2018届河南省名校高三压轴第二次考试理科数学试题(解析版)
河南省豫北重点中学2018年高考数学二模试卷理科 含解
2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．24．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．115．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．286．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为27．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是______．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=______．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为______．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据为纯虚数，列出方程组，求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：==，∵为纯虚数，∴，解得：a=1．复数z=（2a+1）+i=，则．故选：D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}={x|（2x+1）（x﹣1）≤0}={x|﹣≤x≤1}=[﹣，1]，集合B={x|y=}={x|}={x|}=（0，1）∪（1，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：A．3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合直线平行的关系，建立斜率关系，利用离心率的定义进行转化求解即可．【解答】解：双曲线的焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为y=±x，直线x﹣y+4=0的斜截式方程为y=x+4，∵双曲线渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则=，即b=a，平方得b2=3a2=c2﹣a2，即c2=4a2，则c=2a，即离心率e==2．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，p的值，当i=4时，不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，p=1，s=0满足条件i≤3，s=1，i=2，p=3满足条件i≤3，s=4，i=3，p=6满足条件i≤3，s=10，i=4，p=10不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．故选：C．5．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．28【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=20n﹣2，由561≤20n﹣2≤800，求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：∵800÷40=20，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=18+20（n﹣1）=20n﹣2．落入区间[561，800]的人做问卷C，由561≤20n﹣2≤800，即563≤20n≤818解得28≤n≤40．再由n为正整数可得29≤n≤40，∴做问卷C的人数为40﹣29+1=12，故选：B．6．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可，B．根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据幂函数的定义先求出m，然后结合幂函数的性质进行判断，D．根据数据方差之间的关系进行判断即可．【解答】解：A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故A错误，B．当p真q假时，满足命题p∨q为真命题，但命题p∧q为假命题，则充分性不成立，故B错误，C．若f（x）=mx是幂函数，则m=1，此时f（x）=x3，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，故C正确，D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4，故D错误，故选：C7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧的半球，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧为半球，左侧是半圆锥，高为1，底面半径为1，体积为：=．中间是圆柱，底面半径为1，高为2，体积为：12π×2=2π，右侧的半球，半径为1，体积为：=．∴几何体的体积是：．故选：A．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（ωx﹣），由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由x∈[﹣，0]，可得2x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数的图象和性质即可求f（x）的最大值，单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的图象的相邻两对称轴间的距离为，∴周期T=π=，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x﹣），∵x∈[﹣，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，∴利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值为．单调增区间为：[﹣，0]．故选：D．10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a 的不等式，解不等式即可求出a的范围．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=ax+y，A（0，1），∴z A=1；解方程组，得B（2，3），∴z B=2a+3；C（3，0），∴z C=3a．∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，∴，解得﹣1≤a≤3．故选：B．11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可求出直线斜率，求出m值．【解答】解：将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，由得，即直线L恒过A（4，﹣3），将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，∵点A到圆心C的距离d==＜5=r，∴点A在圆内，则L与C总相交；若线段AB最短，则满足CA⊥L，∵直径AC所在直线方程的斜率为=3，∴此时l的斜率为﹣，可得2m=，解得m=故选：A．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．故答案为：﹣192．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=+1．【考点】向量的模．【分析】由题意，设=，=，根据||=||=|﹣|=1，可得△ABC是等边三角形．设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图，即可得出．【解答】解：由题意，设=，=，∵||=||=|﹣|=1，则△ABC是等边三角形，设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图∴的最大值为M=+1=+1，故答案为：．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为．【考点】函数的值．【分析】f（x+1）是周期为2的奇函数，可得f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），即可得出．【解答】解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，∴f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），故f（﹣）=f（）=﹣f（）=﹣f（﹣），而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），∴f（﹣）=﹣2××=，∴f（﹣）=．故答案为：．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为10．【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a n}以及{b n}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．则=，T n=3+++…+，所以T n=+++…++，两式作差得T n=3+++++…+﹣=3+（1+++…+）﹣=3+﹣=3+2﹣2•（）n﹣1﹣，即T n=10﹣（）n﹣3﹣＜10，由T n＜M对一切正整数n都成立，∴M≥10，故M的最小值为10，故答案为：10三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出每个人被抽到的概率为P==，按比例求解得出各种意向人数；（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，根据古典概率求解即可．（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，判断出此问为二项分B（4，），运用几何分布求解即可．【解答】解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，∵从30至50岁的有500人，∴每个人被抽到的概率为P==，根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×=1，非电动小汽车，摇号的有150×=3，竞价的有300×=6，（2）设电动小汽车，摇号的为a1，非电动小汽车，摇号的为b1，b2，b3；竞价的为：c1，c2，c3，c4，c5，c6，∵选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：P==．（3）根据题意得出：样本总人数1000人电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，总共有1000人，用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，服从二项分布B（4，），摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ=0，1，2，3，4∴P（ξ=0）=×（）0×（）4=．P（ξ=1）=××（）3=．P（ξ=2）=×（）2×（）2=．P（ξ=3）=×（）3×（）=．P（ξ=4）=×（）4×（）0=．E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），该弦中点为（x，y），利用平方差法即可求出该直径的共轭直径所在的直线方程．（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），表示出斜率，点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求出斜率关系，然后求出A ，B ，C ，D 坐标，设点C 到直线AB 的距离为d ，求出距离的表达式，即可求解四边形ACBD 的面积是否是定值．【解答】解：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），该弦中点为（x ，y ），则有，，相减得：，由于，，且，所以得：3x +4y=0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x +4y=0．（2）椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2， 四边形ACBD 显然为平行四边形，设与AB 平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，，而，，，故，由得A ，B 的坐标分别为，故，同理C ，D 的坐标分别为，设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，所以，，则==8=4．为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先确定定义域，再由导函数的正负确定原函数的单调区间（2）由f（x）和g（x）的单调性，通过讨论临界值x1的范围，分情况讨论各自可能的情形，中间需要构造新的函数h（x），再求导的过程．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）f′（x）=﹣2x+a=令f′（x）=0 得：x1=，x2=（舍去）∴当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增当x∈（x1）+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减∴函数f（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增当x∈（1，e）时，g′（x）＜0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递减而g（0）﹣1=﹣1，g（1）﹣1=0，g（e）﹣1=e2﹣e﹣1∈（﹣1，0）∴当x∈（0，e]时，g（x）∈（﹣1，0]由（1）知，f′（x）=且f′（x）=0在定义域内只有一个根：x1=①若x1≥e，则f′（x）在区间（0，e]内无解，∴函数f（x）在区间（0，e]是上单调函数显然f（x）+1=g（x0）至多有一个根，不符合题意．②若x1＜e，则函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，在区间（x1，+∞）上单调递减由题意，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]有两个不同的根∴f（x1）＞0，且f（e）≤﹣1由f（e）≤﹣1，得ae﹣e2+lne≤﹣1解得：a≤e﹣∵x1是方程﹣2x2+ax+1=0的根∴﹣2+ax1+1=0，即a=2x1﹣故由f（x1）＞0，得ax1﹣+lnx1＞0得（2x1﹣）x1﹣+lnx1＞0整理得：﹣1+lnx1＞0设h（x）=x2﹣1+lnx，x∈（0，e），则h′（x）=2x+＞0∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增而h（1）=1﹣1+ln1=0∴不等式﹣1+lnx1＞0的解为1＜x1＜e又函数y=2x﹣在（1，e）上单调递增∴1=2×1﹣1＜a=2x1﹣＜2e﹣显然e﹣＜2e﹣∴1＜a≤e﹣故实数a的取值范围为（1，e﹣]请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△BDE∽△BCA，则，利用三角形的角平分线的性质，结合条件，得出AB=3AC；（2）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，证明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的长．【解答】（1）证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，则，在圆内接四边形ACED中，CD是∠ACE的平分线，所以DE=AD，，而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，在圆内接四边形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（t为参数），得直角坐标方程，从而可得极坐标方程；（Ⅱ）当t=0时，得P（0，﹣1），由（Ⅰ）知曲线C1是经过P的直线，可曲线C1的参数方程，由，可得曲线C2的直角坐标方程，再代入x、y得21T2﹣30T﹣50=0，由韦达定理可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0，所以曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）解：当t=0时，x=0，y=﹣1，所以P（0，﹣1），由（Ⅰ）知：曲线C1是经过P的直线，设它的倾斜角为α，则tanα=，从而，cos，所以曲线C1的参数方程为，T为参数，∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，所以曲线C2的直角坐标方程为3x2+4y2=12，将，代入3x2+4y2=12，得21T2﹣30T﹣50=0，所以|PA|•|PB|=|T1T2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．2018年9月14日。
河南省郑州市2018届高中毕业班第二次质量预测(理)数学试题及答案解析
