郑州市外国语新枫杨学校初一数学上册期末压轴题汇编

郑州市外国语新枫杨学校初一数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．如图 1，射线OC 在∠AOB 的内部，图中共有 3 个角：∠AOB 、∠AOC 和∠BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是∠AOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若∠MPN = 60︒，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒10︒的速度逆时针旋转，当∠QPN 首次等于180︒时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线PM 是∠QPN 的奇妙线？
②若射线PM 同时绕点P 以每秒6︒的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止旋转．请求出当射线PQ 是∠MPN 的奇妙线时t 的值．
答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或
【分析】
（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM
=2MPN．列出方程求解即可；
②分
解析：（1）是；（2）①9或12或18；②5
2
或
30
7
或
20
3
【分析】
（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，∠QPN=2∠MPN；∠MPN=2∠QPM；∠QPM =2∠MPN．列出方程求解即可；
②分3种情况，∠MPN=2∠QPN；∠MPQ=2∠QPN；∠QPN =2∠MPQ．列出方程求解即可．【详解】
（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，
则有∠α=2∠1，
∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案是：是；
（2）①由题意可知射线 PM 在∠QPN的内部，
∴∠QPN=（10t）︒，∠QPM=（10t-60）︒，
（a）当∠QPN=2∠MPN时，
10t=2×60，
解得t=12；
（b）当∠MPN=2∠QPM时，
60=2×（10t-60），
解得t=9；
（c）当∠QPM =2∠MPN时，
（10t-60）=2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②由题意可知射线 PQ 在∠MPN的内部，
∴∠QPN=（10t）︒，∠MPN=（60+6t）︒，∠QPM=∠MPN-∠QPN=（60-4t）︒，（a）当∠MPN=2∠QPN时，
60+6t=2×10t，
解得t=30
7
；
（b）当∠MPQ=2∠QPN时，60-4t=2×10t，
解得t=5
2
；
（c）当∠QPN =2∠MPQ时，10t=2×（60-4t），
解得t=20
3
．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为5
2
或
30
7
或
20
3
．
【点睛】
本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
2．在数轴上，点A代表的数是-12，点B代表的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．（1）①若点P为数轴上点A与点B之间的一个点，且AP=6，则BP=_____；
②若点P为数轴上一点，且BP=2，则AP=_____；
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是20，求C 点表示的数；
（3）若点M从点A出发，点N从点B出发，且M、N同时向数轴负方向运动，M点的运动速度是每秒6个单位长度，N点的运动速度是每秒8个单位长度，当MN=2时求运动时间t的值．
答案：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在
解析：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP=AB+BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）分点M在点N的左侧和点M在点N的右侧，两种情况分别列出方程求解．
【详解】
解：（1）①∵AB总距离是2-（-12）=14，P在数轴上点A与B之间，
∴BP=AB-AP=14-6=8，
故答案为：8．
②P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP=14-2=12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB=14，所以P只能在B右侧，此时BP=2，
AP=AB+BP=14+2=16，
故答案为：16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC=-12-x，BC=2-x，AC+BC=20，
则-12-x+2-x=20，解得x=-15，
当C在B右侧时，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，
则x-（-12）+x-2=20，解得x=5，
∴点C表示的数为-15或5；
（3）当M在点N左侧时，
2-8t-（-12-6t）=2，
解得：t=6；
当M在点N右侧时，
-12-6t-（2-8t）=2，
解得：t=8，
∴MN=2时，t的值为6或8．
【点睛】
本题考查了动点问题，一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
3．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足22
++++-=．
(8)(2)|3|0
a b c
（1）求a 、b 、c 的值；
（2）若点A 沿数轴向左．以每秒1个单位的速度运动，点B 和点C 沿数轴向右．运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t （秒）． ①2秒后，点A 、B 、C 表示的数分别是 ， ， ；
②运动t 秒后，求点B 和点C 之间的距离（用“BC ”表示）和点A 和点B 之间的距离（用“AB ”表示）；（用含t 的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3×BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；
（3）若点A 沿数轴向右．以每秒1个单位的速度运动，点B 和点C 沿数轴向左．运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t （秒）．是否存在某一时刻，满足点A 和点B 之间的距离是点B 和点C 之间的距离的1
