第6章-正弦稳态电路2

L
R1
R4
R2 R3
C
is
I 1 jL R1 I 2 R4
R2
I 3
I4
j
I S
R3
1 c
解： 回路法:
( R jL)I R I U ( R1 R2 jL)I 1 1 2 2 3 S ( R jL) I R I ( R1 R3 R4 jL) I 2 1 1 3 3 0
UC
U 560o o I 0 . 149 3 . 4 A o Z 33.5463.4


U R R I 15 0.149 3.4o 2.235 3.4o V U L jL I 56.590o 0.149 3.4o 8.4286.4o V 1 UC j I 26.5 90o 0.149 3.4o 3.95 93.4o V C
电压三 角形
U L
相 似
阻抗三 角形

U C
UR
U U U L C I
Z

X X L XC
R
注意：
Z R j X L X C
＋ R L C
I
是一个复数，但并不是正弦交流 量，上面不能加点。Z在方程式中 只是一个运算工具。
U R
U
U L
U C
I Z U
在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元 件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直 流电路相似。
例.
i
R
+ u
L + uL C
-
+ u -C

已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2 sin( t 60 ), f 3 10 4Hz .
YC jC
KVL、KCL的相量形式
i(t ) 0 u(t ) 0

I 0 U 0
6.5
相量法分析正弦稳态电路
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：
电 阻 电 路: KC L : i 0 KVL : u 0 : u Ri 元件约束关系 或 i Gu
3 j 4 I j 4 I 1 2 10 0 j 2 j 4I 2 I j 4 I 1 2 1
3 I 1 I 1
1 jC
I 2
I 2
jL
2I 1
10 0
490o A , 例4. 已 知 ：I S . 求 ：I
相量图：选电压为参考向量(C < 1/ L，<0 )
. IG
U
'
I
. IC . IL
I
2 2 IG IB
2 IG ( I L I C )2
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
Ｚ、Ｙ换算
对任何一段无源电路来说，它的复阻抗和复导 纳互为倒数 1 1 即： Y 或 Z Z Y
6.4 基本定律的相量形式
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量U
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。 复数形式的欧姆定律： 电阻电路 电感电路 电容电路
I R U
U I ( jX L ) I ( jL)
RLC串联电路会出现分电压大于总电压的现象
I R j X X U L C
令
I
.
R
j L
+
U
.
Z R j X L X C
实部为阻
-
+ UL 1 jω C
.
+.
-
UC
Z：复数阻抗
虚部为抗
感抗
容抗
复数形式的 欧姆定律
则
I Z U
关于复数阻抗 Z 的讨论 1.Z 和总电流、总电压的关系
G=|Y|cos '
B=|Y|sin '
|Y| B
|Y|=I/U ' =i-u

G 导纳三角形
Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠
C > 1/ L ，B>0， ′>0，电路为容性，i超前u； C<1/ L，B<0， ′<0，电路为感性，i滞后u；
C=1/ L ，B=0， ′ =0，电路为阻性，i与u同相。
1 1 1 I ( jC )U n 3 U n 2 jCU n1 S R3 R4 R3
例2. 列写电路的节点电压方程
1
Y3
Y4
2
Y1 Y2
Y5
U S5

I S1
U S4 _

+
+ _
解：
Y U I (Y2 Y3 )U 1 3 2 S1
U C

U R
-3.4°
I
相量图
6.5.3 导纳(RLC并联电路)
i + u R iL iL iC C +
U R
.
I
.
L
-
IL 1 j L jω C
IR
.
.
IC
.
. . . . . . . 1 由KCL： I I R I L I C GU j U jCU L . 1 (G j jC ) U L . [G j(BL BC ) U . (G jB ) U
正弦电路相量分析 : KC L : I 0 KVL : U 0 元件约束关系 : UZI 或 I YU
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法用到正 弦稳态的相量分析中。
(Y Y Y )U Y U Y U Y3U 1 3 4 5 2 4 S4 5 S5
例3 列网孔方程
i1 ( t )
500 uF
i2 ( t )
3
解: 1 jC 1 j 103 500106
j 2
4mH
10 2 sin103 t
2i1
jL j 103 4 103 j4
. [ R j( X L X C )]I . ( R jX ) I
I
.
R
j L + UL 1 jω C
.
+
U
.
+.
UC
U L U U L C
U
-
-
相量表达式：
I R j X X U L C
U C
电压 三角形
U R
I
先画出参 考相量
阻抗角
u i tg
1
X L XC R
一定时电
路性质由参 数决定
当 X L X C时，
当 X L X C 时，
0 表示u领先i－－电路呈感性
0表示u落后i－－电路呈容性
0 表示u、i同相 －－电路呈电阻性 当 X L X C 时，
3.阻抗（Z）三角形
1 1 U I ( jX C ) I ( j ) I( ) C jC
R、L、C元件的阻抗和导纳
阻抗
（1）R：
导纳
ZR R ,
Z L j L ,
YR 1 G R
1 YL j j L L 1
（2）L：
（3）C：
1 1 ZC j , C jC
6.5.1 阻抗串并联
I