河南省郑州市2018届高中毕业班第二次质量预测数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 若复数,则复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 命题“”的否定为( )A. B.C. D.4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A. B. C. D.5. 运行如图所示的程序框图，则输出的为( )A. 1009B. -1008C. 1007D. -10096. 已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.7. 已知平面向量满足,若,则的最小值为( )A. -2B. -C. -1D. 08. 《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种9. 已知函数,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度10. 函数在区间上的大致图象为( )A. B.C. D.11. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 5212. 已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题13. 已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为________．14. 已知实数满足条件则的最大值为_________．15. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．16. 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则___________．三、解答题17. 内接于半径为的圆，分别是的对边，且.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积.18. 光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量（单(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19. 如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于.(Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面；(Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.21. 已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为().(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】由题意可得，所以，选B.2. 【答案】C【解析】由题意可得，对应点为，所以在复平面对应的点在第三象限，选C.3. 【答案】C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.4. 【答案】B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.5. 【答案】D【解析】执行程序，，，不符合条件，n=2；，不符合条件，n=3；，不符合条件，n=4；，不符合条件，n=5；，不符合条件，n=6；，不符合条件，n=7；，，不符合条件，n=2017；，不符合条件，n=2018；，符合条件，输出故选：D6. 【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.7. 【答案】B8. 【答案】D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.9. 【答案】C【解析】由题意可得，函数f(x)=，设平移量为，得到函数，又g(x)为奇函数，所以即，所以选C10. 【答案】A【解析】当，，排除选项C,D，当，，所以排除选项B,选A.11. 【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又=，当且仅当时等号成立。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或610．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．512．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．16．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅【解答】解；P＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}∴故选：A．2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵||＝，∴iz＝||+2i＝，则z＝，∴．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为（2，），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若•＝|•|，则||•||cos＜，＞＝|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞＝|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞＝π，cos＜，＞＝﹣1，此时•＝|•|不成立，即必要性不成立，故“•＝|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），∴，解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，∴f（x+6）＝f（x+5）﹣f（x+4）＝f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）＝﹣f（x+3）＝﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]＝﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]＝f（x），∴f（2014）＝f（335×6+4）＝f（4）＝f（3）﹣f（2）＝f（2）﹣f（1）﹣f（2）＝﹣f（1）＝﹣f（0）+f（﹣1）＝﹣log21+log22＝1．故选：C．6．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）【解答】解：由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则，即r＝h，∴截面面积为S＝π×12﹣πr2＝π（1﹣h2）．故选：D．8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：男生甲不站两端，共有n＝C41A55＝480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33＝432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22＝144种，∴不同的排列方法共有m＝432﹣144＝288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p＝＝．故选：C．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或6【解答】解：由{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列．即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8）＝36．∴S8﹣S4＝±6∴S8＝9或﹣3，当S8＝﹣3时，即S4＝3，即，可得：q＝1不满足题意，∴S8≠﹣3∴S8＝9．故选：B．10．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK＝＝1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝，∴∠KOD'＝，其所对的弧长为，故选：A．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．5【解答】解：设P（m，m2），分别过B、P作直线y＝﹣2的垂线，垂足为D、E，∵BC∥AF，∴＝＝，∵|FP|＝|PE|，∴|FC|＝|BD|＝2，设直线PQ的方程为y＝kx+2，代入C：x2＝8y得x2﹣8kx﹣16＝0，∴m•x Q＝﹣16，∴x Q＝﹣，∴y Q＝，∵|PF|＝m2+2，∴|PC|＝m2，∵|QF|＝+2，|PC|＝|QF|，∴得m2＝+2，∴m4﹣16m2﹣256＝0，解得m2＝8+8∴|PF|＝m2+2＝3+．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2【解答】解：由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即为e x﹣mx﹣n≥0，令h（x）＝e x﹣mx﹣n，h′（x）＝e x﹣m，若m＝0，则h（x）＝e x﹣n的最小值为h（x）＞﹣n≥0，得n≤0，此时mn＝0；若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时h（x）→﹣∞，不可能恒有h（x）≥0．若m＞0，则得极小值点x＝lnm，由h（lnm）＝m﹣mlnm﹣n≥0，得n≤m（1﹣lnm），mn≤m2（1﹣lnm）＝k（m）．现求k（m）的最小值：由k′（m）＝2m（1﹣lnm）﹣m＝m（1﹣2lnm）＝0，得极小值点m＝，k（）＝，所以mn的最大值为．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝4．【解答】解：∵（x2+﹣2）n＝的展式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为（﹣1）n•＝70，求得n＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t＝过A时有最大值为；当时，t＝过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是15．【解答】解：i＝1，m＝4，满足条件i＜m，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝1+1＝2；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝2+1＝3；j＝2，不满足条件j≤i，则i＝2，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝3+1＝4；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝2，S＝4+2＝6；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝6+1＝7；j＝3，不满足条件j≤i，则i＝3，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝7+1＝8；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝8+3＝11；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝11+3＝14；j＝3，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝14+1＝15；j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故答案为：1516．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝•3n+1．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝+22•32+32•33+42•34+…+n2•3n，3S n＝+22•33+32•34+42•35+…+n2•3n+1，相减可得﹣2S n＝27+5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n﹣n2•3n+1，设T n＝5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝5•34+7•35+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝5•33+2（34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝135+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝（n﹣1）•3n+1﹣27，即有﹣2S n＝27+（n﹣1）•3n+1﹣27﹣n2•3n+1，化简可得S n＝•3n+1，故答案为：•3n+1．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，△ABC中，cos A＝，cos C＝．则sin A＝＝，sin C＝＝，则cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin B＝＝，又由sin A＝，sin C＝，则有＝＝，即＝＝，设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k，若|+|＝，则2+2+2•＝25k2+16k2+2×5k×4k×＝46k2＝46，解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）；则BC＝4，AC＝5，AB＝6，设BC的中点为D，则＝（+），则有2＝（2+2+2•）＝（25+36+2×5×6×）＝，则||＝；则BC边上中线的长为．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝，而＝＝0.2，…（2分）∴估计值与实际值的误差为：，即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为P（||＜0.01）＝P（1900＜ξ＜2100）＝＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中，∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，），A1（，0，0），C（，0，0），令B1（x，y，z），则，．而，∴x＝z＝，y＝﹣1．即B1（，﹣1，），，而，，令平面ABC的一个法向量为，则有，取z＝1，得．设直线AB1与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．∴cosθ＝．故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．【解答】（1）解：设直线l的方程为，∵点在直线l的上方，∴，∴b＜0直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2+6bx+9b2﹣36＝0∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，∴△＝36b2﹣8（9b2﹣36）＝﹣36b2+288＞0∴﹣2＜b＜2∴﹣2＜b＜0由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，∴（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则∵，∴k P A+k PB＝0，又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，故∠P AB的内切圆圆心在直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．∴x∈（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．证明：（Ⅱ）∵方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由（Ⅰ）知a＞0，设0＜x1＜x2，则＝c，，两式相减，得﹣＝0，∴a＝，∵f′（）＝0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴只要证明＞即可，即证明x1+x2＞，即证明（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）＜，即证明ln＜，设t＝（0＜t＜1），令g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝，∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，∴f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
河南省(全国卷)2018届高中毕业班阶段性测试(二)(理数)
河南省（全国卷）2018届高中毕业班阶段性测试（二）数学（理科）本试题卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|60}A x x x =--≤，|2{}B x x =≥，则集合=B AA ．[23]-，B ．[22]-，C ．(0]3，D ．[2]3，2．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点()3,4P ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-22017sin πα A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若633S S =，则9a =A ．24B ．22C ．20D ．184．已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2131f a ，()ln b f π=，12(2)c f -=，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c << 5．11sin )x dx -=⎰A ．4π B ．2πC ．πD ．22π+6．函数)sin(cos2121)(xxfxx⋅+-=的大致图象为7．已知实数,x y满足20x yx yy k+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y=+的最大值为6，则实数k的值为A．6 B．5 C．4 D．38．《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A．10 B．8 C．6 D．49．已知在等边三角形ABC中，3BC=，223BN BM BC==，则=⋅ANAMA．4 B．389C．5 D．13210．已知正项等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2nan，第1项与第9项的等比中项为587⎪⎭⎫⎝⎛，则5a= A．5578B．5678C．6578D．667811．已知()f x是定义在R上的单调函数，满足()1xf f x e⎡⎤⎣⎦-=，且()()f a f b e>>.若10log log3a bb a+=，则a与b的关系为A．3a b=B．3b a=C．2b a=D．2a b=12．设函数2()3)(xf x x e =-，若函数2616()()()G x f x af x e=-+有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛33326,8e e B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛33326,4e e C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,83e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3263e 第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题，每小题5分。
河南安阳2018届高三第二次模拟考试理科数学试题(精编含解析)