2？若存在，直接写出时间t 的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）；（2）① ，；②， ；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，． 【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 、c 的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）①
解析：（1）8,2,3a b c =-=-=；（2）①10,- 2，9；②36AB t =+，5BC t =+ ；③不变，这个不变的值为9；（3）存在，7
5
t =，177
t =
． 【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 、c 的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）①2秒时A 计算-8-2，B 计算-2+2×2，C 计算3+2×3即可,
②t 秒时，点A 表示-8-t ，点B 表示-2+2t ，点C 表示3+3t ，根据根据两点间的距离公式计算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t), ③计算3×BC-AB=3（5+t ）-(8+3t)即可；
（3）分类讨论．先把A 、B 、C 用t 表示，点A 表示-8+t ，点B 表示-2-2t ，，点C 表示3-3t ，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t ，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t ，t 2<时5-t=2(6-3t)， 2t 5≤<时5-t=2(3t-6)， t≥5时，t-5=2(3t-6)即可．
【详解】
(1)依题意，8a +=0，2b +=0，3c -=0． 所以=-8a ，=-2b ，=3c ．
(2)①2秒后，点A 表示-8-2=-10， 点B 表示-2+2×2=-2+4=2, 点C 表示3+2×3=3+6=9,
2秒后，点A 、B 、C 表示的数分别是-10，2， 9； ②t 秒时，点A 表示-8-t ，点B 表示-2+2t ，点C 表示3+3t ， BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t ， AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t ， ③3×BC -AB=3（5+t ）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9 不变化，这个不变的值为9；
（3）t 秒时，点A 表示-8+t ，点B 表示-2-2t ，点C 表示3-3t ， BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t ， AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t ，
t 2<时5-t=2(6-3t)，t=75
2t 5≤<时5-t=2(3t-6)，t=
177
t≥5时，t-5=2(3t-6),t=75
舍去 存在，时间t 的值为75
或177
． 【点睛】
本题考查了实数与数轴，非负数的性质，列代数式，整式的加减，两点间的距离公式，分类构造方程是解题关键．
4．如图，在数轴上，点O 是原点，点A ，B 是数轴上的点，已知点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，且a ，b 满足2
5(6)03
a b b ++-=．
（1）在数轴上标出点A ，B 的位置． （2）在数轴上有一个点C ，满足9
2
CA CB -=
，则点C 对应的数为________． （3）动点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动设运动时间为t 秒（0t >）． ①当t 为何值时，原点O 恰好为线段PQ 的中点．
②若M 为AP 的中点，点N 在线段BQ 上，且1
3
BN BQ =，若3MN =时，请直接写出t 的
值．
答案：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O 恰好为线段PQ 的中点；②当MN=3时 ,的值为或秒． 【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；
（2）设点C 对应的数为x ，分两
解析：（1）见解析；（2）14；（3）①4
3
t =时，点O 恰好为线段PQ 的中点；②当MN=3时 ,t 的值为194或13
4
秒． 【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出5
03
a b +=，60b -=，得出10a =-，6b =，画出
图形即可；
（2）设点C 对应的数为x ，分两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可； （3）①分相遇前和相遇后两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可； ②根据题意得到点Q 、点N 对应的数，列出绝对值方程即可求解． 【详解】
（1）∵2
5(6)03a b b ++-=，
∴5
03
a b +=，60b -=，
∴10a =-，6b =， 点A ，B 的位置如图所示：
（2）设点C 对应的数为x ， 由题意得：C 应在A 点的右侧， ∴CA=()10x --=10x +，
①当点C 在线段AB 上时，如图所示：
则CB=6x -， ∵CA-CB=9
2
，
∴()91062
x x +--=， 解得：14
x =
； ②当点C 在线段AB 延长线上时，如图所示：
则CB=6x -，
∵CA-CB=9
2
，
∴()9
1062
x x +--=
，方程无解； 综上，点C 对应的数为1
4；
故答案为：1
4
；
（3）①由题意得：6AP t =，3BQ t =，分两种情况讨论： 相遇前，如图：
106OP t =-，63OQ t =-，
∵点O 恰好为线段PQ 的中点， ∴10663t t -=-， 解得：43
t =
； 相遇后，如图：
610OP t =-，36OQ t =-，
∵点O 恰好为线段PQ 的中点， ∴61036t t -=-， 解得：43t =，此时，4
68103
AP =⨯=<，不合题意； 故4
3
t =
时，点O 恰好为线段PQ 的中点； ②当运动时间为t 秒时，点P 对应的数为(610t -)，点Q 对应的数为(63t -)， ∵M 为AP 的中点，点N 在线段BQ 上，且1
3
BN BQ =，
∴点M 对应的数为6t 1010
3t 102
--=-， 点N 对应的数为()663t 66t 3
---=-，
∵3MN =，
∴()3t 106t 3---=， ∴4316t =±+， ∴194t =
或134
， 答：当t 的值为
194或13
4
秒时，3MN =．
本题考查了一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，解题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面，分类讨论，不要遗漏．
