【压轴卷】高中必修五数学上期中一模试题带答案(3)

【压轴卷】高中必修五数学上期中一模试题带答案(3)
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
2．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
．
63
B ．
23
3
C ．
43
3
D ．43
3
-
3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y x x
=+
B ．22
2(3)2
x y x +=
+
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< 4．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,
5⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
A ．
1
10
B ．
310
C ．
12
D ．
710
6．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
7．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
8．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则
c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
9．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
12．已知正项数列{}n a 中，*12(1)
()2
n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
14．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;11
2a b
+≥⑤. 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3
2，S 3＝92
，则a 1的值为________． 16．设
是定义在上恒不为零的函数，对任意
，都有
，若
，
，
，则数列
的前项和
的取值范围是__________．
17．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234
y
x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .
18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．
19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________． 20．在
中，若
，则
__________．
三、解答题
21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，
()2cos cos 0C a B b A c ++=.
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b =
=，，求()sin 2B C -的值.
22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c --=．
（1）求A ．
（2）若2a =，ABC △3b ，c ．
23．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 24．已知数列{}n a 的首项123a =
，且当2n ≥时，满足12313
12
n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2
n n n
b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、
c ，如果A 、B 、C 成等差数列
且3b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．
26．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()()1201610081009100810092016
201620160,0,02
2
a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==
，
()1201720171009
2017201702
a a S a
+⨯=
=⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
2．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4a +
13a
）
，即4a +
13a ≤
故1212a x x x x +
+的最大值为． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
=
，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4，故选C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈， ()22
10f x x
∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则235
a >-
即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
5．B
解析：B 【解析】
试题分析： 如下图：
由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：
56
sin 45sin 30
AB =o o
， 103AB ∴=
那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3
sin 6010315AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为3
10
（米 /秒）. 故选B ．
考点：解三角形在实际问题中的应用．
6．B
解析：B 【解析】 试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
7．A
解析：A
【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
9．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或13
. 本题选择C 选项.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
()()
1122
n n n n +-=-
的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】
(1)(1)
,(2)22
n n n n n n +-=
-=≥ 1= ，所以
2,(1),n n n a n =≥= ，选B.
【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1
{
,2
n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出
结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
二、填空题
13．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误
解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，
，所以
，所以
，故①项正确； 对于②：左边平方可得：
，所以
，故②
项错误；
而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为，由①知
，所以
，
故③项正确；
对于④：(
)3
3
22
()a b a b a ab b +=+-+2
2()
3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故
④项错误； 对于⑤
1a +1a =a b ab +=2
ab
≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.
15．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1
解析：
3
2或6 【解析】 【分析】
由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】
当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×
32＝92，符合题意，所以a 1＝32
； 当q ≠1时，S 3＝
(
)3
111a q q
--＝a 1
(1＋q ＋q 2
)＝92
，
又a 3＝a 1q 2＝3
2
得a 1＝232q ，代入上式，
得
232q (1＋q ＋q 2
)＝92，即21q ＋1q －2＝0，
解得
1q ＝－2或1
q
＝1(舍去)． 因为q ＝－
12
，所以a 1＝2
3
122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，
综上可得a 1＝3
2
或6. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
16．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令
x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：
【解析】
试题分析：由题意，对任意实数
，都有
，则令可得 ，即
，即数列
是以
为首项，
以为公比的等比数列，故
考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质
17．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞
【解析】
试题分析：因为不等式234y x m m +
<-有解，所以2min ()34
y
x m m +<-，因为0,0x y >>，且14
1x y
+=，所以
1444()()22244444y y x y x y
x x x y y x y x
+
=++=++≥⋅=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44
y
x +=，所以234m m ->，即
(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.
考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.
【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.
18．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140
解析：2300 【解析】 【分析】
设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产
天, 该公司所需租赁费为元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 （件）
（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10{5214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
19．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin
解析：
3
π
【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】
由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝
.
∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝. 又0<B <π，∴B ＝. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
20．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：
【解析】 ∵由正弦定理可得
，∴
，令
，
，
（
），利用余弦定理有
，∵
，∴
，故答
案为
.