2018届高三毕业班第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以,选B.2.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以虚部为1,选C.3.如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该积木为一个柱体,前面为两个正方形加半个圆柱侧面积,后面为矩形,上下为一个矩形去掉半圆,左右为矩形,因此表面积为,选A.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．4.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】因为命题：，，所以为:，,选D.5.在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为乙同学次成绩的中位数为，所以选A.6.若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】概率为几何概型,测度为面积,概率为选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或【答案】C【解析】若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或；因此选C.8.若实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作可行域如图，则,所以直线过点A(0,1)时取最大值1，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，因此，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10.已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】与,相减得公共弦所在直线方程：，即，所以由得，即，因此，选D.点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则由面积关系得所以，选B.12.设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，所以在上至少有一个零点；舍去B,D;当时，，所以在上至少有一个零点；舍去C;因此选A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则__________．【答案】【解析】14.已知焦点在轴上的双曲线，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，焦点到渐近线的距离为.点睛：1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.15.已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为__________．【答案】【解析】因为，，所以,所以当且仅当时取等号，因此,所以向量与的夹角的余弦值为16.已知定义在上奇函数和偶函数满足，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，即，因此因为，所以由，得，结合分母不为零得的取值范围是点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设等差数列的前项和为，点在函数（）的图象上，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）先根据函数关系得和项关系式，再根据等差数列和项特征求首项与公差，最后代入等差数列通项公式；（2）因为为等差与等比乘积，所以利用错位相减法求和.试题解析：（1）设数列的公差为，则，又，两式对照得所以数列的通项公式为.（2）则两式相减得点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）根据平几知识得，由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的余弦值.试题解析：（1）∵是等边三角形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）解法一：如图建立空间直角坐标系.则，，.得，，设平面的法向量，则即得取.同理可得，平面的法向量∴则二面角的余弦值为.解法二：由（1）知平面，∴，.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，设，∵∴，解得.即，∴则二面角的余弦值为.19.随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足岁的网民共人，调查结果如下：（1）请完成上面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名，若在上述名网民中随机选人，设这人中反对态度的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：，.【答案】(1)在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关.(2)【解析】试题分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据比较作判断，（2）先根据分层抽样确定人数，确定随机变量取法，再利用组合数计算对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）列联表如下：支持反对合计不足岁岁及以上合计所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关.（2）易知抽取的人中，有人支持，人反对.的可能取值为，，，且，，则的分布列为的数学期望20.已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，，记的面积为，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质得p，再根据对称性得A坐标，代人椭圆方程可得a,（2）先根据导数几何意义得抛物线切线方程，再与椭圆方程联立，根据判别式为零确定切点，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最值，证得结论.试题解析：（1）易知，则抛物线的方程为由及图形的对称性，不妨设，代入，得，则.将之代入椭圆方程得，得，所以椭圆的方程为.（2）设切点，即，求导得，则切线的斜率为，方程，即，将之与椭圆联立得，令判别式化简整理得，，此时设直线与轴交于点，则由基本不等式得，则，仅当时取等号，但此时，故等号无法取得，于是.21.已知函数，为自然对数的底数.（1）若当时，恒成立，求的取值范围；（2）设，若对恒成立，求的最大值.【答案】(1) (2) 的最大值为，此时，【解析】试题分析：（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得，，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.试题解析：（1）由题意得，且，注意到设，则，则为增函数，且.讨论如下：①若，，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；②若，令，得，则当时，，得在上单调递减，有，得在上单调递减，有，舍去.综上，的取值范围.（2）当时，，即.令，则原问题转化为对恒成立.令，.若，则，得单调递增，当时，，不可能恒成立，舍去；若，则；若，则易知在处取得最小值，所以，，将看做新的自变量，即求函数的最大值，则，令，得.所以在上递增，在上递减，所以，即的最大值为，此时，.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）射线：与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据，得直线的极坐标方程以及圆的直角坐标方程；（2）将代入得，，再根据求线段的长.试题解析：（1）在中，令，.得，化简得.即为直线的极坐标方程.由得，即.，即为圆的直角坐标方程.（2）所以.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)己知集t iP={x\y=7-x2+x+2-xEN}, Q= {却n xVl},则PMQ=(A. {0,1,2}B.{1,2}C.(0,2]D・(0.e)【解答】解：集合P={My=寸一疽+x+2}={H・«+x+2N0,.v€N}={0,L 2},Q={a I0«},•.•FCQ={1,2).故选：B.2.（5分）若复数z=2+t则复数z在冬平・面内对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:2+i_2+i_(2+i)(i+l)_1+31_1 3.对应点的坐标为（-§位于第三象限角.故选：C.3.（5分）命题"V.vGlL2],/・3x+2WO”的否定是（）A. V a€|U2]t.r-3x+2>0B. V a€|1,2],x2-3a+2>0C. 3x0[1/2], x02-3x0+2>OD・3x o e[1,2]，x02-3x0+2>0【解答】解：命题:-V a€|1. 2],。
的否定是3x0G[1.2].x02-3x0+2>0.故选：c.4.（5分）己知双曲线C：的一条渐近线与直线3"计5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A.y/2B.-—C.V10D.2\/23【解答】解：...双曲线c.・§=1的渐近线方程为尸土又直线3x-y+5=0可化为y=3x+5,可得斜率为3.•.•双曲线”马―*=1的一-条渐近线与直线3a-->4-5=0垂直，砂bb1c2-a21''a=3,k=m二双曲的离心率「=:=攀.CL O故选：B.5.（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S=（）A.1009B.・1008C.1007D.・1009【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1-2+3-4+…十2017 -2018的值,由于S=1・2+3-4+-+20I7-2018=(1+3+-+2017)-(2+4+-+2018)(1+2017)x1009(2+2018)x1009=c—C22=-1009.故选；D.6.(5分)己知/(%)=0。
2018年河南省信阳高中高考数学二模试卷和答案(理科)
＝1，则 f（
）的值为
．
16．（5 分）设 an 表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{an}
的前 n 项和为 Sn，那么 S63 的值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在△ABC 中，D∈BC，
x
1.6
1.7
1.74
1.8
10
y
4.953
5.474
5.697
6.050
22026
lnx
0.470
0.531
0.554
0.588
2.303
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标 系与参数方程]
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22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
＝
＝λ．
（1）求证：AD 平分∠BAC；
（2）当
时，若 AD＝1，DC＝ ，求 BD 和 AC 的长．
18．（12 分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育 2 个孩子．在某地区的 100000 对 已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有 100 对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎， 其余的均为单胞胎．在这 99900 对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩 的有 50000 对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有 x1 对，男方不愿意生育二孩 女方愿意生育二孩的有 x2 对，其余情形有 x3 对，且 x1：x2：x3＝300：100：99．现用样 本的频率来估计总体的概率．
（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出 x1，x2，x3 的值；
河南省名校2018届高三压轴第二次考试数学(理)试题Word版含答案.doc
河南名校 2018 届高三第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 若 z3 i （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）1 iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合 A x | x a ， Bx | x 2 4x 3 0，若AB B ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． a 3B． a 3 C ． a 1 D ． a 13. 各项都是正数的等比数列a n 的公比 q1，且 a ， 1 a 3 ， a 成等差数列，则 a 4 a5 的2 2 1a 2 a 3值为（ ）A ．15B．35C ．5 1D．35 或 32 522224. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局4的概率为（ ）A ．1B．2C.2D．435355. 将曲线 C 1 : ysin( 1x6 ) 上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的24曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 : y g(x) ，则 g (x) 在，0 上的单调递增区间3是（ ）A ．[5,] B． [ ,] C. [2,0]6663x 3D ．[2,] 366. 若不等式组y 2 表示的平面区域经过所有四个象限， 则实数的取值范围是4x y2 0（ ）A．，2B．[1,2] C.2，4D．2，7.如图，“大衍数列” ： 0，2，4，8，12 来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和. 下图是求大衍数列前 n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入m 7 ，则输出的S（）A． 64B．68 C.100D．1408. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）4B．8 224 D．24A．8 C.3 39. 如图，半径为 2 的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A B COADC 匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度v g(t ) 的图像大致为（）A．B． C.D．10. 已知抛物线C : y2 2 px(0 p 4) 的焦点为F，点P为C上一动点，A(4,0) ，B( p, 2 p) ，且 PA 的最小值为15 ，则 | BF |等于（）A．11B ． 5 C. 9 D ． 42 211. 正三棱柱ABC A B C 的各条棱长均相等， D 为AA的中点.M ,N分别是线段BB和线1 1 1 1 1段 CC 上的动点（含端点），且满足 BM C N .当M , N运动时，下列结论中不正确的是（）1 1．．．A．平面DMN 平面 BCC1B1 B ．三棱锥A1 DMN 的体积为定值C. DMN可能为直角三角形 D ．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0, ]4 12. 定义在R上的函数f (x)满足f ( x 2) 1 f ( x) ，当x 0,2 时，21 2 x,0 x 1f (x) 2 ，函数 g(x) x 3 3x 2 m .若对任意 s 4, 2 ，存在1 |x 3|x 23 2 ,1t 4, 2 ，不等式 f (s) g (t ) 0 成立，则实数 m 的取值范围是（）31A．，4B．，8C. ，12D．，2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量 n 互相垂直，且 m 2n 11, 2 ，若 | m| 5 ，则 | n | ．已知 a e a) 6的展开式中 x 3的系数为14. 11dx ，则二项式 (1 ．e x x15. 过双曲线 x2 y21(a 0, b 0) 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A, B 两点，a2 b2D 为虚轴的一个端点，且ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为．16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列 1,2 进行“扩展” ，第一次得到数列1,2,2 ；第二次得到数列1,2,2,4,2 ；.设第 m 次“扩展”后得到的数列为1, x1 , x2 , , x2n 1 ,2 ，并记 a n log 2 (1 x1 x2 x t 2) ，其中 t 2n 1,n N ，则数列a n 的前 n 项和为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 如图，在锐角ABC 中，D为边 BC 的中点，且AC 3，AD 11 , O为ABC 外2接圆的圆心，且 cos BOC 1 . 3（1）求sin BAC的值；（2）求ABC的面积 .18. 某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制. 各等级划分标准： 85 分及以上，记为 A 等级；分数在70，85 内，记为 B 等级；分数在60，70 内，记为 C 等级； 60 分以下，记为 D 等级 . 同时认定等级为A,B,C 的学生成绩合格，等级为 D 的学生成绩为不合格. 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50100，内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60 ， 60，70 ， 70，80 ，80，90 ，90,100 分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图 1 所示），乙校的样本中等级为C,D 的所有数据的茎叶图（如图 2 所示）.（ 1）求图 1 中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（ 2）在选取的样本中，从甲、乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. 如图，在空间几何体ABCDE 中，平面 ACD 平面 ACB ，ACD 与 ACB 都是边长为2 的等边三角形，BE 2 ，点 E 在平面ABC上的射影在ABC 的平分线上，已知BE 和平面 ACB 所成角为 60 .（ 1）求证：DE∥平面ABC；（ 2）求二面角 E BC A 的余弦值.20. 已知椭圆C : y2 x21(a b 0) 的上、下焦点分别为F1, F2，上焦点 F1到直线2b2a4x 3 y 12 0 的距离为1 3，椭圆C的离心率e.2（ 1）求椭圆C的方程；（2）椭圆E :y2 3x21 ，设过点 M (0,1) 斜率存在且不为0 的直线交椭圆E于A, B两点，a 2 16b 2试问 y 轴上是否存在点P ，使得PM ( PA PB) ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，PA PB说明理由 .21.已知函数 m( x) xln x .（ 1）设f (x) a[ m (x) 1] x 2(a 0)，若函数 f (x) 恰有一个零点，求实数 a 的取值范围；( ) [ ( ) 1] b ，对任意 x1 , x2 1 成（ 2）设[ ,e] ，有bm x x(b 0) | g ( x1 ) g (x2 ) | e 2g x e立，求实数 b 的取值范围.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C : sin2x 2 t2acos (a 0)，直线 l :4（ t 为参数）与曲线C相交于M , N两点.y t（ 1）求曲线C与直线l的普通方程；（ 2）点P( 2,4) ，若PM、MN、PN成等比数列，求实数 a 的值.23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) m | x 1| | x 1| .（ 1）当m 5时，求不等式 f ( x) 2 的解集；（ 2）若二次函数y x2 2x 3 与函数y f (x) 的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD6-10:ABCBC11、12：CA二、填空题13.5 14. -160 15. 1, 2 2 2 ,3n 1 2n 316. S n 4三、解答题17. 解：（ 1）由题设知，BOC 2 BAC，∴ cos BOC cos 2 ABC 1 2sin 2 BAC 1 ，∴ sin 2 BAC 2 ，3 3sin BAC6. 322 AD ，连接BE, CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴（）延长 AD 至E，使 AECE AB ，在ACE 中，AE 2 AD 11， AC 3 ，ACE BAC ，cos ACEcos BAC 3，∴由余弦定理得，3AE 2AC 2 CE 2 2AC CE cos ACE ，即 (11)2 ( 3) 2 CE 2 2 3 CE (3) ，解得 CE 2，∴ AB CE 2 ，3∴S ABC1AB AC sinBAC1 2 36 2 .22318. 