5．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a 的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作||α．
实际上，数轴上表示数3-的点与原点的距离可记作|30|--；数轴上表示数3-的点与表示数2的点的距离可记作|32|--，也就是说，在数轴上，如果A 点表示的数记为,a B 点表示
的数记为b ，则A
B 、两点间的距离就可记作||-a b ． （学以致用）
（1）数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x 与1-的两点A 和B 之间的距离为2，那么x 为________． （解决问题）
如图，已知,A B 分别为数轴上的两点，点A 表示的数是30-，点B 表示的数是50．
（3）现有一只蚂蚁P 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动． ①求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间； ②求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间． （数学理解）
（4）数轴上两点A
B 、对应的数分别为a b 、，已知2(5)|1|0a b ++-=，点M 从A 出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．表达出t 秒后M B 、之间的距离___________（用含t 的式子表示）．
答案：（1）；（2）或；（3）①；②或；（4） 【分析】
（1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
（2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程再解方程可得答案； （3）①由路程除以两只蚂蚁的
解析：（1）4；（2）1或3-；（3）①16s ；②18t s =或14t s =；（4）63.t -+ 【分析】
（1）直接利用A
B 、两点间的距离公式AB a b =-进行计算即可得到答案； （2）由数轴上表示x 与1-的两点间的距离为2，列方程12,x +=再解方程可得答案； （3）①由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案；②设ts 后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，再分别表示ts 后Q 对应的数为302,t -+ P 对应的数为503t -，用含t 的代数式表示PQ ，
再列方程，解方程可得答案； （4）先求解,a b 的值，再表示ts 后M 对应的数为53t -+，再利用两点间的距离公式表示
,M B 之间的距离即可得到答案．
解：（1）数轴上表示1和3-的两点之间的距离是()1313 4.--=+= 故答案为：4.
（2）由题意得：()12,x --=
12,x ∴+=
12x ∴+=或12,x +=- 1x ∴=或 3.x =-
故答案为：1或 3.-
（3）①由题意可得：305080AB =--=， 所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为：
80
=16.3+2
s ②如图，设ts 后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，
由题意得：ts 后Q 对应的数为302,t -+ P 对应的数为503t -，
()30250380510PQ t t t ∴=-+--=-+=，
80510t ∴-+=或80510t -+=-，
18t ∴=或14t =，
经检验：18t =或14t =符合题意，
所以当18t s =或14t s =两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度． （4） 2(5)|1|0a b ++-=， 50a ∴+=且10b -=，
5,1,a b ∴=-=
如图，t 秒后M 对应的数为：53t -+，
53163.MB t t ∴=-+-=-+ 故答案为：63.t -+ 【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，一元一次方程的解法，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键． 6．（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n （n ≥1），则称这个点是另外两点的n 阶伴侣点．如图，O 是点A 、B 的1阶伴侣点；O 是点A 、C 的2阶伴侣点；O 也是点B 、C 的2阶伴侣点．
（初步思考）
（1）如图，C 是点A 、B 的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M 、N 分别表示－1和4，则M 、N 的3
2
阶伴侣点所表示的数为 ；
（深入探索）
（3）若数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别为a 、b 、c ，且点C 是点A 、B 的n 阶伴侣点，请直接用含a 、b 、n 的代数式表示c ．
答案：（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n ＝1时，c ＝，当n ＞1时，点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋ (b －a)；点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋ (b －a)；点C 在点A 、B 之
解析：（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n ＝1时，c ＝2
a b
+，当n ＞1时，点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋1
n
n + (b －a )；点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋
11n + (b －a )；点C 在点A 、B 之外且靠近点B 时，c ＝a ＋1
n n - (b －a )；点C 在点A 、B 之外且靠近点A 时，c ＝a －1
1
n - (b －a )． 【分析】
初步思考：（1）可根据n 阶伴侣点的概念判断即可； （2）根据n 阶伴侣点的概念分类讨论即可；
深入探究：（3）根据n 阶伴侣点的概念分类讨论即可． 【详解】
解：（1）∵O 是点A 、B 的1阶伴侣点；O 是点A 、C 的2阶伴侣点；O 也是点B 、C 的2阶伴侣点，
∴OA =OB ,OC =2OA ,OC =2OB ， ∴AC =3BC ，
∴C 是点A 、B 的3阶伴侣点； 故答案是：3
（2）设表示的数为x ,由题意有： ①|x+1|=2
3
|x-4|，
解得，x=1或x=-11， ②|x -4|=2
3
|x +1|，
解得，x=2或x=14，
