河南省信阳高中2018学年高二下学期开学数学试卷文科

2018-2018学年河南省信阳高中高二（下）开学数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知曲线C 1，C 2的方程分别为f 1（x ，y ）=0，f 2（x ，y ）=0，则“f 1（x 0，y 0）=f 2（x 0，y 0）”是“点M （x 0，y 0）是曲线C 1与C 2的交点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．命题“∃x ＜0，2x ＞0”的否定是（ ） A ．∃x ＜0，2x ≤0 B ．∃x ＞0，2x ≤0 C ．∀x ＜0，2x ＞0 D ．∀x ＜0，2x ≤0
3．已知函数
，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
4．已知函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[160，+∞） B ．（﹣∞，40] C ．（﹣∞，40]∪[160，+∞） D ．（﹣∞，20]∪[80，+∞） 5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sinBsinC ，则A 的取值范围是（ ）
A ．（0，
] B ．[
，π）
C ．（0，
] D ．[
，π）
6．设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点
P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若且，则点P 的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（ ）
A ．i ＞4？
B ．i ＞5？
C ．i ≤4？
D ．i ≤5？
8．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x18+[f（x0）]2＜m2，则m的
取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
9．已知两定点A（0，﹣2），B（0，2），点P在椭圆=1，且满足||﹣||=2，则
•为（）
A．﹣12 B．12 C．﹣9 D．9
根据上表可得回归方程=，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
11．函数f（x）=x2+bx的图象在点A（l，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}
的前n项和为Sn，则S2018=（）
A．1 B．C．D．
12．若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a
的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．已知m，n为实数，若关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为（﹣1，3），则m+n的值为．14．A，B，C，D是同一球面上的四个点，，AD⊥平面ABC，
AD=6，，则该球的表面积为．
15．设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去
某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为．
16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px的焦
点与F2重合，若点P为椭圆和抛物线的一个公共点且cos∠PF1F2=，则椭圆的离心率为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=sin2A，
A≠．
（Ⅰ）求角A的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=，C为钝角，求角A的大小．
=9S n+10．
18．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，a n
+1
（1）求证：{lga n}是等差数列；
（2）设对所有的n ∈N*都成立的最大正整数m的值．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=2，
AA1=2，D、E分别为AA1、BC1的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB1C1C；
（2）求BC与平面BC1D所成角；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
20．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（1）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率；
（2）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
22．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当抛物线的准线方程为时，作正方形ABCD使得边CD直线方程为y=x+4，求正方形的边长；
（2）抛物线上一定点Px0，y0
（y0＞0），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线
）
AB的斜率是非零常数．
2018-2018学年河南省信阳高中高二（下）开学数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知曲线C1，C2的方程分别为f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，则“f1（x0，y0）=f2（x0，y0）”是“点M（x0，y0）是曲线C1与C2的交点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】设C1方程为x+y+1=0，C2方程为2x+2y﹣1=0，当x=1，y=1时，满足“f1（x0，y0）=f2（x0，y0）”，反之时成立的，即可判断出关系．
【解答】解：设C1方程为x+y+1=0，C2方程为2x+2y﹣1=0，当x=1，y=1时，满足1+1+1=2+2﹣1，
但是点（1，1）并不是其交点，所以由“f1（x0，y0）=f2（x0，y0）”
推不出“点M（x0，y0）是曲线C1与C2的交点”，反之成立的，
所以“f1（x0，y0）=f2（x0，y0）”是“点M（x0，y0）是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件，
故选：B．
2．命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）
A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：根据特称命题的否定为全称命题，
可得命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是“∀x＜0，2x≤0”，
故选：D．
3．已知函数，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】计算各区间断点的函数值，利用零点的存在性定理判断．
【解答】解：f（1）=6﹣log21=6＞0，f（2）=3﹣log22=2＞0，f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=
﹣2＜0，
∴f（3）f（4）＜0，
∴函数f（x）在（3，4）内存在零点．
故选D．
4．已知函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[160，+∞） B ．（﹣∞，40] C ．（﹣∞，40]∪[160，+∞） D ．（﹣∞，20]∪[80，+∞） 【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】由函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值，结合二次函数的性质可知，函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上是单调函数，根据对称轴与区间的关系可求k 的范围
【解答】解：∵函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值 根据二次函数的性质可知，函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上是单调函数
∴
或
∴k ≤40或k ≥160 故选C
5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sinBsinC ，则A 的取值范围是（ ）
A ．（0，
] B ．[
，π）
C ．（0，
] D ．[
，π）
【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA 的范围，进而求得A 的范围．
【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ， ∵sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sinBsinC ， ∴a 2≤b 2+c 2﹣bc ， ∴bc ≤b 2+c 2﹣a 2
∴cosA=
≥
∴A ≤
∵A ＞0
∴A 的取值范围是（0，]
故选C
