - u x /c2）
？
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t’ = （ t - u x /c2）
求：在S’系中测量它们 的相应时空坐标。
y y S S u
ut
0 0
【解】 1
P(x, y, z,t)1来自u2 c2( x, y, z, t)
1
x x
1
(0.6c)2 c2
z z
1.25
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代入洛仑兹变换式，得
x1 ( x1 ut1 ) 0 x2 ( x2 ut2 )
由洛仑兹变换，
x’ = （ x - u t）= x 得 x = x’/ (动长与静长关系)
所以 t’ = - u x’/ ( c2)
按题意,已知
x’ = x2’-x1’ = 0.5 km
Dt = t2 - t1 =0 u = 100 km/h
= - u x’/ c2
= -100×103×0.5×103/3600×(3×108)2