综上所述，M 、N 的32阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14； （3）①当n ＝1时，c ＝2
a b +． ②当n ＞1时，无论a ＞b 或a ＜b ，均有下列四种情况：
点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋
1n n + (b －a )； 点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋
11n + (b －a )； 点C 在点A 、B 之外且靠近点B 时，c ＝a ＋
1n n - (b －a )； 点C 在点A 、B 之外且靠近点A 时，c ＝a －
11
n - (b －a )． 【点睛】
本题主要考查新定义“n 阶伴侣点”， 解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题．
7．如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=∠AOD ，射线OM （与射线OB 重合）
绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°
/s ，射线ON （与射线OD 重合）绕O 点顺时值方向旋转，速度为12°
/s ，两射线，同时运动，运动时间为t 秒（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有______个直角；当t=2时，∠MON 的度数为_____，∠BON 的度数为_____，∠MOC 的度数为_____；
（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON －60°，试求出t 的值．
（3）当0＜t ＜6时，探究
72COM BON MON ∠+∠∠的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满足怎样的条件不是定值．
答案：（1）4；144°，114°，60°；（2）s 或10s ；（3），当0＜t ＜时，的值不是定值，当＜t ＜6时，的值是3
【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定 解析：（1）4；144°，114°，60°；（2）107s 或10s ；（3），当0＜t ＜103
时，
72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，72COM BON MON ∠+∠∠的值是3 【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM ，ON 的位置，可得∠MON 的度数，∠BON 的度数以及∠MOC 的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t ＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t 的值；
（3）先判断当∠MON 为平角时t 的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t ＜
103时，当103
＜t ＜6时，分别计算
72COM BON MON ∠+∠∠的值，根据结果作出判断即可． 【详解】
解：（1）如图所示，∵两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴图中一定有4个直角；
当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°-30°=60°；
故答案为：4；144°，114°，60°；
（2）当ON 与OA 重合时，t=90÷12=7.5（s ），
当OM 与OA 重合时，t=180°÷15=12（s ），
如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(90°-12t°)-60°，
解得t=107； 如图所示，当7.5＜t ＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(12t°-90°)-60°，
解得t=10；
综上所述，当∠AOM=3∠AON-60°时，t 的值为107
s 或10s ； （3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t°+90°+12t°=180°，
解得t=103
， ①如图所示，当0＜t ＜
103时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
7901529012159012t t t t ︒︒︒︒︒︒︒-++++ =810812790t t ︒︒
︒
-+（不是定值）， ②如图所示，当103
＜t ＜6时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°， ∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
790152901227027t t t ︒︒︒︒︒︒-++- =8108127027t t ︒︒
︒︒
--=3（定值）， 综上所述，当0＜t ＜103时，72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，72COM BON MON
∠+∠∠的值是3． 【点睛】
本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键是将相关的角用含t 的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
8．已知直线AB 过点O ，∠COD ＝90°，OE 是∠BOC 的平分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC ＝40°，则∠DOE ＝
②如图1，若∠AOC ＝α，则∠DOE ＝ （用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD 绕顶点O 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD 绕顶点O 逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC ＝α，求∠DOE 的度数，（用含α的代数式表示）
答案：（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD ＝90°，得∠AOC ＋∠BOD ＝90°，从而∠BOD ＝50°，OE 是∠BOC 的平分线，可得
解析：（1）20°，1
2
α；（2）成立，理由见详解；（3）180°－
1
2
α．
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝
1
2
α；
（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝
1 2∠BOC＝90°－1
2
α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；