6．设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点
P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若且，则点P 的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】圆锥曲线的共同特征． 【分析】设P （x ，y ），则Q （﹣x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a ＞0，b ＞0，表示出
，根据
，可求得a 和b 的表达式，进而根据由
=1求得P 的轨迹方程．
【解答】解：设P（x，y），则Q（﹣x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，
∴，
由可得a=x，b=3y，
∴x＞0，y＞0
又∵=（﹣a，b）=（﹣x，3y），
由=1
∴
故选：D
7．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）
A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？
【考点】程序框图．
【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+…+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．
【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+…+2n的值，
∵输出的S是31，
∴S==2n+1﹣1=31，
解得n=4；
退出循环体的n值为5，
∴判断框的条件为n≥5或n＞4．
故选：A．
8．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x18+[f（x0）]2＜m2，则m的
取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，
|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．
再由x18+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，
∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．
求得m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
9．已知两定点A（0，﹣2），B（0，2），点P在椭圆=1，且满足||﹣||=2，则
•为（）
A．﹣12 B．12 C．﹣9 D．9
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由||﹣||=2，求出双曲线的方程，将两曲线的方程联立方程组可解得x2=9，y2=4，
代入•=（x，y+2）（x，y﹣2）=x2+y2﹣4进行运算得答案．
【解答】解：由||﹣||=2，可得点P（x，y）的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线
的上支，且2a=2，c=2，∴b=，
∴P的轨迹方程为，
把=1和联立可解得：x2=9，y2=4，
则•=（x，y+2）（x，y﹣2）=x2+y2﹣4=9+4﹣4=9．
故选：D．
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根据上表可得回归方程=，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵=3.5，
=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故选：B．
11．函数f（x）=x2+bx的图象在点A（l，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}
的前n项和为Sn，则S2018=（）
A．1 B．C．D．
【考点】数列的求和；二次函数的性质．
【分析】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{}的通项公式，
计算可得答案．
【解答】解：f′（x）=2x+b，
由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，
根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，
从而数列{}的通项为，
所以S2018==，
故选：D．
12．若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a
的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，）
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，确定目标函数的斜率满足的条件即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=ax﹣y得y=ax﹣z，
则直线y=ax﹣z截距最大时，此时z最小．
直线3x﹣5y+6=0的斜率k1=，
直线2x+3y﹣15=0的斜率k2=，
∵当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，
∴直线y=ax﹣z经过点A（3，3）时，截距最大，此时z最小．
则直线直线y=ax﹣z的斜率a满足：
k2＜a＜k1，
即＜a＜，
故实数a的取值范围是：（，），
故选：C．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．已知m，n为实数，若关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为（﹣1，3），则m+n的值为﹣5．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，列出方程即可求出m、n的值．【解答】解：关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为（﹣1，3），
∴﹣1和3是方程x2+mx+n=0的两根，
由根与系数的关系，得；
，
解得m=﹣2，n=﹣3，
∴m+n=﹣5．
故答案为：﹣5．
14．A，B，C，D是同一球面上的四个点，，AD⊥平面ABC，
AD=6，，则该球的表面积为60π．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
上下底面中心F、E连线的中点O与A的距离为球的半径，
AD=6，AB=AC=2，OE=3，△ABC是等腰直角三角形，
E是BC中点，AE=×=，
∴球半径AO==．
所求球的表面积S=4π（）2=60π．
故答案为：60π．
15．设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去
某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为
{（4，﹣4），（4，1）} ．
【考点】等比数列的性质；集合的表示法；等差数列的性质．
【分析】设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，
假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；
去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣，
因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对=（4，﹣
4）；
去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1
则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，
因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对=（4，1）；
去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；
当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．
所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．
故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}
16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px的焦
点与F2重合，若点P为椭圆和抛物线的一个公共点且cos∠PF1F2=，则椭圆的离心率为
．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由P在抛物线上可得：cos∠PF1F2==，又|PF1|+|PF2|=2a，解得|PF1|，|PF2|．在△PF1F2中，利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由P在抛物线上可得：cos∠PF1F2==，
又|PF1|+|PF2|=2a，解得|PF1|=，|PF2|=．
△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠PF1F2==，
化简得8c2﹣7ac+a2=0，
∴8e2﹣7e+1=0，
解得e=．
故答案为：．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=sin2A，