Z1
U1

I


+ + Z
U

- +
U2

Z2
+
Y
U

Y1
I1
I2
-
Y2
-
-
Z Z1 Z 2 Z1 U1 U Z
同直流电路相似：
串 联: 并 联:
Y Y1 Y2 Y1 I1 I Y
Z Zk , Y Yk , Zk Uk U Zk Yk Ik I Yk
1 1 ( R2 R3 j ) I 3 R2 I1 R3 I 2 +j I4 0 C C
I 4 -I S
_ U S
+ U n1
R2
jL R1
U n2
R3
I S
j 1 c
R4 节点法:
U n3
U U n1 S 1 1 1 1 1 ( )U n 2 U n1 U n 3 0 R1 jL R2 R3 R2 R3
例如:
Z=R+jX
jX R
它的等效复导纳为:
1 1 Y Z R jX
Z=R+jX
jX R
Y=Ge-jBe
Ge
jBe
1 1 Y Z R jX
R X 分母有理化: Y 2 j 2 2 2 R X R X
Ge jBe 可见,并联等效电导和电纳分别为: R 1 X 1 Ge 2 Be 2 2 2 R X R R X X
6.5.4 正弦稳态电路一般分析方法 相量法求解一般正弦交流电路的步骤： 1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)
1 R R L j L C j C u U iI
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3、用相量法或相量图求解 4、将结果变换成要求的形式
例1. 列写电路的回路电流方程和节点电压方程 _ U _ us S+ +



I
.
R
j L + UL 1 jω C
.
I 0.149 3.4o A
+.
U R 2.235 3.4o V U L 8.42 86.4o V U C 3.95 93.4o V


+
U
.
UC
-
-Leabharlann u 5 2 sin( t 60 )
则 i 0.149 2 sin (ω t 3.4 ) A
o
U L
uR 2.235 2 si n ( ωt 3.4 ) V
o
U U L C
U
uL 8.42 2 si n ( ωt 86.6o ) V uC 3.95 2 si n ( ωt 93.4o ) V
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压，原 因是uL， uC相位相差180°，互相抵消 的结果。
j 26.5Ω
1 o Z R j L j 15 j56.5 j 26.5 33.5463.4 Ω C
I
.
R
j L
U 5 60 V
+. -

+
U
.
-
+ UL 1 jω C
.
jL j 56.5Ω
1 j j 26.5Ω C Z 33.5463.4o Ω
I Z 可得： 由复数形式的欧姆定律 U
U u U U Z Z u i I I i I
U Z I
u i
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
2.Z 和电路性质的关系
Z Z R j X L X C
Z R j( X L X C ) Z
Z R (X L XC )
2 2
X L XC tg R
1
Z
阻抗 三角形

R
X X L XC
4.阻抗三角形和电压三角形的关系
U U U U R L C Z R j X L X C R j X X I L C
1根据原电路图画出相量模型图电路结构不变4将结果变换成要求的形式654正弦稳态电路一般分析方法列写电路的回路电流方程和节点电压方程1050010uf50010sin30308113455657453015158113458553050305045100短路单独作用30315030200305030503050开路单独作用13515550451002313011551350817j08171183j033812315966相量图法分析正弦稳态电路选参考相量

Z1Z 2 Z Z1 Z 2 I1 Z2 I Z1 Z 2
6.5.2 阻抗(RLC串联电路)
i + u R L + uL C + uC I
.
R
j L
+
U
.
-
+ UL 1 jω C
.
+. -
UC
. . . . . . . 1 由KVL： U U U U R I jL I j I R L C C . 1 ( R j L j )I C
令
. I i I I Y . ψi ψu G jB | Y | φ' U Uψu U
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚 部)； |Y|—复导纳的模； '—导纳角。
关系：
| Y | G 2 B 2 B φ' arctg G
求 i, u R , u L , u C .
U 5 60 V
解： 相量模型为
I
.
R
j L
+
U
.
+ UL 1 jω C
.
+.
-
UC
-
jL j 2 3 104 0.3 103 j56.5Ω 1 1 j j C 2π 3 10 4 0.2 10 6