医用物理(第二版)第9章 波动光学详解

思考题
9–1 干涉和衍射有什么区别与联系？
答：若入射的是单色光，干涉与衍射都产生明、暗相间的条纹．衍射本质上也是干涉．
它们的区别主要有：
（1）干涉是两束光或有限束光的相干叠加，而衍射是从同一波阵面上各点发出的无数个子波（球面波）的相干叠加．
（2）在纯干涉的情况下，不同级次（k 不同）的光强是一样的；而衍射条纹不同级次的光强是不同的，级次越高（k 越大）光强越弱．
（3）双缝干涉条纹是等间距的；而单缝衍射条纹的中央明纹宽度是其他各级亮纹宽度的2倍．
（4）需要特别注意的是，单缝衍射明、暗纹的条件与干涉恰好相反．
干涉： 2)12(λ
δ-±=k 暗纹中心
单缝衍射： 2
)12(sin λϕ+±=k a 明纹中心
这是因为前者两束相干光光程差为半波长的奇数倍时，两束光波的相位相反，干涉减弱；而后者，在衍射角ϕ的方向上，无数多条衍射光线的最大光程差为半波长的奇数倍时，单缝能分成奇数个半波带，相邻两波带上对应的衍射光彼此相消，最后剩下一个波带的衍射光不能相消，故得明纹．
9–2 在杨氏双缝实验中，是采用什么措施使普通光源实现干涉的？
答：采用波阵面分割法．
9–3 在单缝衍射中，增大波长与增大缝宽的效果各如何？
答：在单缝衍射中，相邻明（暗）纹间距为中央明纹宽度的一半，即a f k x /1λ=
由上述公式可知，当缝宽一定，增大波长时，相邻明（暗）纹间距离增宽，衍射现象越加显著．若用白光照射，除中央明纹仍为白色外，在其两侧出现一系列由紫到红的彩色条纹．
当波长一定，增大缝宽时，则相邻明（暗）纹间距离变窄．当缝宽比波长大很多时，只能看到一条亮纹．这说明只有当障碍物的大小可以与波长相比较时，才能观察到明显的衍射现象．
9–4 光栅衍射条纹与单缝衍射条纹有什么区别与联系？
答：单缝衍射是从同一波阵面上各点发出的无数个子波（球面波）的相干叠加．光栅衍射是，对有N 条缝的光栅，每条缝都要产生衍射，而N 条缝发出的光都是相干光，它们又要产生干涉，所以，光栅衍射实质上是单缝衍射和多缝干涉的总效果．
单缝衍射图样的特点：中央条纹最亮而且最宽，中央明纹两侧的各次级亮纹的宽度仅为中央明纹的一半；同时，各级明条纹的亮度随着k 的增大而逐渐减小．
光栅衍射图样的特点：明条纹细而亮，两明条纹之间存在很宽的暗区，且缝数越多，谱线越细越亮． 9–5 自然光和偏振光有何区别？如何利用一块偏振片来判断一束光是自然光还是偏振光？
答：自然光是指在与光的传播方向垂直的平面内，光矢量的振幅沿各个方向均相等的光．偏振光是指光矢量只在某一固定方向上的光．
使二束光分别通过偏振片，旋转偏振片观察出射光强度变化．若出射光强出现消光现象，则光束为偏振光；若出射光线不发生变化，则入射光为自然光．
9–6 一束自然光通过偏振片后其光强与入射光强有何关系？为什么？
答：一束自然光通过偏振片后其光强为入射光强的一半．因为自然光的光矢量的振幅沿各个方向均相等．另外，任何一个方向的振动都可分解成两个互相垂直的分量，因此自然光可用两个互相垂直的光矢量
来描述，它们大小相等，各占自然光总能量的一半．
9–7 双折射现象产生的原因是什么？
答：当光在各向异性媒质（如方解石、石英等晶体）中的传播时，会产生双折射现象．双折射现象产生的原因是，在晶体中o 光和e 光以不同的速度传播，o 光沿各个方向传播的速度相同，在晶体中任一点所引起的子波波阵面是一球面．而e 光沿各个方向传播的速度是不同的，在晶体中同一点所引起的子波波阵面是一围绕晶体光轴方向的旋转椭球面．
9–8 自然光是否一定不能是单色光，线偏振光是否一定是单色光？
答：自然光可以是单色光；线偏振光不一定是单色光．
9–9 什么是o 光和e 光，它们具有什么特性？
答：在晶体中，遵守折射定律的这束光称为o 光，它沿各个方向传播的速度相同．另一束光不遵守折射定律，其折射线一般不在入射面内，而且对不同入射角i ，折射角与入射角的正弦之比不为常数．这束折射光称为e 光，e 光沿各个方向传播的速度不同．o 光和e 光都是线偏振光．
9–10 有哪些方法可以获得线偏振光？如果没有起偏器，怎样确定某一塑胶片是否为偏振片？
答：获得线偏振光的方法有：（1）利用光的反射和折射；为提高偏振光的强度，使用玻璃片堆，让光以起偏角入射，经玻璃片堆的多次反射和折射，使得反射光和折射光都成为偏振光．（2）利用各向异性晶体的双折射现象．（3）利用晶体的二向色性．