解析：（ 1）由题意，可知 10 x 0.012 10 0.056 10 0.018 10 0.010 10 1，∴ x0.004 . ∴甲学校的合格率为 (1 10 0.004) 100% 0.96 100% 96% ，乙学校的合格率为 (12 ) 100% 0.96 100% 96% . ∴甲、乙两校的合格率均为 96% .50（ 2）样本中甲校 C 等级的学生人数为 0.012 10 50 6 ，乙校 C 等级的学生人数为 4.∴随机抽取 3 名学生中甲校学生人数X 的可能取值为 0,1,2,3 .∴ P(X 0)C 43 1C 61C 423C 62C 411 ，C 103， P(X1)C 103， P(X 2)23010C 103P( X3) C 63 1C 103 .6∴ X 的分布列为X 01 2 3P13 1 1301026数学期望 E( x) 01 1 32 13 1 9 .30 10 2 6 519. 解析：（ 1）证明：由题意知， ABC 与 ACD 都是边长为 2 的等边三角形， 取 AC 中点 O ，连接BO ， DO，则 BOAC，DOAC. 又∵平面ACD平面ABC ，DO平面ABC ，作 EF平面 ABC ，那么 EF ∥DO，根据题意，点F落在 BO 上，∵ BE 和平面ABC 所成角为60，∴ EBF60 .∵BE2，∴ EFDO3 ，∴四边形DEFO是平行四边形，∴ DE ∥OF，∴DE平面ABC ， OF平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .（ 2）由已知， OA, OB, OD 两两互相垂直，故以 OA,OB, OD 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，得 B(0, 3,0) ， C( 1,0,0) ， E(0, 3 1, 3) .∴ BC( 1,3,0) ， BE(0, 1, 3) ，设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ( x, y, z) . n 2 BC 0 x 3 y 0 1 ，∴取 n 2( 3, 3,1) ，∵BE，∴y3z . 令 z n 2 0又∵平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1) ，∴cos n 1,n 2n 1 n 213.1| n 1 ||n 2 | 13又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角 EBC A 的余弦值为 13 .1320. 解析：（ 1）由已知椭圆 C 方程为y 2x 21(a b 0) ，设椭圆的焦点 F 1 (0, c) ，由 F 1 到a 2b 2直线 4 x 3y 12 0 的距离为 3，得|3 c12| 3 ，又椭圆 C 的离心率 e1 ，所以 c1 ，52 a2又 a2b2c 2 ，求得 a24 ， b23 . 椭圆 C 方程为y 2x 21 .4 3（ 2）存在 x 2y 2 1 ，设直线 AB 的方程为 y kx 1(k0) ，. 理由如下： 由（ 1）得椭圆 E :416y kx 1联立x 2 y 2 ，消去 y 并整理得 (4 k 21)x 2 8kx 12 0 .164 1(8k)2 4(4k 2 1) 12 256k 248 0 . 设 A( x 1, y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 x 1 x 28k， x 1x 212.224k 14k 1假设存在点 P(0, t ) 满足条件，由于 PM( PAPB) ，所以 PM 平分APB .| PA|| PB|易知直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，∴ k PAkPB0 .即y1t y 2 t 0，即 x 2 ( y 1 t) x 1 ( y 2 t) 0 . （* ）x 1x 2将 y 1kx 1 1， y 2 kx 2 1 代入（ *）并整理得 2kx 1x 2 (1 t)( x 1 x 2 ) 0 ，12(1t) (8k) ，整理得3k k(1t)0 ，即 k (4 t )0 ，∴ 2k 2 14k 24k1∴当 t4 时，无论 k 取何值均成立 . ∴存在点 P(0, 4) 使得 PM( PAPB ).| PA| | PB|21. 解析： m ( x) ln x 1（ 1）函数 f ( x)a ln x x 2 ( a 0) 的定义域为 (0,) ，∴ f ( x) a 2x2x 2 a .x x1①当 a0 时， f (x)，所以 f ( x) 在 (0, )上单调递增，取 x 0e a ，则11a 且 x 01f (e a )1 (e a ) 20 ，（或：因为 0 x 0时，所以ef (x 0 ) a ln x 0 x 0 2a ln x 0 a a ln1a0 . ）因为 f (1) 1 ，所以 f ( x 0 ) f (1) 0 ，此e时函数 f ( x) 有一个零点 .②当 a0 时，令 f (x)a . 当 0xa f (x)0 ，所以 f ( x) 在0 ，解得 x时，22(0,a) 上单调递减；当 xa时， f (x) 0 ，所以 f ( x) 在 (a ， ) 上单调递增 .222要使函数 f ( x) 有一个零点，则f (a) a lna a 0，即 ln( a ) 1， a 2e . 综222 2上所述，若函数f (x) 恰有一个零点，则 a 2e 或 a 0.（ 2）因为对任意 x 1 , x 2 [ 1,e] ，有 | g( x 1 )g(x 2 ) | e 2 成立，e因为 | g( x 1 )g( x 2 ) | [ g( x)] max [ g( x)] min ，所以 [ g( x)] max [ g( x)]min e 2 .所以g () b lnx x b，所以g (x)bbxb 1b(x b1).xxx当 0 x1时， g ( x) 0 ，当 x 1 时， g (x) 0 ，所以函数 g( x) 在 [ 1,1) 上单调递减，在1， e 上单调递增， [ g( x)] ming (1) 1 ，e∵ g(1)b e b与 g(e)b e b，所以 [ g(x)] max max{ g( 1), g(e)} .e g (1)e设 h(b) g( e) eb e b 2b(b 0) ，则 h (b) e be b 2 2 e b e b 2 0 ，e所以 h(b) 在0，上单调递增，故 h(b)h(0) ，所以 g( e) g(1) . 从而e[ g( x)]max g (e)b e b .所以 b eb1 e2 即 e b b e 1 0 , 设 (b) e b b e 1(b 0) ，则 (b) e b 1 .当 b 0 时， (b) 0 ，所以 (b) 在 0， 上单调递增 . 又 (1) 0 ，所以 e bb e 10 ，即 (b)(1) ，解得 b 1. 因为 b 0 ，所以 b 的取值范围为 (0,1] .22. 解析：（ 1）因为 sin 22a cos ，所以 ( sin )22a cos ，即曲线 C 的普通方程为 y22ax(a 0) ，由 l : x2 t，得直线 l 的普通方程为 y x 2 .y 4 tx22 t（ 2）直线 l 的参数方程为2 （ t 为参数），代入 y 22ax ，得到y42 t2t 2 2 2(4 a)t 8(4 a) 0 ，8a(4 a) 0 . 设点 M , N 分别对应参数 t 1 ,t 2 ，恰为上述方程的根，则有 t 1t 2 2 2(4 a) ， t 1 t 2 8(4 a) ，则 t 1 t 2 0.又 PM t 1 ，PN t2， MN t1 t 2.因为MN 2 PM PN ，所以(t1 t 2 ) 2 (t1 t2 )2 4t1 t2 t1 t2 (4 a) 2 5(4 a) 0，得a 1，或 a 4 .因为 a 0 时，所以 a 1 .5 2x( x 1)23. 解析：（ 1）当m 5 时， f ( x) 3( 1 x 1) ，由 f (x) 2 得不等式的解集为5 2 x(x 1){ x | 3 x 3 } .2 2（ 2）由二次函数y x2 2x 3 ( x 1)2 2 ，该函数在 x 1 取得最小值2，因为m 2x(x 1)f (x) m 2( 1 x 1) ，在 x 1 处取得最大值 m 2，所以要使二次函数m 2x(x 1)y x2 2x 3 与函数y f ( x) 的图像恒有公共点，只需m 2 2 ，即 m 4。
【数学】河南省名校2018届高三压轴第二次考试理科数学试题
河南名校2018届高三第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先根据已知计算出复数z,再求复数z的共轭复数，最后求的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以，所以对应的点为（4,2），所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的几何意义，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再根据求出实数a的取值范围.详解：由题得.因为，所以,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，，，不满足，（1,3）≠B.3. 各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据，，成等差数列求出q的值，再求的值.详解：由题得所以=故答案为：B点睛：（1）本题主要考查等差中项和等比数列的通项，意在考查学生等差数列等比数列的基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2)计算时，注意观察下标的关系，4比2大2,5比3大2，所以=，可以适当优化解题.在数列计算时，注意观察数列下标的关系，选择恰当的性质计算，提高解析效率.4. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算P(A)和P(AB),再代入条件概率的公式即得解. 详解：设甲获得冠军为事件A,比赛进行了三局为事件B,则P(AB)=，P(A)=所以故答案为：A点睛：(1)本题主要考查条件概率，意在考查条件概率的基础知识的掌握能力.(2)本题主要注意审题识别概率类型，条件概率一般有“在发生的情况下”这样的关键概念和信息,本题就有“在甲获得冠军的情况下，”这样的关键信息.5. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出，再求其单调递增区间，再求在上的单调递增区间得解.详解：将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，令所以所以函数g(x)的增区间为，因为x∈，所以在上的单调递增区间是.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，考查三角函数区间上单调区间的求法，意在考查三角函数图像变换和单调区间的求法等基础知识的掌握能力和基本运算能力.(2)求三角函数在区间上的单调区间，一般是先求三角函数在R上的单调区间，再给k赋值和已知区间求交集，即得所求的单调区间.注意给k赋值时，要多取几个值，直到单调区间超过已知区间为止,否则容易漏掉部分单调区间.6. 若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：要想不等式组表示的平面区域要经过四个象限，只要原点在区域内即可，所以，解不等式组即得解.详解：要不等式组表示的平面区域要经过四个象限，只要原点在区域内即可，所以，所以故答案为：A点睛：(1)本题主要考查线性规划,意在考查学生对线性规划等知识的掌握能力.(2)解答本题时，注意不要加了等号，加了等号不等式组表示的区域只经过第一、三、四象限，与原题不符.7. 如图，“大衍数列”：来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（）A. 64B. 68C. 100D. 140【答案】B【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=7；a=0，S=0；n=2， a=2，S=2； n=3,a=4,s=6；n=4,a=8,s=14；n=5,a=12,s=26；n=6,a=8,s=44；n=7,a=24,s=68，所以输出的是68.故答案为：B点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：几何体原图是把边长为2的正方体在右上角切去了球得到的，球的半径是2.再求几何体的表面积.详解：由题得，几何体原图是边长为2的正方体在右上角切去了球得到的，球半径是2.所以几何体的表面积为故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三视图和组合体的表面积，意在考查三视图和几何体的表面积等基础知识的掌握能力. (2)计算原图的表面积，最好把原图画好，对照图形计算不要遗漏和重复.9. 如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由图象可知：由A-B-C和C-O-A所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从A-B-C用的时间长，而从C-O-A的时间短，对于A选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意；对于对于B选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；对于D选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的是1个单位时间，，所以不符合题意；综上可知，答案选B.考点：函数图像10. 已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A. B. 5 C. D. 4【答案】C【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.详解：设，则因为，所以或（舍去）.所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.11. 正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点.分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足.当运动时，下列结论中不正确．．．的是（）A. 平面平面B. 三棱锥的体积为定值C. 可能为直角三角形D. 平面与平面所成的锐二面角范围为【答案】C【解析】如图，当分别在上运动时，若满足，则线段必过正方形的中心，而平面平面平面正确；当分别在上运动时，的面积不变，到平面的距离不变的棱锥的体积不变，即三棱维的体积为定值，正确；若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时的长大于不可能为直角三角形，错误；当分别为中点时，平面与平面所成的角为，当与重合，与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为等于平面与平面所成的锐二面角范围为，正确，故选C.12. 定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出函数f(x)在的值域，再根据，求出函数f(x)在x时的值域和最小值,再利用导数求函数g(x)的最小值即得解.详解：由题得函数在[0,1]上的值域为，函数在[1,上是减函数，在上是增函数，所以函数在上的值域为.所以函数在的值域为∪.因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查了函数的图像和性质，考查了不等式的存在性和任意性问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题有三个关键，其一是要能利用复合函数判断函数的单调性，其二是要能够求出f(x)在的值域为∪，其三是要能够根据推理出在的值域为∪.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________．【答案】5【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知，则二项式的展开式中的系数为__________．【答案】-160【解析】分析：先根据计算出a=2,再利用二项式定理的通项求二项式的展开式中的系数.详解：=2，则二项式（1﹣）6 =（1﹣）6的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r•x﹣r，令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣160.故答案为：-160点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.15. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），令x=﹣c，可得y=±=±，可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），又设D（0，b），可得=（c，b﹣），=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，即为0﹣•（b﹣）＜0，化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，可得c2＜2a2，即e=＜，又e＞1，可得1＜e＜，可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，又e＞1，可得e＞．综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．故答案为：点睛：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化为钝角三角形，这里是利用数量积＜0转化的，比较简洁高效.16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．........................【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在锐角中，为边的中点，且，,为外接圆的圆心，且.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）利用二倍角公式求的值. （2）延长至，使，连接，先求，再利用余弦定理求，再的面积.详解：（1）由题设知，，∴，∴，.（2）延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，∴，在中，，，，，∴由余弦定理得，，即，解得，∴，∴.点睛：（1）本题主要考查二倍角公式，考查余弦定理和三角形的面积公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力. (2)本题的关键是延长至，使，连接,只有这样才能比较简洁完成解题目标.18. 某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为等级；分数在内，记为等级；分数在内，记为等级；60分以下，记为等级.同时认定等级为的学生成绩合格，等级为的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1),甲、乙两校的合格率均为.(2)见解析.【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中，小矩形的和为频率和，和为1，这样可得到的值；合格率为大于等于60分的频率和;（2）为级，甲校C级的频率为，人数为，而乙校C级的人数为4人，随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3，所对应的概率，列分布列并求数学期望.试题解析：（1）由题意，可知，∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而乙校等级的学生人数为4．∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分∴，∴的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.