A≠．
（Ⅰ）求角A的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=，C为钝角，求角A的大小．
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．
【分析】（Ⅰ）化简已知等式可得：2sinBcosA=2sinAcosA，由cosA≠0，根据正弦定理，
得b=，又0＜sinB≤1，可得0＜sinA从而得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b ，又S=，结合C 为钝角，可求C ，由余弦定理可求得c 的
值，由正弦定理可求sinA=
，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由sinC +sin （B ﹣A ）=sin2A ，得sin （B +A ）+sin （B ﹣A ）=2sinAcosA ，
即：2sinBcosA=2sinAcosA ，因为cosA ≠0，sinB=sinA ． …
由正弦定理，得b=，故A 必为锐角． …
又0＜sinB ≤1，0＜sinA ． …
因此角A 的取值范围为（0，]…
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b=．又因为S=
，所以
．
从而sinC=
．因为C 为钝角，故C=． …
由余弦定理，得c 2=1+2﹣2×=1+2﹣2×
=2+
．
故有：c=
． …
由正弦定理，得sinA===．
因此A=． …
18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=10，a n +1=9S n +10． （1）求证：{lga n }是等差数列；
（2）设
对所有的n
∈N *都成立的最大正整数m 的值．
【考点】等差关系的确定；数列的求和．
【分析】（1）依题意可求得a 2的值，进而求得
的值，进而看当n ≥2时，根据a n =S n ﹣S n ﹣1
求得
判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得a n ，进而分别表示出lga n
和lga n +1，根据lga n +1﹣lga n =1，判断出lga n }n ∈N *是等差数列．
（2）根据（1）中求得a n 利用裂项法求得T n ，进而根据3﹣
≥，进而根据
求得m 的范围．判断出m 的最大正整数．
【解答】解：（1）依题意，，
当n≥2时，a n=9S n
﹣1+10①又a n
+1
=9S n+10②
②﹣①整理得：为等比数列，
且a n=a1q n﹣1=10n，∴lga n=n∴lga n
+1
﹣lga n=（n+1）﹣n=1，
即{lga n}n∈N*是等差数列．
（2）由（1）知，
=∴，
依题意有，
故所求最大正整数m的值为5．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=2，
AA1=2，D、E分别为AA1、BC1的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB1C1C；
（2）求BC与平面BC1D所成角；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（1）取BC中点F，连结AF，EF，则可证四边形AFED是平行四边形，得出DE∥AF，将问题转化为证明AF⊥平面BB1C1C；
（2）过C作CM⊥BC1于M点，则CM⊥平面BC1D，于是∠CBC1就是BC与平面BC1D所成的角，在Rt△BCC1解出∠CBC1即可；
（3）V=V=．
【解答】证明：（1）取BC中点F，连结AF，EF，
∵E，F分别是BC1，BC的中点，
∴，
∵，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AFED为平行四边形，
∴DE∥AF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AF⊥BC，
∵CC1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，
∴CC1⊥AF，又CC1⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，
∴AF⊥平面BB1C1C，又DE∥AF，
∴DE⊥平面BB1C1C．
（2）由（1）可得，平面AFED⊥平面BB1C1C，
过C作CM⊥BC1于M点，则CM⊥平面BC1D，
∴∠CBC1就是BC与平面BC1D所成的角，
∵，
∴∠CBC1=60°．即BC与平面BC1D所成角为60°．
（3）∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AF=．∴DE=．
∴V=V===2．
20．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（1）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率；
（2）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）列举可得总的基本事件和事件A中包含的基本事件，由古典概型可得；
（2）作出图象，由几何概型可得．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程有实根”，
总的基本事件共12个：（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）
（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件（a＞b），（1，0）（2，0）（2，1）
（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2），
∴事件A发生的概率为；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}，
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}．
∴所求的概率是．
21．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；
（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，
【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，
因为，
所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．
当x=1时，y=6，将（1，6）代入，
得．…
（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，
由题意得方程有唯一解，
即方程有唯一解．
令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），
所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是
减函数．
又，
故实数b的取值范围是．…
（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，
所以．
因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，
即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．
记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则
=＞
，
解得a2＞16，满足△＞0．
又，即a＞0，
故所求a的取值范围是（4，+∞）．…
22．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当抛物线的准线方程为时，作正方形ABCD使得边CD直线方程为y=x+4，求正
方形的边长；
（y0＞0），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线（2）抛物线上一定点Px0，y0
）
AB的斜率是非零常数．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立方程，结合韦达定理得到弦长CD的值，由AB与CD的距离求得正方形的边长，从而得到关于参数b的方程，进而通过b值得到边长；
（2）由PA与PB的倾斜角互补时可知斜率互为相反数，结合已知条件中点的坐标得到两直线的斜率表达式，从而得到关于P，A，B点坐标的关系式，将其整理变形可求得直线AB的斜率．
【解答】解：（1）设CD的方程为y=x+b，
由消去x得y2﹣y+b=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=1，y1y2=b，
∴|CD|==，
又AB与CD的距离d=，
由ABCD为正方形有=，
解得b=﹣2或b=﹣6；
∴正方形的边长为3或5；
（2）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，由y12=2px1，y18=2px0，相减得：
（y1﹣y0）（y1+y0）=2p（x1﹣x0），
故k PA==（x1≠x0）；
同理可得k PB=（x2≠x0）；
由PA、PB倾斜率角互补知k PA=﹣k PB，
即=﹣；
∴y1+y2=﹣2y0，故=﹣2；
设直线AB的斜率为k AB，由y22=2px2，y12=2px1，
相减得（y2﹣y1）（y2+y1）=2p（x2﹣x1），
∴k AB==（x1≠x2）；
将y1+y2=﹣2，（y0＞0）代入得：
k AB==﹣，
所以k AB是非零常数．
2018年10月17日。