如果没有起偏器，可用一束偏振光通过塑胶片，旋转塑胶片观察出射光强度变化．若出射光强出现消光现象，则塑胶片为偏振片．反之，则不是偏振片．
9–11 物质的旋光率与什么因素有关？
答：物质的旋光率，与物质的性质和光的波长有关．对于具有旋光性的溶液，旋光率除了与光的波长有关外，还与温度以及溶液中旋光物质的浓度有关．
习题九
9–1 在杨氏实验中，两缝相距0.2 mm ，光屏与狭缝相距l00cm ，第三级明条纹与中央明条纹的距离为7.5 mm ，求光波波长．
解：由公式d D k x k /λ=得光波的波长为
(m)100.510
1003102.0105.7723
3----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==kD xd λ
9–2 有一双缝相距0.3mm ，要使波长为6×10-7m 的红光通过，在光屏上呈现干涉条纹，每条明纹或暗纹的宽度为l mm ，问光屏应放在多远的地方？
解：由双缝干涉条纹宽度公式d D x /λ=∆得
5(m).010
6103.0100.1733=⨯⨯⨯⨯=⋅∆=---λd
x D 9–3 在杨氏实验中，双缝间距为0.45 mm ，使用波长为540 nm 的光观测．①要使光屏上干涉条纹间距为1.2 mm ，光屏应离双缝多远？②若用折射率为1.58的云母片遮住其中一条缝，使中央明纹移到原来第7级明条纹的位置，则云母片的厚度应是多少？
解：（1）根据光屏上干涉条纹间距的表示式d D x /λ=∆
光屏与双缝的距离为 .0(m)110540102.11045.09
33=⨯⨯⨯⨯=⋅∆=---λd x D
（2）设云母片的厚度为e ，云母插入后产生的附加光程差为λk e n =-)1(
依题意k = 7，所以m)2(5.6)158.1/(5407)1/(μλ≈-⨯=-=n k e
9–4 在折射率n 1=1.52的镜头表面镀有一层折射率n 2=1.38的MgF 2增透膜，如果此膜能够使波长λ=550 nm 的光反射最小，则膜的厚度应是多少？
解：设膜的厚度为e ，根据干涉减弱条件 ...),3,2,1,0(,2/)12(22=+=k k e n λ,可得 24/)12(n k e λ+=
取k = 0，可得此膜最薄的厚度为nm)(6.9938.14/5504/2=⨯==n e λ
9–5 一块厚度为1.2 μm 的薄玻璃片，折射率为l.50．设波长介于400 nm 和760 nm 之间的可见光垂直入射该玻璃片，反射光中哪些波长的光最强？
解：由平行平面薄膜干涉公式 ...),3,2,1,0(2/)12(2=+=k k ne λ
可得 m))(2/1/(102.15.121/226+⨯⨯⨯=+=-k )ne/(k λ
取k = 5，6，7，8，可求出在可见光范围内有如下四种波长的光最强：
即 nm 6551=λ，nm 5542=λ，nm 4803=λ，nm 4244=λ
9–6 当把单缝衍射装置放在水中时，衍射图样将发生什么变化？在此情况下，如用公式λϕk a =sin 来测定波长，那么测得的结果是光在空气中的波长还是在水中的波长？
答：如果把单缝衍射装置放在水中，则光的波长变为λ/n =λ'（n 为水的折射率），衍射角也变为ϕ'．由
公式知λϕk a =sin ，当λ变小，则衍射角也变小，即)/arcsin(a k λϕ'='，所以衍射条纹变密．如果用此公式测波长，此时测得的衍射角是水中的衍射角)(ϕϕϕ<''，所以对应的波长应是水中的波长（即λ'）．
9–7 用单色光作单缝衍射实验，如果把单缝的宽度逐渐缩小，屏上衍射条纹有何变化？
答：从明纹条件D ax k a /2/)12(sin =+=λϕ及a f x /λ=∆可知：当单缝宽度缩小，条纹间的距离x ∆逐渐
增大；衍射明纹的亮度也随之逐渐减弱．因为明条纹是由一个未被抵消的波带所产生，当衍射角ϕ增大，相应地波带数目增多，未被抵消的波带的面积缩小，所以条纹亮度就降低．
9–8 今有一个白光形成的单缝衍射图样，其中某光波的第三条明条纹和波长为6.3×10-7 m 的红光的
第二条明条纹重合，求该光的波长．