频率分布直方图和茎叶图；2.离散型随机变量的分布列和期望. 19. 如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）取中点，连接，先证明，再证明平面. （2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.详解：（1）证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，.又∵平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成角为，∴.∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，∴平面.（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，.∴，，设平面的一个法向量为.∵，∴.令，∴取，又∵平面的一个法向量，∴.又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴ 二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间几何元素位置关系的证明和空间二面角的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)利用向量法求二面角时，最后求得，一定要结合已知和图形确定二面角时钝角还是锐角再作答.20. 已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为3，椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆，设过点斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程. (2)先假设存在，再化简已知得到，所以存在.详解：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，由到直线的距离为3，得，又椭圆的离心率，所以，又，求得，.椭圆方程为.（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得..设，，则，.假设存在点满足条件，由于，所以平分.易知直线与直线的倾斜角互补，∴.即，即.（*）将，代入（*）并整理得，∴，整理得，即，∴当时，无论取何值均成立. ∴存在点使得.点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是对的转化，由它画图可得平分，所以直线与直线的倾斜角互补，所以.21. 已知函数.（1）设，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设，对任意，有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)或.(2).【解析】分析：（1）先求出，再求出，再利用导数分析函数的单调性和零点,得到a的取值范围.(2)先把命题转化为，再利用导数求函数的最大值和最小值代入可得实数的取值范围.详解：（1）函数的定义域为，∴.①当时，，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以.）因为，所以，此时函数有一个零点.②当时，令，解得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.要使函数有一个零点，则，即，.综上所述，若函数恰有一个零点，则或.（2）因为对任意，有成立，因为，所以.所以，所以.当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，∵与，所以.设，则，所以在上单调递增，故，所以.从而.所以即,设，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，解得.因为，所以的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的零点，求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)本题有三个关键点，其一是把已知转化为，其二是求出后，要构造函数找出最大值，其三是解不等式时要构造函数解不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）先化曲线C的方程为普通方程，消参化直线l为普通方程.(2)把直线的参数方程代入抛物线方程得到，得到韦达定理，再化简成等比数列得实数a的值.详解：（1）因为，所以，即曲线的普通方程为，由，得直线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，，则.又，，.因为，所以，得，或.因为时，所以.点睛：本题主要考查极坐标直角坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查这些基础知识的掌握能力和运算能力.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图像恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）当时，把要的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由二次函数在取得最小值在处取得最大值，故有，由此求得实数的范围.试题解析：（1）当时，由的不等式的解集为（2）由二次函数该函数在处取得最小值2，因为在处取得最大值,所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.。
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则P∩Q=（） A．{0，1，2}B．{1，2}C．（0，2]D．（0，e）2．（5分）若复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0B．∀x∉[1，2]，x2﹣3x+2＞0C．D．4．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．5．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣π，π]上的大致图象为（） A．B．C．D．11．（5分）如图，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2，1的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，4），圆，过圆心C2M，N，则|PN|+4|QM|的最小值为（）A．23B．42C．12D．5212．（5分）已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数“，若f （x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，则实数a的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x2的系数为．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为．15．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2，则该几何体外接球的表面积为．16．（5分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1．则= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC，c=3．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若AD是BC边上的中线，，求△ABC的面积．18．（12分）光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]用电量（单位：度）户数7815137（Ⅰ）在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；（Ⅱ）在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．（12分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．（Ⅰ）若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；（Ⅱ）若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（1，0），P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2．（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；（Ⅱ）过点B（﹣1，1）与直线l平行的直线l1与曲线 C1交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）+|x﹣1|≥2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为a﹣1，求实数a的值．2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．【解答】解：集合P={x|y=}={x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}={0，1，2}，Q={x|0＜x＜e}，∴P∩Q={1，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．【分析】根据复数的基本运算进行化简，集合复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：====﹣﹣i，对应点的坐标为（﹣，﹣）位于第三象限角，故选：C．【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：命题：“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．4．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5=0与渐近线y=﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x．又直线3x﹣y+5=0可化为y=3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，∴=，=∴双曲的离心率e==．故选：B．【点评】熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，由于S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018=（1+3+...+2017）﹣（2+4+ (2018)=﹣=﹣1009．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．【分析】由题意可得2a﹣1＞0，a＞1，且2a﹣1+4＜a2，解不等式组，即可得到所求范围．【解答】解：的定义域为R，数列满足an =f（n），且{an}是递增数列，可得2a﹣1＞0，即a＞；又a＞1；且2a﹣1+4＜a2，即a＞3或a＜﹣1，综上可得，a＞3，故选：D．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查数列的单调性的判断和应用，注意数列与函数的区别，以及分界点的函数值，考查运算能力，属于中档题和易错题．7．【分析】利用已知条件，设出向量的夹角，利用数量积化简转化求解即可．【解答】解：设平面向量，的夹角为：α，，的夹角为：β，平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，可得平面向量，的夹角为：60°，则（+）•（2﹣）=2﹣﹣+2=﹣cosα+2cosβ，由表达式可知当0°≤α≤90°，β＞90°时，表达式取得最小值，如图：﹣cosα+2cosβ=﹣cosα+2cos60°cosα﹣2sin60°sinα=sinα≥﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，最值的求法，考查数形结合以及计算能力．8．【分析】根据题意，由于任务A必须排在前三位，按A的位置分3种情况讨论，依次分析任务E、F以及其他三个任务的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的安排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①、A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有4×2×6=48种安排方案；②、A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有3×2×6=36种安排方案；③、A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有3×2×6=36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36+36+48=120种；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素或位置．9．【分析】利用辅助角公式化积，结合y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数、余弦函数的奇偶性得出结论．【解答】解：=，将函数f（x）2=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，显然，y=sin2x为奇函数，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，是中档题．10．【分析】利用三角函数的特殊角的函数值，判断选项即可．【解答】解：当x=时，y=（1+0）=，对应点在第一象限，排除C，D 选项；当x=时，y=1+cosπ=0，对应点在x轴上，排除选项B，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，利用特殊点判断选项是常用方法，也可以化简函数的解析式，判断函数的图象．11．【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【解答】解：设抛物线的方程：y2=2px（p＞0），则16=2p×2，则2p=8，∴抛物线的标准方程：y2=8x，焦点坐标F（2，0），由直线PQ过抛物线的焦点，则+==，圆C2：（x﹣2）2+y2=1圆心为（2，0），半径1，|PN|+4|QM|=|PF|+1+4（|QF|+1）=|PF|+4|QF|+5=2（|PF|+4|QF|）×（+）+5=2（5++）+5≥2（5+2）+5=23，∴|PN|+4|QM|的最小值为23，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．12．【分析】由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x，由f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，得1＜x＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x，∵f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，∴|x0﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∵，∴a=，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，=h（2）=，h（1）=，h（3）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围为（，]．故选：B．【点评】本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据二项式展开式的二项式系数和求得n的值，再根据展开式的通项公式求出x2的系数．【解答】解：二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为2n=64，解得n=6；∴（2x﹣3）6的展开式中通项公式为=•（2x）6﹣r•（﹣3）r，Tr+1令6﹣r=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数为•22•（﹣3）4=4860．故答案为：4860．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式与二项式系数和的应用问题，是基础题．14．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=，再利用z的几何意义求最值，只需求出区域内的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率的取值范围即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将z转化区域内的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率，当动点Q在点A（1，2）时，z的值为：=，最大，∴z=最大值：．故答案为：．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．15．【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，结合图形求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，∵△ABD与△ACD均为直角三角形，∴AD为该多面体外接球的直径，AD=，∴该多面体外接球的半径R=．∴该几何体外接球的表面积为．故答案为：12π．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16．【分析】求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线直线AB的斜率，同理即可求得．【解答】解：由c=1，e==，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），由A，B在椭圆上，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得到：=﹣•，所以k1==﹣•=﹣•，即=﹣，同理=﹣，=﹣，所以=﹣（++），直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则=﹣，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．求出AC，然后求解三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC可化为bsinB﹣asinA=bsinC﹣csinC 即b2﹣a2=bc﹣c2．（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．即：，解得，AC=2．故．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【分析】（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，求出概率，由年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，求解期望即可．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），利用线性关系求解期望，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则．