农夫的选择论文

承诺书
我们仔细阅读了第五届“校长杯”大学生数学建模竞赛参赛须知.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B
参赛队员(姓名、学院、班级) ：1. 游霖﹑数理学院、应数091
2. 舒康、数理学院、应数091
3. 张杰、数理学院、应数091
指导教师或指导教师组负责人(如果有的话填写)：
日期： 2010 年 6 月 14 日试题评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
试题评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
农夫的选择
摘要：
本文解决的是一个畜牧养殖的最优养殖的问题，寻求以山羊养殖达到最大收益的方案。

本文主要讨论了最初山羊养殖所需饲量与牧草生长周期的关系，以及雌性山羊与牧场持续繁殖的比率关系。

题设中已知草场面积X ，通过对苜蓿草的资料的查询，可以得到其每平方米的植株数量为36株（见假设7）。

基于牧草不同季节的生长率不同，其提供的饲料量也不同。

假设在牧场完全自给自足的环境下，要求使羊生长的数量正好消耗所能提供的饲料。

因此，我们假设先从牧场进入正轨后入手，建立了一个循环的动态“草—羊”平衡模型。

根据实际情况，推导出正常运营下的山羊收益与饲
养山羊总数的关系：504144365⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=P K n K n n （P 为农夫最大收益
时羊总重量），运用线性优化求出山羊数目最优解。

然后以此为基准，并以五年
为一个周期，反推回初始状态下最合理的饲养数量。

对于我们建立的模型，我们经分析题设信息。

草每季度生长率不同，异龄母山羊产仔数量也不同，由于把羊仅分为成羊与羔羊，即0~1岁为羔羊，1岁以上为成羊。

成羊中公羊体重大于母羊，故公羔羊保留，待饲养一年后出售，以求经济效益。

而对母羊繁殖的必须性，故保留母羔羊的数目不得少于循环年时的母羊数目。

以供草量，母羊，羊羔为变量，设为动态平衡建立这个循环模型。

（即：每年都有养满五年的母羊出售，同时又有一定数量的羊羔出生。

且羊羔公母比例为1:1）以此求解初始羊群数量和母羊比例。

而后分离出牧草变量建立模型，以鲜，干草45%的转换率计算其夏季的储存量。

我们所建立的模型基于对现实最优牧场管理的考虑，使牧场不断处于产出与售出的动态平衡中且使各季度的饲料充分利用，但又不会导致过度放牧。

再由平衡反推回原始饲养的数量。

其特点在于能由简入繁，可利用简单的手法计算最大效益，并通过平衡时的最大效益推导出其初始阶段。

故通过模型的建立与求解，可以得出设问的三个结果为：农夫初始应该饲养的0.0112X 只羊；夏季的储存量
为4.547X 千克；且保留的母山羊比例为3
1。

关键词：动态平衡，循环模型，牧草生长率，异龄母山羊产仔数量
1.问题重述
一位农夫拥有X平方米的草场，长有多年生的苜蓿草。

希望今后几年通过养山羊提高收益，给出问题：1.应该饲养羊多少只？2.夏季应该储存多少苜蓿草作冬季饲料？3.为繁殖，每年保留多大比例母山羊？并给出部分数据：
苜蓿草的平均生长率：
母山羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。

假定每只母羊仅喂养5年就出售。

2.模型假设
1.按经验计，山羊性成熟后体重变化不大，故假设山羊只分为羊羔与成羊。

体重
（详见附录表格1）
2.暂时不考虑国内草场退化情况。

3.设每季度按90天计算。

4.设羊生长状况良好，不存在死亡现象。

5.从资料上看，母羊从秋季开始生育。

6.羔羊出生比例，公母比为1:1。

7. 多年生苜蓿草的条播行距一般在15---30厘米，为简单不妨设定为20厘米，因而每平方米可以生长36株。

（每株生产率见上*表1。

）
8. 牧草湿草转化为干草比率为45%，同等质量下草的能量相同。

9. 收益以山羊出售价格计算，山羊价格以下表价格取平均价25元/kg ，不计市场波动。

故以羊重计算收益。

摘自：/（养殖巴巴）
3.符号说明
n
表示需要饲养的母羊数量（只） .N
表示需要饲养的山羊的总数（只） K
表示母羊羔中留下饲养的数量（只）
1C ，2C ，3C ，4C
分别表示春，夏，秋，冬四季羊群消耗苜蓿草量（千克） 1M ,2M ,3M ,4M
分别表示春，夏，秋，冬四季牧场自身产草量（千克）
Z 表示年度总消耗苜蓿草的量（千克） M
牧场长年生苜蓿草的自身年产量（千克）
P
表示山羊的年产量（千克） X
表示草场面积（平方米）已知
4.问题分析
4.1 对于所应该饲养的山羊数量，我们应该考虑到这样几个问题：首先，要求饲
养的山羊消耗的草量不超过草场的最大负荷，但又不使生长的草浪费，同时使山羊的出售利润达到最大。

