【解析版】武夷山三中2014-2015年八年级上第一次月考数学试卷

福建省南平市武夷山三中2014-2015学年八年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（）
A．正方形B．三角形C．长方形D．平行四边形
2．（3分）下面四个图形中，线段BE是△ABC中AC边上的高是（）
A．B．C．D．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．（3分）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（）
A．50°B．65°C．80°D．50°或80°
5．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（）
A．90°B．120°C．160°D．180°
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）
A．4B．5C．6D．7
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
8．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
9．（3分）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，∠1=．
12．（3分）如果一个三角形的两边长分别是2cm和7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是．
13．（3分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC 的面积是24，则△ABE的面积是．
14．（3分）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．
15．（3分）如图，小明从点A出发沿直线向前走10m，向左转30°，然后继续向前走10m，再向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到出发地A点时，一共走了m．
16．（3分）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．
17．（3分）从10边形的一个顶点画所有的对角线，一共能画．
18．（3分）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．
三、解答题（共46分）
19．（6分）在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求△ABC的三个内角度数．
20．（6分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数．
21．（6分）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C 处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数．
22．（6分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明
△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠=∠（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD．
23．（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：△ABC≌△DEF．
24．（8分）已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．
25．（8分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
福建省南平市武夷山三中2014-2015学年八年级上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（）
A．正方形B．三角形C．长方形D．平行四边形
考点：三角形的稳定性．
分析：根据三角形具有稳定性解答．
解答：解：正方形，三角形，长方形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选B．
点评：本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性的性质．
2．（3分）下面四个图形中，线段BE是△ABC中AC边上的高是（）
A．B．C．D．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
分析：根据三角形高线的定义解答即可．
解答：解：△ABC中AC边上的高是过点B垂直于AC边的线段，只有A选项正确．
故选A．
点评：本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟记高线的概念是解题的关键．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
考点：三角形三边关系．
分析：此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
解答：解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4=5，9+4=13．
∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
点评：本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
4．（3分）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（）
A．50°B．65°C．80°D．50°或80°
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况：当50°角为等腰三角形的顶角时，可得出顶角的度数；当50°角为等腰三角形的底角时，可得两底角的度数，根据三角形的内角和定理可求出此时等腰三角形的顶角，综上，得到等腰三角形顶角的所有可能值．
解答：解：分两种情况：
当50°角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角50°；
当50°角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180°﹣50°×2=80°，
综上，等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了分类讨论的数学思想，是一道易错题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解．
5．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（）
A．90°B．120°C．160°D．180°
考点：角的计算．
分析：因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．解答：解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故选D．
点评：本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）
A．4B．5C．6D．7
考点：多边形内角与外角．
分析：多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解答：解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
8．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
考点：全等三角形的应用．
分析：本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
解答：解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选B．
点评：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
9．（3分）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）
A．B．C．D．
考点：全等三角形的判定．
分析：根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
解答：解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
10．（3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质．
专题：压轴题．
分析：首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明
△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，
∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
点评：此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，∠1=120°．
考点：三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：根据三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可直接求出∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
解答：解：∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
点评：本题主要考查三角形的外角性质及邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
12．（3分）如果一个三角形的两边长分别是2cm和7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是16cm．
考点：三角形三边关系．
分析：三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
解答：解：7﹣2＜第三边＜7+2⇒5＜第三边＜9，这个范围的奇数是7，所以三角形的周长是2+7+7=16（cm）
故答案为：16cm．
点评：考查了三角形的三边关系，首先根据题意求出第三边，然后再求出周长，难度较小．
13．（3分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC 的面积是24，则△ABE的面积是6．
考点：三角形的面积．
专题：计算题．
分析：根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
解答：解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD，
∴S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE=×24=6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
14．（3分）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．
考点：三角形内角和定理．
分析：利用三角形的内角和外角之间的关系计算．
解答：解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°，
∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．
故答案为：74．
点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．
15．（3分）如图，小明从点A出发沿直线向前走10m，向左转30°，然后继续向前走10m，再向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到出发地A点时，一共走了120m．
考点：多边形内角与外角．
分析：由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．解答：解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120m．
故答案为：120．
点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
16．（3分）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD，使△ABD≌△ACD．
考点：全等三角形的判定．
专题：开放型．
分析：∠1、∠2分别是△ADB、△ADC的外角，由∠1=∠2可得∠ADB=∠ADC，然后根据判定定理AAS、ASA、SAS尝试添加条件．
解答：解：添加∠B=∠C，可用AAS判定两个三角形全等；
添加∠BAD=∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等；
添加BD=CD，可用SAS判定两个三角形全等．
故填∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
17．（3分）从10边形的一个顶点画所有的对角线，一共能画35条．
考点：多边形的对角线．
分析：利用多边形的对角线条数为n（n﹣3）÷2即可解决问题．
解答：解：10边形对角线的总数：10（10﹣3）÷2=35，
故答案为：35条．
点评：本题主要考查了多边形的对角线，利用多边形的对角线条数公式即可解决问题．
18．（3分）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是60度．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
解答：解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠AB E+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
点评：本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是2015届中考的热点．
三、解答题（共46分）
19．（6分）在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求△ABC的三个内角度数．
考点：三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，根据三角形内角和定理可列方程x+3x+5x=180°，然后解方程求出x，再计算3x和5x即可．
解答：解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，
根据题意得x+3x+5x=180°，
解得x=20°，则3x=60°，5x=100°，
所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
20．（6分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数．
考点：三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=30°，∠C=50°，可求得∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°，根据△ABC的角平分线的定义得到∠EAC=∠BAC=50°，
而AD为高线，则∠ADC=90°，而∠C=50°，于是∠DAC=180°﹣90°﹣50°=40°，然后利用∠DAE=∠EAC﹣∠DAC计算即可．
解答：解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
而∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=50°
又∵AD为高线，
∴∠ADC=90°，
而∠C=50°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣50°=40°，
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了角平分线的定义．
21．（6分）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C 处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数．
考点：三角形内角和定理；方向角；平行线．
专题：计算题．
分析：根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知结合三角形的内角和求解．
解答：解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，
∴∠ECB=180°﹣85°=95°，∠ABC=85°﹣40°=45°，
∵∠ECA=45°，
∴∠BCA=95°﹣45°=50°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣45°=85°．
点评：解答此类题需要正确理解方位角，再结合三角形的内角和以及平行线的性质求解．
22．（6分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明
△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACDSAS．
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
专题：推理填空题．
分析：根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可．
解答：解：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理及角平分线的定义．
23．（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：△ABC≌△DEF．
考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．
解答：证明：
∵AF=DC，
∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
点评：本题考查了全等三角形全等的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
24．（8分）已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由两角和夹边即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE=AD，进而可得出结论BD=CE．
解答：证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE=AD，
∵BD=AB﹣AD，CE=AC﹣AE，
∴BD=CE．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，也是2015届中考常见题型．
25．（8分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．
专题：几何综合题．
分析：（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出
∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
解答：（1）证明：∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．。