广东省广州市五校高二数学上学期期末联考试题 理

2015—2016学年度第一学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理科）试题
试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：
1、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

2、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。

第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的。

） 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}
4,6
C ．{}1,3,5
D ．{}
4,6,7,8
2．函数()1lg(31)f x x x =-++的定义域是( ) 第1题图 A ．1(,)3-+∞ B ．1(,1)3- C ．1(,1]3- D ．1(,1)3
3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，则λ= ( )
A ．311-
B ．113-
C ．12
D ．35
4．下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若2
1x =，则1=x ”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”．
B ．线性回归直线方程y bx a =+恒过样本中心(,)x y ，且至少经过一个样本点．
C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．
5．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 6．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．65
B ．70
C ．130
D ．140
7．函数y ＝sin (2x ＋
π
4)的图像可由函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π
8
个单位长度而得到
C ．向左平移
π4个单位长度而得到 D ．向右平移π
4
个单位长度而得到 8．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 9．如图，若程序框图输出的S 是126，则判断框①中应为( ) A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤ 10．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S 等于( ) A.
31
4
B. 8
C. 31
D. 32 11．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是
坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）
A.5
B.
52 C.32 D.17
8
第9题图 12．若函数()M f x 的定义域为实数集R,满足()1,0,M x M
f x x M ∈⎧=⎨∉⎩
(M 是R 的非空真子集),在
R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅I ,则()()()()1
1
A B A B f x F x f x f x +=
++U 的值域为( )
A . 20,3⎛⎤ ⎥⎝
⎦ B. {}1 C. 12,,123
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
14．设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
,则2z x y =-的最大值是________．
15．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且
BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r
，则椭圆的离心率是_________．
16．设二次函数2
()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为(,0]-∞，则
19
c a
+的最大值为_________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）
A 、
B 、
C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若m u r ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
－cos A 2，sin A 2，
n r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos A 2
，sin A 2，且•m n u r r ＝12.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a ＝23且4b c +=，求此三角形的面积．
18．（本小题满分12分）
某校学生利用元旦节进行社会实践，在[25,55]岁的人群随机抽取n 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数
分组
已养成垃圾分类习惯的人数
占本组频率
第一组 [25,30)
120 0.6
第二组 [30,35)
195 p 第三组 [35,40) 100
0.5
第四组 [40,45) a
0.4 第五组 [45,50)
30 0.3 第六祖
[50,55]
15
0.3
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取6人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄都在[40,45)岁的概率.
19．（本小题满分12分）
已知二次函数2
()f x x =，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 均在函数()y f x =上的图像上。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{
}n n a a +前n 项和为n T ，问满足100209
n T >的最小正整数n 是多少?
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，
1160BB C ??,平面11AA B B ^平面11BB C C 。

（Ⅰ）求证：11B C AC ^；
（Ⅱ）求二面角1B AC C --的余弦值。

21．（本小题满分12分）
给定椭圆C ：22
221x y a b
+= ()0a b >> ，称圆心在坐标原点O 22a b +的
圆是椭圆C 的“伴随圆”． 已知椭圆C 的两个焦点分别是())
122,020F F -、，椭
圆C 上一动点1M 满足112123M F M F +=uuuu r uuuu u r
（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ） 过点P(0,)m ()0<m 作直线l ,使得直线l 与椭圆C 只有一个交点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22．求出m 的值．
22．（本小题满分12分）
设R ∈a ，函数
x a x x x f 2||)(+-⋅=．
（Ⅰ）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （Ⅱ）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；
（Ⅲ）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求
B
C
1
1
A 1
A
实数t 的取值范围．
2015-2016学年度上学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理）科试卷答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.
23
3
14. 3 15. 12 16. 3-
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） •m n u r r ＝－cos 2A 2
＋
sin 2
A
2
………………1分
＝－
cos A ………………2分
＝12， ∴cos A ＝－
1
2
， ………………3分 又∵A ∈(0°，180°)， ∴A ＝
120°. ………………4分
（Ⅱ）由余弦定理得：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos120°即b 2
＋c 2
＋bc ＝12 ………………5分
又∵4b c +=
∴联立方程2212
4
b c bc b c ⎧++=⎨+=⎩ 解得：
2
2
b c =⎧⎨=⎩ ………………8分 ∴S △ABC ＝1
2
bc sin120°＝
3 ……………10分 18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.3
0.065
=． 频率直方图如右： ……………2分 第一组的人数为
120
2000.6
=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n =
=． ……………3分 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
10000.3300⨯=，所以195
0.65300p ==． ……………4分 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为
10000.15150⨯=，
所以
1500.460a =⨯=． ……
………5分
（Ⅱ） “已养成垃圾分类习惯的人”中，由于[40,45)岁年龄段的人数与[45,50)岁年龄段的人数的比值为60:302:1=。