在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求解以及依据山羊饲养的可行性方案来使农夫获益最大。

即求出最大利润情况下，所有山羊的数量(N)。

最大山羊数量（N）=母山羊数目（n）+留下羊羔数量（K）并通过最大收益时正常羊群数目反推原始饲养羊的数量。

通过对正常运营下模型的模拟，将前五年的羊群数目增长情况模拟出来。

4.2 据资料，畜牧业牲畜冬季多以干草为主要饲料。

又因为鲜草与干草的转换比
（根据8）为45%。

设干草与鲜草同质量下能量相同。

所以，要考虑夏季囤积的苜蓿草转化为干草后质量的减少。

以夏季为最优牧草生长季节，其生长的牧草除本季度作饲料外，剩余的以干鲜草比例45%留存未冬季饲料。

4.3 对于农夫，必须保留每年各子代中一定比例的母羊以保证后代繁殖与牧场的
经营。

由（1）（2）问的模型中确定的稳定后的牧场循环经营的羊群数量是保持性别比例和亲子代比例不变的。

故由上两个模型可以推算出各年的动态平衡中的母羊比例。

5.模型的建立及求解
当建立模型时，考虑草场的利用问题和山羊的繁殖问题。

所以，我们可建立一个循环模型，先计算出羊群出产与出售平衡时的的羊群每年数量，通过这个循环，反向推出起始时饲养羊的数量。

假设（平衡时）饲养n只母羊，为使每年的循环达到相同的平衡，应使每个年龄阶段的母羊数目相同，
那么：
n 年龄段：1~2岁。

数目：
4
n
2~3。

4
n
3~4。

4
4~5。

4
n
所以 1~2岁的母羊产羊数大约为：8.14⨯n 其中公羊：8.18⨯n ，母：8.18⨯n
2~3岁的母羊产羊数大约为：4.24⨯n 其中公羊：4.28⨯n ，母：4.28⨯n
3~4岁的母羊产羊数大约为：0.24⨯n 其中公羊：0.28⨯n ，母：0.28⨯n
4~5岁的母羊产羊数大约为：8.14⨯n 其中公羊：8.18⨯n ，母：8.18
⨯n
据此，每年产生母羔羊总数为：()n n
=+++⨯8.10.24.28.18。

○
1
公羔羊总数也为n
依据上文假设，留下4
n
的母羊作为繁育后代的母体
现在有大约n 只公羊羔和n 4
3
只母羊羔需要安排处理。

根据公羊的体重实际情况下大于母羊，收益较母羊高。

且一年后均以成羊计。

留下n 只公羊羔，仅对n 4
3
只母羊羔进行处理：
设在n 43
只母羊羔中留下K 只饲养
其余K n -43只出售（n K 430≤≤），那么：
所有饲养着的羊群的情况为： 公羊羔 母羊羔 1~2岁成羊 2~3岁成羊 3~4岁成羊 4~5岁成羊
n
K n +4
1
4n 4n 4n 4
n
各季节山羊消耗的草量为：
（春）1C =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯40.200.14590n n K 。

○
2
（夏）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=15.165.145902n n K C 。

○
3 （秋）35.1903⨯⨯=n C 。

○43 （冬）10.2904⨯⨯=n C 。

○
5 所以90)3125.1065.2(4321⨯+=+++=n K C C C C Z
而每季度原草场自身的产草量为（注：由假设7，已知每平方米种植苜蓿草36株。

） ：
（春）X M 311090363-⨯⨯⨯= （夏）X M 321090367-⨯⨯⨯= （秋）X M 331090364-⨯⨯⨯= （冬）04=M
已知牧场平衡后，山羊种群数量为：成羊n 只，羊羔2n 只。

故：我们列出理论所需草量
春：4.4n 。

夏：4.45n 。

共计：12.3n 秋：1.35n 。

冬：2.1n 。

以牧草的年消耗率和各季度的消耗率的比率关系年度总消耗量
各季度牧草消耗量
，分配理论
上的牧草生长量：
计算后得：
春 夏 秋 冬 分配的所需草量 5 5 1.5 2.4 各季度自然产草
量
3
7
4
所以，由表可知，春冬两季度，牧场草量不足，需要夏秋的干草补充。