解：把单缝衍射明纹条件 2/)12(λ+=∆k ，分别用于未知光波（取k = 3）和红光（取k = 2）得
2/103.6)122(2/)132(7-⨯⨯+⨯=+⨯λ
所求光的波长为 (m )
105.47/103.6577--⨯=⨯⨯=λ 9–9 波长为5.89×10-7m 的钠光，通过单缝后在1m 处产生衍射图样，两个第一级暗条纹之间的距离为2 mm ，求单缝的宽度．
解：根据单缝衍射暗纹条件λk f ax =/，可得单缝的宽度为
0.6(mm)(m)1089.5)1022
1/(110890.51/437≈⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---x f k a λ
9–10 用波长为540 nm 的单色光垂直照射在宽为0.10 mm 的单缝上，在缝后放一焦距为50 cm 的会聚透镜，求：
（1）屏上中央明条纹的宽度；
（2）如将此装置浸入水中，水的折射率为l.33，则中央明条纹的宽度又如何变化？
解：（1）由单缝衍射暗纹公式λϕk f ax a =≈/sin ，对于第一级暗纹（1x x =，1=k ）有λ=f ax /1,
所以，第一级暗纹与中央明纹（中线）距离a f x /1λ=，因而中央明纹宽度为12x d =，即
5.4(mm)
(m)104.51010.0/10540010502/233102=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----a f d λ （2）装置浸入水中，因波长或光程差改变，对应的中央明纹的宽度为
6(mm)0.433.1/4.5/==='水n d d
即中央明纹的宽度变小．
9–11 中国长城的宽度约7.0 m ，有人声称在月亮上可以用肉眼分辨长城两侧．设人眼的瞳孔直径D =
2.5 mm ，光的波长为550 nm ，此人说法是否正确？试确定当宇航员可用肉眼分辨长城时他与地面的最大距
离，并且与地球到月亮的距离相比较．
解：由已知条件，人眼的最小分辨角为
(rad)1068.210
5.21055022.122.1439
---⨯=⨯⨯⨯==D m λ
ϕ
设长城宽度为S ，宇航员可用肉眼分辨长城时，他与地面的最大距离为l ，则由m l s ϕ=,得
(m)106.210
68.2744⨯=⨯==-m s
l ϕ 这个距离远小于地球到月亮距离（m 103.88⨯），所以关于人在月球上可以用肉眼分辨长城的说法是错误的．
9–12 在通常亮度下，人眼瞳孔直径约2.5 mm ，问人眼的最小分辨角有多大?远处2根细丝之间的距离为2.0 mm ，问细丝离开多远时人眼恰能分辨它们?
解：视觉最敏感的黄绿光波长nm 550=λ，由人眼的最小分辨角公式D m /22.1λϕ=
可得 1r a d 1068.210
5.21055022.1439
'≈⨯=⨯⨯⨯=---m ϕ
设细丝间距离为s ∆，人与细丝相距l ，则两根细丝对人眼的张角为：l s /∆=ϕ
恰能分辨时应有m ϕϕ=，于是有 )m (5.710
68.2100.243=⨯⨯=∆=--m s
l ϕ 若超过上述距离，则人眼不能分辨．
9–13 在白昼观看景物时人眼瞳孔的平均直径为2.5mm ，问对于 lkm 远处的两个发光点（设波长λ=600 nm ）之间相隔多远时，眼睛刚好能分辨它们？
解：人眼的最小分辨角为：rad 1093.2105.21060022.122.1439
---⨯=⨯⨯⨯==D m λϕ 两个发光点恰能被分辨的极限距离（最小间距）为
cm)(3.291093.210004=⨯⨯==-m l s ϕ
9–14 一束平行的黄色光垂直入射每厘米有4250条刻纹的衍射光栅上，所成的二级像与原入射方向成30o 角，求黄光的波长．
解：由光栅方程 λϕk b a =+sin )( 得
(m)1088.52
30sin 425010sin )(70
2
--⨯=⨯=+=k b a ϕλ
9–15 以平行白光垂直入射光栅常数为0.001 cm 的光栅上，用焦距为200 cm 的透镜把通过光栅的光线聚焦在屏上，已知紫光波长为400 nm ，红光波长为750 nm ，求第二级光谱中紫光与红光的距离．