（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－1
2
α．【详解】
解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝1
2
∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝1
2∠BOC＝90°﹣1
2
α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣1
2α﹣（90°﹣α）＝1
2
α，
（2）（1）中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝1
2∠BOC＝90°﹣1
2
α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣1
2α）＝1
2
α；
（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝1
2∠BOC＝90°﹣1
2
α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣1
2α）＝180°﹣1
2
α．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
9．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20
-和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数。

（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()
t s的所有可能值．
答案：（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为
解析：（1）是；（2）10或0或20；(3)
15
2
t=；t=6；
60
7
t=；t=12；
90
7
t=；
45
4
t=．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC 时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ），
解得，x=20．
综上，C 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得()()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤⎧⎪==-=⎨-≤⎪⎩
，，＜， （i ）、若0≤t≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有
①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，152
t =， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ，
解得，t=6；
③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607
t =； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152
t =；t=6；607t =； （ii ）、若10＜t≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有
①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ）， 解得，907
t =； ③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454
t =． 综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =
；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【点睛】 本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
10．如图1，在平面内，已知点O 在直线AB 上，射线OC 、OE 均在直线AB 的上方，AOC α∠=（030α︒<<︒），2COE α∠=，OD 平分COE ∠，DOF ∠与AOC ∠互余．
（1）若:1:5AOE BOE ∠∠=，则α=________°；
（2）当OF 在BOC ∠内部时
①若20α=︒，请在图2中补全图形，求EOF ∠的度数；
②判断射线OF 是否平分BOD ∠，并说明理由；
（3）若4EOF AOC ∠=∠，请直接写出α的值． 答案：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF 平分 ，理由见解析；（3）或 ．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据
∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
解析：（1）10︒；（2）①补全图形见解析；50EOF ∠=︒；②OF 平分 BOD ∠，理由见解析；（3）15α=︒或 22.5︒．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF 与∠AOC 互余，可求出∠DOF ，又因为OD 平分∠COE ，可求得∠DOE ，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE 即可求解；②根据∠DOF=90︒-∠AOC ，∠BOF=180-AOC COD DOF ︒∠-∠-∠，即可求证；
（3）分两种情况进行计算：①OF 在∠BOC 内部，根据∠EOF=4∠AOC=4α，OD 平分∠COE ，∠COE=2α，可得∠DOE=∠COD=α，继而可得
∠DOF=∠DOE+∠EOF=α+4α=5α=∠BOF ，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出α的值；②OF 在∠BOC 外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF ，可得到∠AOF=α，又因为∠DOF 与∠AOC 互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出α的值．
【详解】
解：（1）∵AB 为直线，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵∠AOE ：∠BOE=1：5，
∴∠AOE=1180=306
︒⨯︒， ∵∠AOC=α，∠COE=2α，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=α+2α=3α=30°，
解得：=10α︒；
（2）①补全的图形见下图：
∵∠DOF 与∠AOC 互余，
∴∠DOF=90︒-∠AOC=70°，
∵OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=α=20°，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=70-20=50︒︒︒；