三、解答题
21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）210
- 【解析】 【分析】
（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】
()
sin cos sin cos sin0
C A B B A C
++=
sin sin0
C C C
+=，∴cos C=0Cπ
<<，∴
3
4
C
π
=
（Ⅱ）因为2
a b
==，
3
4
C
π
=，由余弦定理得
222
2cos242210
2
c a b ab C
⎛⎫
=+-=+-⨯-=
⎪
⎪
⎝⎭
，∴c=
由sin
sin sin5
c b
B
C B
=⇒=，因为B为锐角，所以cos
5
B=
4
sin22
555
B=⨯=，22
3
cos2cos sin
5
B B B
=-=
()43
sin2sin2cos cos2sin
525210
B C B C B C
⎛
-=-=⨯--⨯=-
⎝⎭
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.
22．(1)60
A=︒；(2)2
b c
==.
【解析】
试题分析：
（1）由题意利用正弦定理边化角可得
()
sinAcosC sinB sinC sin A C sinC
=+=++，化简可得()1
30
2
sin A-︒=，则60
A=︒．
（2）由题意结合三角形面积公式可得
1
2
S bc sinA
=⋅=4
bc=，结合余弦定理计算可得4
b c
+=，则2
b c
==．
试题解析：
（1）∵在ABC
V中，0
acosC b c
--=，
利用正弦定理可得()
sinAcosC sinB sinC sin A C sinC
=+=++，
1
cosA
-=，
即()
1
30
2
sin A-︒=，
∴3030
A-︒=︒，
∴60
A=︒．
（2）若2
a=，ABC
V
则124
S bc sinA =
⋅== ∴4bc =，
又由余弦定理可得()2
222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．
23．(1) 120.C =o
（2
【解析】
试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1
cos 2
C =-
，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.
试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=Q ，由正弦定理可得
()()2020,20
cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即
又10180,sin 0,cos ,120.2
B B
C C <<∴≠∴=-=o
o
o 即 （2
）由余弦定理可得(2
222222cos12024a a a a =+-⨯=++o
又1
0,2,sin 2
ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆
24．（1）23n n a =（2）3231
443
n
n n T +=-⋅ 【解析】 【分析】
（1）由题可得12313
12n n a a a a a +++++=-
L ,与已知作差可得13322
n n n a a a +-=-+,整理可得11
3
n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23
n n n n n
b a =⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】
解:（1）当2n ≥时,由12313
12
n n a a a a a -++++=-L , 则12313
12
n n a a a a a +++++=-
L ,
两式相减得133
22
n n n a a a +-=-
+, 即
113
22n n a a +=, ∴11
3
n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-
,得22
9
a =, ∴
211
3
a a =, 综上,对任意1n ≥,11
3
n n a a +=, ∴{}n a 是以2
3为首项,13
为公比的等比数列, ∴23n n
a =
. （2）由（1）23
n n n n n b a =⋅=, ∴231111
233333
n n T n =
+⋅+⋅++⋅L , 2311111112(1)33333
n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L , ∴
231211111
333333n n x T n +=++++-⋅L 1111233
n
n n +⎛⎫=
--
⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=
-⋅ 【点睛】
本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和. 25．（1
2
）
4
. 【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，
可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤
；
即S 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
26．（1）=BC 2）
20
【解析】 【分析】
（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质
可得
6
AE AC BE BC ==
．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积
公式即可计算得解． 【详解】
解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．
在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
即：212cos 4m m ADB +-∠=，①
212cos 1m m ADB ++∠=．②
由①+②，得：2
32
m =
，
所以2
m =
，即BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：
,sin sin sin sin AE EC BE EC
ACE EAC BCE CBE
==∠∠∠∠，
由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC AC
BAC CBA
=∠∠，
所以
AE AC BE BC ==
所以BE =，
所以2
15
AE =（）．
又2
2
2
2
22121cos 2221
4
AB AC BC BAC AB AC +-
+-∠==
=-⋅⨯⨯，
所以sin BAC ∠=，
所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=
V （）． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。