解：根据光栅方程λϕk b a =+sin )(，设红光、紫光波长分别为1λ和2λ，它们在第二级谱线中的衍射角分
别为1ϕ和2ϕ，在屏上位置分别为1x 和2x 则：
)/(2sin 111b a +=≈λϕϕ，)/(2sin 222b a +=≈λϕϕ，因ϕ 角很小，ϕϕsin tan f f x ≈≈，
故它们的距离为
)(22121λλ-+=-=∆b a f x x x 14cm .14m 010)400750(10
0.100.2295==⨯-⨯⨯=--
9–16 一台光谱仪有三块光栅，每毫米刻痕分别为1200条、600条和90条．若用它们测定0.7～1.0μm 的红外线波长，①试求出各块光栅一级明条纹对应的衍射角范围；②应选择哪块光栅来测量比较合适？为什么？
解：先计算三块光栅的光栅常数
第一块：(mm)103.81200/1)(4-⨯==+b a
第二块：(mm)107.1600/1)(3-⨯==+b a
第三块：(mm)101.190/1)(2-⨯==+b a
据光栅公式可计算出每块光栅第一级光谱的衍射角范围分别为： 第一块：046
111157103.810700sin sin ≈⨯⨯=+=----b a λϕ， 06129010
3.8101000sin >⨯⨯=--ϕ 第二块：03
61124107.110700sin ≈⨯⨯=---ϕ， 0361236107.1101000sin ≈⨯⨯=---ϕ 第三块：06
117.3101.110700sin ≈⨯⨯=--ϕ， 036122.510
1.1101000sin ≈⨯⨯=---ϕ 由以上计算可知，用第一块光栅不能看到完整的第一级光谱；若使用第三块光栅，则第一级光谱的衍射角范围太小，条纹太密，不便测量；而用第二块光栅既可看到完整的第一级光谱，又能将各谱线区分开，所以应选用第二块光栅．用光栅测定谱线波长并非光栅常数越小越好，应按实际所测波长范围选择合适的光栅．
9–17 两偏振器透射轴的夹角由60o 转到45o 时，透射光的强度将如何变化？
解：设入射光强为I 0，根据马吕斯定律θ20cos I I =得：
2
1)21()21(45cos 60cos 22202021==︒︒
=I I I I 所以 122I I =，即光的强度增加了一倍．
9–18 使自然光通过两个透射轴夹角为60o 的偏振器时，透射光强为I 1，在这两个偏振器之问再插入另一偏振器，它的透射轴与前后两个偏振器透射轴均成30o 角，问此时透射光强I 2是I 1的多少倍?
解：设起偏器产生的偏振光强为I 0，根据马吕斯定律，当两偏振器夹角为60°时，透射光强为
0202014
1)21(60cos I I I I ==︒=， 即104I I = 当中间插入另一个偏振器，且与前、后两偏振器均成30°，则有
1221220225.2)2
3()23(430cos 30cos I I I I ==︒︒= 9–19 根据布儒斯特定律可以测定不透明介质的折射率．今测得釉质的起偏振角0058=I ，试求它的折射率．
解：由布儒斯特定律 120/tan n n i =，其中11=n ，可得6.158tan 02==n
9–20 水的折射率为l.33，玻璃的折射率为l.50，当光从水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光从玻璃中射向水而反射时，起偏振角又为多少？这两个起偏振角有何关系?
解：由已知，设水的折射率33.11=n ，玻璃折射率50.12=n ，利用布儒斯特定律120/tan n n i =，
可求下面两种情况的起偏振角'0i
（1）当光从水中射向玻璃时 ︒==4.4833.1/50.1arctan 0i
（2）当光从玻璃射向水时 ︒==6.4150.1/33.1arctan '0i
（3）︒=︒+︒=+906.414.48'00i i ，即两个起偏振角互余．
9–21 将石英晶片置于透射方向互相平行的两偏振片之间，旋转石英晶片使波长为435.8 nm 的蓝光完全不能通过．已知石英对此波长蓝光的旋光率为41.5o mm -1，求石英晶片的厚度．
解：设石英晶片的厚度为l ．由已知条件，石英晶片使蓝色偏振光的振动面旋转了90°角，
根据旋光公式l αϕ=得
7mm 1.2mm 5.41901=︒︒==-αϕl。