②OF 平分∠BOD ，理由如下：
由题意得：∠DOF=90︒-∠AOC=90︒-α，
∠BOF=180AOC COD DOF ︒-∠-∠-∠
=()18090ααα︒---︒-
=90α︒-，
∴∠DOF=∠BOF ，
∴OF 平分∠BOD ；
（3）分两种情况：
①当OF 在∠BOC 内部时，如下图所示：
∵∠EOF=4∠AOC=4α，OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=∠COD=α，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=α+4α=5α=∠BOF ，
∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，
即++5+5=180αααα︒，
解得：=15α︒；
②当OF 在∠BOC 外部时，如下图所示：
∵OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=∠COD=α，
∵∠EOF=4∠AOC=4α，
∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=2α+α+∠AOF=4α，
∴∠AOF=α，
∵∠DOF 与∠AOC 互余，
∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，
∴α+α+α+α=90°，
解得：=22.5α︒
综上所述，α的值为15︒或22.5︒．
【点睛】
本题考查角平分线、余角补角、尺规作图等知识，综合运用相关知识点是解题的关键． 11．以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使∠BOC ＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O 处，即∠DOE ＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE 的一边OE 放在射线OA 上，则∠COD ＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 顺时针转动到某个位置，若OE 恰好平分∠AOC ，则∠COD ＝ ；
（3）将直角三角板DOE 绕点O 顺时针转动（OD 与OB 重合时为停止）的过程中，恰好有
∠COD ＝13
∠AOE ，求此时∠BOD 的度数．
答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在
解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解COE ∠的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当COD ∠在BOC ∠的内部时，②当COD ∠在BOC ∠的外部时，根据角的和差可求解．
【详解】
解：（1）由题意得90BOD ∠=︒，
40BOC ︒∠=，
904050COD ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为50︒；
（2）180AOC BOC ∠+∠=︒，40BOC ∠=︒，
18040140AOC ︒︒︒∴∠=-=， OE 平分AOC ∠， 1702COE AOC ∴∠=∠=︒， 90DOE ∠=︒，
907020COD ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为20︒；
（3）①当COD ∠在BOC ∠的内部时，
COD BOC BOD ∠=∠-∠，而40BOC ∠=︒，
40COD BOD ∴∠=︒-∠，
180AOE EOD BOD ∠+∠+∠=︒，90EOD ∠=︒，
90AOE BOD ∴∠=︒-∠，
又1
3
COD AOE ∠=∠， ∴140(90)3
BOD BOD ︒-∠=︒-∠， 15BOD ∴∠=︒；
②当COD ∠在BOC ∠的外部时，
COD BOD BOC ∠=∠-∠，而40BOC ∠=︒，
40COD BOD ∴∠=∠-︒，
180AOE EOD BOD ∠+∠-∠=︒，90EOD ∠=︒，
90AOE BOD ∴∠=︒-∠，
又13
COD AOE ∠=∠， ∴140(90)3
BOD BOD ∠-︒=︒-∠， 52.5BOD ∴∠=︒，
综上所述：BOD ∠的度数为15︒或52.5︒．
【点睛】
本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
12．如图，点O 在直线AB 上，90COD ∠=︒．
（1）如图①，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 上（即OC 与OA 重合），另一边射线OD 在直线AB 上方时，OF 是BOD ∠的平分线，则COF ∠的度数为_______．
（2）在图①的基础上，将COD ∠绕着点O 顺时针方向旋转（旋转角度小于360︒），OE 是AOC ∠的平分线，OF 是BOD ∠的平分线，试探究EOF ∠的大小．
①如图②，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的上方时，求EOF ∠的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出AOC ∠与BOD ∠的和，从而求出EOC ∠与FOD ∠的和，就能求出EOF ∠的度数．
小英：可设AOC ∠为x 度，用含x 的代数式表示EOC ∠、FOD ∠的度数，也能求出EOF ∠的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF ∠的度数．
②如图③，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 的上方，另一边射线OD 在直线AB 的下方时，小红和小英认为也能求出EOF ∠的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF ∠的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的下方时，能否求出EOF ∠的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF ∠的度数．
答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，
【分析】
（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；
②用同上的方
解析：（1）135︒；（2）①135EOF ∠=︒；②同意，=135EOF ∠；③能求出，45EOF ∠=︒
【分析】
（1）由90COD ∠=︒得90BOD ∠=︒，再由角平分线的性质求出DOF ∠的度数，由COF COD DOF ∠=∠+∠即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；
②用同上的方法去求出结果；