所以，采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁的占4人，分别编号为A 1，A 2，…A 4，[45,50)岁的占2人，分别编号为B 1，
B 2． ……………7分
从中任取两人，则总的基本事件构成集合Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，A 3) (A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，…，(B 1，B 2)}共有15
个， ……………9分
其中，年龄都在[40,45)岁的事件所含基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)， (A 1，A 4)，(A 2，
A 3)， (A 2，A 4)，(A 3，A 4)共6
个， ……………11分
故概率
62
155
p =
=. ……………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 点(,)n n S 均在函数()y f x =上的图像上 所以
2n S n = ……………1分
当1n =时，
11a = ……………2分
当2n …时，
221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， ……………4分
经检验当1n =时，也满足
21n a n =-， ……………5分
所以
2 1.n a n =- …………
…6分 （Ⅱ）12231111
n n n T a a a a a a -=
+++L ()()
1111
1335572121n n =
++++⨯⨯⨯-+L ……………7分
111111111[()()()()]21335572121
n n =-+-+-++--+L ……………9分
111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
21
n
n =
+ …………10分
由10021209n n T n =
>
+，得1009n >，满足100
209
n T >的最小正整数为
12. …………12分
20．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接1BC . 在正方形11ABB A 中，1AB BB ^.
因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C Ì平面11BB C C ，
所以 1AB B C ^. ………………2分 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^. ………………3分 因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =， 所以 1B C ^平面
1ABC . ………………4分
因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以
1B C ⊥1AC . …………
……5分
（Ⅱ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ^.由（Ⅰ）可知：AB ^平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
B xyz -， ………………6分
设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B .在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠o
，所以 (0,3)C -，
1(0,13)C . ……7分
设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .
因为 10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r
n n 即(,,1)(2,3)0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪
⎩ ………………8分 z
y
x
C
B C
1
B
1
A
1
A C
B
C
1
1
A 1
所以 3
,20,x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
即 =n (
3
,0,1) ………………9分 由（Ⅰ）可知：1CB u u u r
是平面1ABC 的一个法向量,且1CB u u u r
=(0,3,3)- ………………10分
所以
111
3(,0,1)(0,3,3)72cos ,731934
CB CB CB ⋅-⋅<>==
=-⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r n n n . ………………11分
所以 二面角1B AC C --的余弦值为
7
7
. ………………12分 方法2：证明：连接1BC . 在正方形11ABB A 中，1AB BB ^.
因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C . ………………1分
在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ^. 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
B xyz -， ………………2分
设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B .在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠o
，所以 (0,3)C -，
1(0,13)C . ……3分
（Ⅰ）1(0,3)BC =-u u u r ,1(3)AC =-u u u u r ……4分 所以110BC AC •=u u u r u u u u r ……5分
z
y
x
C
B C
1
B
1
A
1
A
所以 1B C ⊥1AC . ……6分 （Ⅱ）设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .
因为 10,0
AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r
n n 即(,,1)(2,1,3)0,
(,,1)(0,2,0)0,
x y x y ⎧⋅--=⎪⎨
⋅=⎪⎩ ………………7分 所以 3
,20,x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
即 =n (
3
,0,1) ………………8分
又因为111,,CB AB CB BC ^^且1,AB BC B I =所以
11,CB ABC 平面^ ………………9分
即1CB u u u r
是平面1ABC 的一个法向量,且
1CB u u u r
=(0,3,3) ………………10分
所以
111
3(0,3,3)72cos ,31934
CB CB CB ⋅⋅<>==
=⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r n n n . ………………11分
所以 二面角1B AC C --的余弦值为
7
7
. ………………12分
21. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意得：23a =3a =
2c = ．．．．．．．．．1分 所以1b =，椭圆C 的方程为
2
213
x y += ．．．．．．．．．2分 “伴随圆”的方程为
224x y += ．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率显然存在。

设过点P(0,)m ，且与椭圆有一个交点的直线l 为y kx m =+，
联立直线与椭圆方程得：
2213
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得222(13)6(33)0k x kmx m +++-= ．．．．．．．．．6分
所以222(6)4(13)(33)0km k m ∆=-+-=，即2213k m
+=① ．．．．．．．．．8分
又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，
则有222||
22()221m k -=+化简得222(1)m k =+
② ．．．．．．．．．10分
联立①②解得：221,4k m ==，所以
1,2(0)k m m =±=-<Q ．
．．．．．．．．12分
22. （本小题满分12分）
解：（1）当2a =，[0,3]x ∈时，
222()|2|24,02
,x x f x x x x x x x ⎧≥⎪=-+=⎨⎪-+≤<⎩g ．．．．．．．．．1分
作函数图像（图像略），可知函数()f x 在区间[0,3]上是增函数，
所以()f x 的最大值为
(3)9f = ．
．．．．．．．．2分 （2）
22(2)()(2),,x a x x a f x x a x x a
⎧+-≥⎪=⎨⎪-++<⎩ ．．．．．
．．．．3分
①当x a ≥
时，22()()2a f x x -=--因为
a >a <， 所以()f x 在[,)a +∞上单调递
增． ．．．．．．．．．4分
②当x a <时，2
22(2)()()24
a a f x x ++=--+，
上单调递增，在2[,]2a a +上单调)，单调递减区间是
)在(,)-∞+∞上是增函数，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不相等的实数
2[,]2
a a +上是减函数，当且仅当2()a tf a <<()()f x tf a =有三个不相等的实数解． 即
2(2)141t (4)88a a a a
+<<=++． …………10分
令g()a a =+)a 在(2,4]a ∈时是增函数，故max g()5a =． …………11分。