由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，即，故．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），由抽样可得，则该自然村年均用电量约156 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×0.8=115200元．【点评】本题考查随机变量的期望的求法，二项分布的期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．【分析】（Ⅰ）通过三角形全等证明∠FED=∠FEA，推出EF⊥AD，证明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可证明AD⊥平面CFG．然后证明平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的数量积求解平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△BCD中，EB=ED=EC，故，因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而有．∴∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD．又PG=GD，∴FG∥PA．又PA⊥平面ABCD，故GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，CF∩EF=F故AD⊥平面CFG．又AD⊂平面CFG，∴平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）解：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则．故，，．设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得即．设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得即=（1，）．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．【分析】（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，推出点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C方程．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去x，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．利用韦达定理以及∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．求解m即可．【解答】解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F关于y轴的对称点F'，连F'P，故|F'P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．所以点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=1，曲线C方程为．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．由直线l过椭圆内一点作直线故△＞0，由求根公式得：，由得∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．故，．所以m=6，存在定点（0，6），当斜率不存在时定点（0，6）也符合题意．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的解决方法，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，只证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，又x≥lnx+1，即，即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣2x，由题设得f'（1）=e﹣2，f（1）=e﹣1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1．（Ⅱ）f'（x）=e x﹣2x，f''（x）=e x﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1，x∈[0，1]．f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=e x﹣2，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（0）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1n2），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．又x≥lnx+1，即，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）由直线l过点A可得，从而，进而得到直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离，由此能求出曲线C1上的点到直线l的距离的最大值．（Ⅱ）直线l的倾斜角为，求出直线l1的参数方程和曲线C1的普通方程，把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，依据参数t的几何意义可求出|BM|•|BN|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，由直线l过点A可得，解得，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0，根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得，∴，依据参数t的几何意义可知．【点评】本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为利用绝对值的几何意义，转化求解即可．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．化简函数为分段函数，利用函数的单调性求解函数的最小值推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为．∵∴，解得：a≤0或a≥4．∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．∴如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，解得：．∴．【点评】本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，分段函数的应用，考查计算能力．。
河南省八市重点高中2018届高考数学二模试卷理科 含解析
2018年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣） B．（0，） C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2018年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．∪=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣） B．（0，） C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f （t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解： =1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90° …（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…故S△ABC=ab≤×…即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD ⊥平面PAB ，∴是平面PAB 的一个法向量， =（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED 的法向量为=（x ，y ，z ），则•=0， •=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD 的一个法向量，计算可得cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣PE ﹣D 的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos ＜，＞==，设1+2λ=t ，t ∈，则cos 2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos ＜，＞|的最大值为．因为y=cosx 在（0，）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束． （Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值． 【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得： =，又，知， =，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞+…=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O 的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2018年10月4日。
河南省郑州市2018届高三第二次质量预测理数试题及答案解析
绝密★启用前河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,{|ln 1}P x y x N Q x x ==∈=<，则P Q ⋂=（ ） A ． {}012，， B ． {}12， C ． 02]（， D ． ()0e ， 2．若复数521iz i +=-,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( )A ． []21,2,320x x x ∀∈-+> B ． []21,2,320x x x ∀∉-+> C ． []20001,2,320x x x ∃-+> D ． []20001,2,320x x x ∃∉-+>4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．． C ． D ． 5．运行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A ． 1009B ． -1008C ． 1007D ． -1009 6．已知()()()214,1{,(1)x a x x f x a x -+≤=>的定义域为R ，数列{}()*n a n N ∈满足()n a f n =,且{}n a 是递增数列，则a 的取值范围是( )A ． ()1+∞，B ． 12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ． ()13， D ． ()3+∞， 7．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===,若12a b = ,则()()2a b b c +- 的最小值为( )A ． -2B ．． -1 D ． 08．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事．撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E F 、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A ． 240种B ． 188种C ． 156种D ． 120种9．已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( )A ． 向左平移6π个单位长度 B ． 向右平移6π个单位长度 C ． 向左平移12π个单位长度 D ． 向右平移12π个单位长度10．函数()y sin 1cos2x x =+在区间[]ππ-，上的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A ． 23B ． 42C ． 12D ． 5212．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ． 214(,e e ⎤⎥⎦B ． 214(, e e ⎤⎥⎦C ． 242[, e e ⎫⎪⎭D ． 3242[, e e ⎫⎪⎭二、填空题13．已知二项式()23nx -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为________．14．已知实数,x y 满足条件2,{22, 1,y x x y x ≤+≥≤则3yx +的最大值为_________．15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为__________．16．已知椭圆()2222r :10x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ,且离心率为12， ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0． O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1．则123111k k k ++=__________．三、解答题17．ABC 内接于半径为R 的圆， ,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且()()222R sin sin b c sin ,3B A C c -=-=．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若AD 是BC 边上的中线，AD =，求ABC 的面积． 18．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0．8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．如图所示四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,,ABCD DAB DCB E ≌为线段BD 上的一点，且EB ED EC BC ===,连接CE 并延长交AD 于F ． (Ⅰ)若G 为PD 的中点，求证：平面PAD ⊥平面CGF ；(Ⅱ)若BC 2,PA 3==，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值．20．已知圆22O:4x y +=,点()1,0,F P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ,设动点P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．21．已知函数()2xf x e x =-．(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cos ,{,x y θθ== (θ为参数)．(Ⅰ)求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；(Ⅱ)过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线 1C 交于,M N 两点，求BM BN 的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈．(Ⅰ)若不等式()12f x x +-≥对R x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值．1．B【解析】由题意可得{}()0,1,3,0,P Q e ==，所以{}12P Q ⋂=，，选B ． 2．C【解析】由题意可得521i z i +=- 2122i i +==---，对应点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以在复平面对应的点在第三象限，选C ． 3．C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C ． 4．B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B ．5．D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 6．D【解析】由于{}n a 是递增数列，所以1a >，且()21f f >（），即223a a >+，解得1a <-或3a >，所以3a >，选D ．7．B【解析】由题意可得由12a b ⋅=，可得,3a b π=，不妨设()()11,0,,cos ,sin 2a b c θθ⎛=== ⎝⎭原式=21223cos cos 3223a b a c b b c πθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅+-⋅=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小值为B ． 学科￥网 8．D【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移| φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 10．A【解析】当0x +→， 0y +→，排除选项C,D ，当2x π=， 0y =，所以排除选项B,选A ．【点睛】识图问题，根据函数的性质，由整体性质到局部性质，再结合函数图像的差异性进行分析。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ） A ．13- B ．13 C ．23 D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25C ．5D ．311. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n }是首项为32的等比数列，S n 是其前n 项和，且=，则数列{|log 2a n |}前10项和为 ．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16．若曲线C 1：y=ax 2（a ＞0）与曲线C 2：y=e x 存在公切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB+bcosA=0． （1）求角A 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•co sA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．2017年5月23日。
河南省名校高三理综压轴第二次考试试题(2021年整理)
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河南省名校2018届高三理综压轴第二次考试试题一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞的叙述，正确的是A.植物的根尖细胞中无叶绿体，所以用根尖细胞不能培养出含叶绿体的植物体B.癌细胞是动物体内具有自养能力并快速增殖的细胞C.细胞在合成ATP及遗传信息的传递和表达过程中，均有水的产生D.合成固醇类激素的分泌细胞的内质网一般不发达2。