③设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-，由角平分线的性质表示出AOE ∠和BOF ∠，根据180EOF AOE BOF ∠=︒-∠-∠即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵90COD ∠=︒，
∴1809090BOD ∠=︒-︒=︒，
∵OF 平分BOD ∠， ∴1452
DOF BOD ∠=∠=︒， ∴135COF COD DOF ∠=∠+∠=︒，
故答案是：135︒ ；
（2）①方法1：∵90COD ∠=︒，
∴18090AOC BOD COD ∠+∠=︒-∠=︒
∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠， ∴12EOC AOC ∠=∠，12
FOD BOD ∠=∠， ∴()1452
EOC FOD AOC BOD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴135EOF EOC FOD COD ∠=∠+∠+∠=︒，
方法2：设AOC ∠为x 度，
∵OE 平分AOC ∠， ∴1122
EOC AOC x ∠=∠=， ∵90COD ∠=︒，
∴18090BOD COD AOC x ∠=︒-∠-∠=︒-，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()1119045222
FOD BOD x x ∠=∠=-=︒-︒， ∴11904513522EOF EOC COD FOD x x ⎛⎫∠=∠+∠+∠=
++-=⎪⎝
⎭︒ ︒︒； ②同意，
方法1：∵180AOC BOC ∠+∠=︒，OE 平分AOC ∠， ∴()1118022EOC AOC BOC ∠=∠=︒-∠1902
BOC =︒-∠， ∵90COD ∠=︒，
∴90BOD BOC ∠=︒-∠，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()119022BOF BOD BOC ∠=∠=︒-∠1452
BOC =︒-∠， ∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠11904513522BOC BOC BOC ⎛⎫⎛⎫=-∠+-∠+∠= ⎪ ⎪⎝⎝⎭
︒⎭︒︒，
方法2：设AOC ∠为x 度，
∵OE 平分AOC ∠， ∴1122EOC AOC x ∠=∠=， ∴180180BOC AOC x ∠=︒-∠=︒-，
∵90COD ∠=︒，
∴9090BOD BOC x ∠=-∠=-︒︒，
∵OF 平分BOD ∠，
∴()1119045222
BOF BOD x x ︒∠=∠=-=-︒， ∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠()111804513522x x x ⎛⎫=
+-+-︒= ⎪⎝⎭
︒︒， ③能求出，45EOF ∠=︒，理由：
设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-，
∴270BOD BOC COD x ∠=∠+∠=︒-，
∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，
∴1122AOE AOC x ∠=∠=，()111270135222BOF BOD x x ∠=∠=︒-=︒-， ∴111801801354522EOF AOE BOF x x ⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-
-︒-=︒ ⎪⎝
⎭． 【点睛】 本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质． 13．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图1，若2BOC AOB ∠=∠，则OB 是AOC ∠的一条三分线；若2AOD COD ∠=∠，则OD 是AOC ∠的另一条三分线．
（1）如图2，OB 是AOC ∠的三分线，BOC AOB ∠>∠，若60AOC ∠=︒，则
AOB ∠= ；
（2）如图3，120DOF ∠=︒，OE 是DOF ∠的四分线，DOE EOF ∠>∠，过点O 作射线OG ，当OG 刚好为DOE ∠三分线时，求GOF ∠的度数；
（3）如图4，120AOD ∠=︒射线OB 、OC 是AOD ∠的两条四分线，将BOC ∠绕点O 沿顺
时针方向旋转(0180)a α︒≤≤，在旋转的过程中，若射线OB 、OC 、OD 中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出α的值．
答案：（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或
【分析】
（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（3）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】
解：
解析：（1）20︒；（2）GOF ∠的度数为60︒或90︒；（3）α的值为10︒或45︒或75︒或110︒
【分析】
（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（3）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】
解：（1）∵OB 是AOC ∠的三分线，BOC AOB ∠>∠，60AOC ∠=︒， ∴1203AOB AOC ∠=∠=︒， 故答案为：20︒；
（2）120DOF ∠=︒，OE 是DOF ∠的四分线，DOE EOF ∠>∠，
3904
DOE DOF ∴∠=∠=︒， OG 为DOE ∠的三分线，
①当DOG GOE ∠>∠时，2603
DOG DOE ∠=∠=︒， 1206060GOF ∴∠=︒=︒-︒，
②当DOG GOE ∠<∠时，1303
DOG DOE ∠=∠=︒， 1203090GOF ∴∠=︒-︒=︒，
综上所述，GOF ∠的度数为60︒或90︒，
（3）∵120AOD ∠=︒射线OB 、OC 是AOD ∠的两条四分线，
∴∠AOB=∠COD=14
∠AOD=30°，∠BOC=60°，
如①图，当OC 是∠BOD 的四分线时，∠BOC=34BOD ∠, ∠BOD=80°，∠COD=20°，
α=30°-20°=10°；
如②图，当OD 是∠BOC 的四分线且∠BOD>∠COD 时，
∠COD=14
∠BOC=15°， α=30°+15°=45°；
如③图，当OD 是∠BOC 的四分线且∠BOD<∠COD 时，
∠COD=34
∠BOC=45°， α=30°+45°=75°；
如④图，当OB 是∠COD 的四分线时，∠BOC=34
COD ∠, ∠COD=80°，
α=30°+80°=110°；
α的值为10︒或45︒或75︒或110︒
【点睛】
本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．
14．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，
90AOB ∠=︒，30COD ∠=︒。