植物叶片的光合强度可通过通气法来测定,如图所示（装置中通入气体的C02浓度是可以调节的)。
将适量叶片置于同化箱中,在一定的光照强度和温度条件下，让空气沿箭头方向缓慢流动，并用C02分析仪测定A、B两处气体C02浓度的变化，根据实验,下列说法错误的是A。
欲使A、B两处气体C02浓度相同，能通过控制光照强度来实现B。
如果B处气体C02浓度低于A处,说明叶片光合作用强度小于呼吸作用强度C。
当通入气体的C02浓度增加到一定值以后，继续增加,A、B两处C02浓度的差值不再继续增大，则限制叶片更多利用C02的内部因素可能是叶绿体数量D。
如果将该同化箱放在黑暗条件下，测定同化箱通入气体和通出气体的体积变化，则体积差值表示的含义是植物呼吸吸收氧气和产生二氧化碳的差值3。
美国国家人类基因组研究院确认了X染色体上有1098个蛋白质编码基因,有趣的是，这1098个基因中只有54个在对应的Y染色体上有相应功能的等位基因,而Y染色体上仅有大约78个基因。
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的•1- （5 分）已知集合卜=丘 |产（-工％+2，x€N}，Q 二则 PQ Q=（） A. {0, 1, 2}B . {1, 2}C. （0, 2]D . （0, e ）2.（5分）若复数一；丄，则复数z 在复平面内对应的点在（）15-1 A .第一象限 B .第二象限C •第三象限D .第四象限3.（5 分）命题？ x €[ 1, 2] , x 2-3x+2W 0”的否定是（ ）B. ? x?[ 1, 2] , x 2- 3x+2>0D.日珂年[1】2] r2 24. （5分）已知双曲线G 耳壬=1的一条渐近线与直线3x - y+5=0垂直，则双 曲线C 的离心率等于（ ）A .「B .「C.」D .「5. （5分）运行如图所示的程序框图，输出的 S=（）A . ? x € [1, 2] , x 2-3x+2>0C. : ... J ： + - 1C. ( 1, 3)（5分）已知平面向量 1 I 】，・一满足|计=|十|，1=1,若“ ？「丄，贝则U + ） ?（2b - c ）的最小值为（ ）A .— 2B .-品C.- 1D . 08.（5分）《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完 成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求： 重点任务A 必须排在前三位， 且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）A . 240 种B . 188 种C. 156 种 D . 120 种TT9. （5分）已知函数f （x ） =V3C °S （2K ）-<OS 2K ，若要得到一个奇函数的图象，B .— 1008 C. 1007 D .— 10096. （5分）已知F 仗）二的定义域为R,足a n =f （n ）,且｛a n ｝是递增数列，则 a 的取值范围是（B .7. A . 1009则可以将函数f （x）的图象（）10. （5分）函数y=sinx （1+cos2x ）在区间［-n ， n 上的大致图象为（11. （5分）如图，已知抛物线C i 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点（2, 4）,圆c 2： x 2+y 2-4n+3=0，过圆心C2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ， M ，N ,则|PN|+4|QM|的最小值为（）12. （5 分）已知 M=｛ a f （ a ） =0｝，N=｛仏（B ） =0｝，若存在 a€ M ，英 N ,使得I a- B V n ,贝U 称函数f （x ）与g （x ）互为“度零点函数“若f （x ） =32「x -1与g （x ） =x 2- ae x 互为“度零点函数“则实数a 的取值范围为（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）已知二项式（2x - 3） n 的展开式中二项式系数之和为 7T，个单位长度B •向右平移,K 个单位长度 D .向右平移 JU 迈~V 个单位长度A .向左平移 C •向左平移个单位长度1-TlV^B.A . C.-TT OD .-n G B . 42 C. 12 D . 52A .C.[D . ['「，-)e64,则展开式A . 23中x2的系数为_______ .14. （5分）已知实数x , y 满足条件2x4v>2，则丄的最大值为 .孑 x+3 I 工<115. （5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中 一些数学用语可见，譬如 鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥•某鳖臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为 1 ）如图所示，已知几何 体高为2」，贝U 该几何体外接球的表面积为 _______2 2口 七+牛1QQ0）的右焦点为F （ 1, 0），且离心率为，△ ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ ABC 三条边AB 、BC AC 的中点分 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12分）△ ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且 2R （sin 2B — sin 2A ） = （b - c ） sinC ，c=3. （I ）求角A 的大小；（U ）若AD 是BC 边上的中线，二［—，求厶ABC 的面积.18. （12分）光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性 及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居 民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为 k 1、k 2、k 3，且 k 1、k 2、k 3均不为0. O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为 1 .则用电量(单(0, 200] (200, 400] (400, 600] (600, 800] (800,1000] 位：度)户数7 8 15 13 7 (I)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X, 求X的数学期望；(n)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式. 已知该县某自然村有居民300户•若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购•经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19. (12分)如图所示四棱锥P-ABCD P从平面ABCD △ DAB^A DCB, E为线段BD上的一点,且EB=ED=EC=BC连接CE并延长交AD于F.(I)若G为PD的中点,求证：平面PADL平面CGF为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(I )求曲线C的方程；(n) M , N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点(0,斗)，问在y轴上是否存在定点Q ,使得/ MQO=Z NQO,若存在，请求出定点Q ,若不存在，请说明理由.21. (12 分)已知函数f (x) =6" - x2.(I )求曲线f (X)在x=1处的切线方程；(n)求证：当x> 0 时，T1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为：… —| ,直线I 的极坐标方程为「-「二 I T I = 71， 且 1 过点 数).(I )求曲线Ci 上的点到直线I (n)过点B (- 1，1)与直线 | BM| ?| BN| 的值.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数 f (x ) =|2x -a|+| x - 1|，a € R.(I )若不等式f (x ) +|x - 1| >2对？ x € R 恒成立，求实数a 的取值范围; (n )当a v 2时，函数f (x )的最小值为a- 1，求实数a 的值.A ,曲线C i 的参数方程为 的距离的最大值；I 平行的直线l i 与曲线C i 交于M ，N 两点，求2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的• 1.【分析】分别求出集合p, Q ,由此能求出P A Q .【解答】解：集合 P={x|y= .： ■： ■ }={x| - x 2+x+2> 0, x € N}={0, 1, 2}, Q={x| 0v x v e}, ••• P A Q={1, 2}. 故选：B.【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题. 故选：C.【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数的运算法则进行化简是 解决本题的关键.3.【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案.【解答】解：命题： “？ x € [ 1 , 2] , x 2 - 3x+2 < 0 的否定是2],坯亠-3也十故选：C.2【分析】根据复数的基本运算进行化简，集合复数的几何意义进行判断即可.I 解答】解：'-严十圭」-12对应点的坐标为（- -一）位于第三象限角,【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题.4.【分析】由题意可判断出直线3x-y+5=0与渐近线y= -Lx垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出.2 2 .【解答】解：•••双曲线C宀壬二1的渐近线方程为y=±bx.a2a又直线3x- y+5=0可化为y=3x+5，可得斜率为3.2 2•••双曲线⑺ 一二1的一条渐近线与直线3x- y+5=0垂直，£ 2• Ib_l c r_1•••双曲的离心率e』=1 .故选：B.【点评】熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键.5.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出S=1-2+3 - 4+…+2017 - 2018的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1-2+3-4+-+2017 - 2018 的值，由于S=1-2+3 - 4+-+2017 - 2018=(1+3+-+2017)-( 2+4+-+2018)_(1+2Q1D x 1009 (2吃。
2018届河南高三第二次模拟考试理科数学试题(解析版) (15)
高三第二次模拟考试理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3. 如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A. B. C. D.4.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，5.在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为（）A. B. C. D.6. 若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为（ ）A. B. C. D.7. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或8. 若实数，满足，则的最大值是（ ）A. B. C. D.9. 将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（ ） A. B. C.D.10. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.11. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则（ ）A.B. C. D.12. 设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．14. 已知焦点在轴上的双曲线，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．15. 已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为__________．16.已知定义在上奇函数和偶函数满足，若，则的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和为，点在函数（）的图象上，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列，求数列的前项和.18. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19. 随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足岁的网民共人，调查结果如下：（1）请完成上面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名，若在上述名网民中随机选人，设这人中反对态度的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：，.20.已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，，记的面积为，求证：.21. 已知函数，为自然对数的底数.（1）若当时，恒成立，求的取值范围；（2）设，若对恒成立，求的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）射线：与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.高三第二次模拟考试理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以,选B.2. 若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以虚部为1,选C.3. 如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该积木为一个柱体,前面为两个正方形加半个圆柱侧面积,后面为矩形,上下为一个矩形去掉半圆,左右为矩形,因此表面积为,选A.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．4.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】因为命题：，，所以为:，,选D.5.在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为乙同学次成绩的中位数为，所以选A.6.若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】概率为几何概型,测度为面积,概率为选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或【答案】C 【解析】若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或； 因此选C.8. 若实数，满足，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作可行域如图，则,所以直线过点A(0,1)时取最大值1，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9. 将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，因此，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】与,相减得公共弦所在直线方程：，即，所以由得，即，因此，选D.点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则由面积关系得... ... ... ... ... ... ... ... ...所以，选B.12. 设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，所以在上至少有一个零点；舍去B,D;当时，，所以在上至少有一个零点；舍去C;因此选A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】14. 已知焦点在轴上的双曲线，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，焦点到渐近线的距离为.点睛：1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.15. 已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为__________．【答案】【解析】因为，，所以,所以当且仅当时取等号，因此,所以向量与的夹角的余弦值为16.已知定义在上奇函数和偶函数满足，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，即，因此因为，所以由，得，结合分母不为零得的取值范围是点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和为，点在函数（）的图象上，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）先根据函数关系得和项关系式，再根据等差数列和项特征求首项与公差，最后代入等差数列通项公式；（2）因为为等差与等比乘积，所以利用错位相减法求和.试题解析：（1）设数列的公差为，则，又，两式对照得所以数列的通项公式为.（2）则两式相减得点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）根据平几知识得，由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的余弦值.试题解析：（1）∵是等边三角形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）解法一：如图建立空间直角坐标系.则，，.得，，设平面的法向量，则即得取.同理可得，平面的法向量∴则二面角的余弦值为.解法二：由（1）知平面，∴，.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，设，∵∴，解得.即，∴则二面角的余弦值为.19. 随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足岁的网民共人，调查结果如下：（1）请完成上面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名，若在上述名网民中随机选人，设这人中反对态度的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：，.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关.(2)【解析】试题分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据比较作判断，（2）先根据分层抽样确定人数，确定随机变量取法，再利用组合数计算对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）列联表如下：不足岁岁及以上所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关. （2）易知抽取的人中，有人支持，人反对.的可能取值为，，，且，，则的分布列为的数学期望20.已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，，记的面积为，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质得p，再根据对称性得A坐标，代人椭圆方程可得a,（2）先根据导数几何意义得抛物线切线方程，再与椭圆方程联立，根据判别式为零确定切点，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最值，证得结论.试题解析：（1）易知，则抛物线的方程为由及图形的对称性，不妨设，代入，得，则.将之代入椭圆方程得，得，所以椭圆的方程为.（2）设切点，即，求导得，则切线的斜率为，方程，即，将之与椭圆联立得，令判别式化简整理得，，此时设直线与轴交于点，则由基本不等式得，则，仅当时取等号，但此时，故等号无法取得，于是.21. 已知函数，为自然对数的底数.（1）若当时，恒成立，求的取值范围；（2）设，若对恒成立，求的最大值.【答案】(1) (2) 的最大值为，此时，【解析】试题分析：（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得，，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.试题解析：（1）由题意得，且，注意到设，则，则为增函数，且.讨论如下：①若，，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；②若，令，得，则当时，，得在上单调递减，有，得在上单调递减，有，舍去.综上，的取值范围.（2）当时，，即.令，则原问题转化为对恒成立.令，.若，则，得单调递增，当时，，不可能恒成立，舍去；若，则；若，则易知在处取得最小值，所以，，将看做新的自变量，即求函数的最大值，则，令，得.所以在上递增，在上递减，所以，即的最大值为，此时，.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）射线：与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据，得直线的极坐标方程以及圆的直角坐标方程；（2）将代入得，，再根据求线段的长.试题解析：（1）在中，令，.得，化简得.即为直线的极坐标方程.由得，即.，即为圆的直角坐标方程.（2）所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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河南名校2018届高三第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先根据已知计算出复数z,再求复数z的共轭复数，最后求的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以，所以对应的点为（4,2），所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的几何意义，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再根据求出实数a的取值范围.详解：由题得.因为，所以,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，，，不满足，（1,3）≠B.3. 各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据，，成等差数列求出q的值，再求的值.详解：由题得所以=故答案为：B点睛：（1）本题主要考查等差中项和等比数列的通项，意在考查学生等差数列等比数列的基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2)计算时，注意观察下标的关系，4比2大2,5比3大2，所以=，可以适当优化解题.在数列计算时，注意观察数列下标的关系，选择恰当的性质计算，提高解析效率.4. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算P(A)和P(AB),再代入条件概率的公式即得解.详解：设甲获得冠军为事件A,比赛进行了三局为事件B,则P(AB)=，P(A)=所以故答案为：A点睛：(1)本题主要考查条件概率，意在考查条件概率的基础知识的掌握能力.(2)本题主要注意审题识别概率类型，条件概率一般有“在发生的情况下”这样的关键概念和信息,本题就有“在甲获得冠军的情况下，”这样的关键信息.5. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出，再求其单调递增区间，再求在上的单调递增区间得解.详解：将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，令所以所以函数g(x)的增区间为，因为x∈，所以在上的单调递增区间是.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，考查三角函数区间上单调区间的求法，意在考查三角函数图像变换和单调区间的求法等基础知识的掌握能力和基本运算能力.(2)求三角函数在区间上的单调区间，一般是先求三角函数在R上的单调区间，再给k赋值和已知区间求交集，即得所求的单调区间.注意给k赋值时，要多取几个值，直到单调区间超过已知区间为止,否则容易漏掉部分单调区间.6. 若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：要想不等式组表示的平面区域要经过四个象限，只要原点在区域内即可，所以，解不等式组即得解.详解：要不等式组表示的平面区域要经过四个象限，只要原点在区域内即可，所以，所以故答案为：A点睛：(1)本题主要考查线性规划,意在考查学生对线性规划等知识的掌握能力.(2)解答本题时，注意不要加了等号，加了等号不等式组表示的区域只经过第一、三、四象限，与原题不符.7. 如图，“大衍数列”：来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（）A. 64B. 68C. 100D. 140【答案】B【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=7；a=0，S=0；n=2，a=2，S=2；n=3,a=4,s=6；n=4,a=8,s=14；n=5,a=12,s=26；n=6,a=8,s=44；n=7,a=24,s=68，所以输出的是68.故答案为：B点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：几何体原图是把边长为2的正方体在右上角切去了球得到的，球的半径是2.再求几何体的表面积.详解：由题得，几何体原图是边长为2的正方体在右上角切去了球得到的，球半径是2.所以几何体的表面积为故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三视图和组合体的表面积，意在考查三视图和几何体的表面积等基础知识的掌握能力. (2)计算原图的表面积，最好把原图画好，对照图形计算不要遗漏和重复.9. 如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由图象可知：由A-B-C和C-O-A所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从A-B-C 用的时间长，而从C-O-A的时间短，对于A选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意；对于对于B选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；对于D选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的是1个单位时间，，所以不符合题意；综上可知，答案选B.考点：函数图像10. 已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A. B. 5 C. D. 4【答案】C【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.详解：设，则因为，所以或（舍去）.所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.11. 正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点.分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足.当运动时，下列结论中不正确．．．的是（ ）A. 平面平面B. 三棱锥的体积为定值C.可能为直角三角形 D. 平面与平面所成的锐二面角范围为【答案】C【解析】如图，当分别在上运动时，若满足，则线段必过正方形的中心，而平面平面平面正确；当分别在上运动时，的面积不变，到平面的距离不变的棱锥的体积不变，即三棱维的体积为定值，正确；若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时的长大于不可能为直角三角形，错误；当分别为中点时，平面与平面所成的角为，当与重合，与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为等于平面与平面所成的锐二面角范围为，正确，故选C.12. 定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求出函数f(x)在的值域，再根据，求出函数f(x)在x时的值域和最小值,再利用导数求函数g(x)的最小值即得解.详解：由题得函数在[0,1]上的值域为，函数在[1,上是减函数，在上是增函数，所以函数在上的值域为.所以函数在的值域为∪.因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查了函数的图像和性质，考查了不等式的存在性和任意性问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题有三个关键，其一是要能利用复合函数判断函数的单调性，其二是要能够求出f(x)在的值域为∪，其三是要能够根据推理出在的值域为∪.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________．【答案】5【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知，则二项式的展开式中的系数为__________．【答案】-160【解析】分析：先根据计算出a=2,再利用二项式定理的通项求二项式的展开式中的系数.详解：=2，则二项式（1﹣）6 =（1﹣）6的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r•x﹣r，令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣160.故答案为：-160点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.15. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），令x=﹣c，可得y=±=±，可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），又设D（0，b），可得=（c，b﹣），=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，即为0﹣•（b﹣）＜0，化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，可得c2＜2a2，即e=＜，又e＞1，可得1＜e＜，可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，又e＞1，可得e＞．综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．故答案为：点睛：(1)本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化为钝角三角形，这里是利用数量积＜0转化的，比较简洁高效.16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．........................【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在锐角中，为边的中点，且，,为外接圆的圆心，且.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）利用二倍角公式求的值.（2）延长至，使，连接，先求，再利用余弦定理求，再的面积.详解：（1）由题设知，，∴，∴，.（2）延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，∴，在中，，，，，∴由余弦定理得，，即，解得，∴，∴.点睛：（1）本题主要考查二倍角公式，考查余弦定理和三角形的面积公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力. (2)本题的关键是延长至，使，连接,只有这样才能比较简洁完成解题目标.18. 某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为等级；分数在内，记为等级；分数在内，记为等级；60分以下，记为等级.同时认定等级为的学生成绩合格，等级为的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1),甲、乙两校的合格率均为.(2)见解析.【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中，小矩形的和为频率和，和为1，这样可得到的值；合格率为大于等于60分的频率和;（2）为级，甲校C级的频率为，人数为，而乙校C级的人数为4人，随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3，所对应的概率，列分布列并求数学期望.试题解析：（1）由题意，可知，∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而乙校等级的学生人数为4．∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分∴，∴的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.频率分布直方图和茎叶图；2.离散型随机变量的分布列和期望. 19. 如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2). 【解析】分析：（1）取中点，连接，先证明，再证明平面. （2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.详解：（1）证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，.又∵平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成角为，∴.∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，∴平面.（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，.∴，，设平面的一个法向量为.∵，∴.令，∴取，又∵平面的一个法向量，∴.又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间几何元素位置关系的证明和空间二面角的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)利用向量法求二面角时，最后求得，一定要结合已知和图形确定二面角时钝角还是锐角再作答.20. 已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为3，椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆，设过点斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先假设存在，再化简已知得到，所以存在.详解：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，由到直线的距离为3，得，又椭圆的离心率，所以，又，求得，.椭圆方程为.（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得..设，，则，.假设存在点满足条件，由于，所以平分.易知直线与直线的倾斜角互补，∴.即，即.（*）将，代入（*）并整理得，∴，整理得，即，∴当时，无论取何值均成立. ∴存在点使得.点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是对的转化，由它画图可得平分，所以直线与直线的倾斜角互补，所以.21. 已知函数.（1）设，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设，对任意，有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)或.(2).【解析】分析：（1）先求出，再求出，再利用导数分析函数的单调性和零点,得到a的取值范围.(2)先把命题转化为，再利用导数求函数的最大值和最小值代入可得实数的取值范围.详解：（1）函数的定义域为，∴.①当时，，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以.）因为，所以，此时函数有一个零点.②当时，令，解得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.要使函数有一个零点，则，即，.综上所述，若函数恰有一个零点，则或.（2）因为对任意，有成立，因为 ，所以.所以，所以.当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，∵与，所以.设 ，则，所以在上单调递增，故，所以.从而.所以即,设，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，解得.因为，所以的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的零点，求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)本题有三个关键点，其一是把已知转化为，其二是求出后，要构造函数找出最大值，其三是解不等式时要构造函数解不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）先化曲线C的方程为普通方程，消参化直线l为普通方程.(2)把直线的参数方程代入抛物线方程得到，得到韦达定理，再化简成等比数列得实数a的值.详解：（1）因为，所以，即曲线的普通方程为，由，得直线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，，则.又，，.因为，所以，得，或.因为时，所以.点睛：本题主要考查极坐标直角坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查这些基础知识的掌握能力和运算能力.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图像恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）当时，把要的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由二次函数在取得最小值在处取得最大值，故有，由此求得实数的范围.试题解析：（1）当时，由的不等式的解集为（2）由二次函数该函数在处取得最小值2，因为在处取得最大值,所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需。