由假设8知，干湿草转化比率为45%
故，夏秋两季剩余草量转化后作为秋冬两季的补充草量：
()1
1443322%45M C M C C M C M -+-=⨯-+-X
n n K n n X n n K X 333103634.21)4
5
(1.2%4535.11043615.165.14510736---⨯⨯-+⨯++=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-⨯⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯
0.2862X —1.7425K —7.803125n=0
8031
.77425.12862.0K
X n -=−→−。

○
9
再以此考虑农夫收益：
设P 为农夫的收益（山羊的总重量）
则：504144365⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=P K n K n n （n K 430≤≤）。

○10 =K n 3688+⨯
代入○9
=88K K
X 368031
.77425.12862.0+-⨯
=16.3488K+3.2276X 043
>n 。

○
11
时，当n 4
3
K =∴农夫的收益最高
此时由○
9○11得： n=0.0314X 所以平衡时饲养山羊总数
量
季
节
比
率
N=X X n n n n K n 0942.00314.034
3
4941=⨯=+=++
+
接下来反推回初始饲养羊的数量
假设农夫初始时购买了a 只羊羔。

由于夏季的产草量最大，若在满足夏季产草量的前提下养羊，秋冬季饲料必会不足。

秋冬季饲料不足，且在不考虑夏季其已囤积饲料，所以秋冬季亦不适合开始饲养。

所以春季是最适合开始饲养的季节。

由于春季的饲养不会加大后三个季度的草场承载力。

所以，选择从春季开始养羊，并在未进入正常经营的头五年中模拟五年后的循环模式，在第五年与正常模式接轨。

（见下树形图）
按照这种模式的发展：
当达到五年内的某一年，设为q 年时（50≤≤q ） 母羊只数大于正常值的n 只。

此时
选出各年龄段优秀母羊4
n
只，并且模拟正常循环：
1~2岁
4n 2~3岁 4n 3~4岁 4n 4~5岁 4
n
从当年底开始卖出超过规定数量n 的那部分的母羊，即当数量>n 时，出售大于的部分。

同时设模拟的部分羊群，产仔量不变，都为已知的第q 年的产仔量（见问题重述*表2）。

所以：
最终得出初始值是饲养山羊数目为：a=
n 14
5
=0.0112X 循环稳定以后的最大利润时山羊数目为：n=0.0942X
在第一个模型建立的基础上，我们从循环模型中分离出牧草的生长与羊群关系的一部分。

考虑冬夏季出售和母羊生产的时间均定在秋季，所以冬季的种群数量维持不变。

所以可列等式：
冬季需草量： n n 189
1.290=⨯⨯
代入n=0.0942X
所需草量=5.9346X
夏季能提供草量：()()[]X
X n n C M 9346.5547.4%459015.165.129010736%
45322<=⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=⨯--
所以易知，光夏季的草量提供还是不足的，因此还需秋季草量的供应。

所以，可先得出夏季剩余草量必须全部提供给冬季，质量为4.547X 。

（夏季不足部分由秋季补充，秋季可提供量为：
()()X
X X n C M 115.4%458151.396.12%45)9035.19010364(%
45333=⨯-=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯--）
在开始经营的五年到正常循环期间，羊群的数据在不断发生变化，直到5年后稳定。

稳定后的羊群各部分数量为：
成年母羊为：n 成年公羊为：0 羊羔为：2n （公母比例为1：1）
所以可以判断，保留母山羊的比例为：
3
1 6. 模型的检验与分析
6.1结果表示
对于模型建立的最终结果表示为：
1.农夫初始应该饲养的0.0112X 只羊；
2.夏季的储存量为4.547X 千克；
3.保留的母山羊比例为3
1。

6.2模型分析
羊群自由增长五年数量（不出售羊）：
牧场山羊的数量理论上在前五年呈上升趋势，但并非数量增加就是收益增高，我
们必须考虑牧场的承载能力，所以由我们在前所建立的模型可知，当羊群中母羊数量在第4年达到n=0.04379X 时，超过n=0.0314X 时。

我们从第4年开始模拟进入正常循环，即开始出售山羊。

（模拟方式：
当达到五年内的某一年，设为q 年时（50≤≤q ）
母羊只数大于正常值的n 只。

此时
选出成羊各年龄段优良母羊4
n
只，并且模拟正常循环，
使以下成立：
1~2岁 4n 2~3岁 4n 3~4岁 4n 4~5岁 4
n
从当年底开始卖出数量>n 部分的羊。

同时设模拟的部分羊群，产仔量不变，都为已知的第q 年的产仔量（见问题重述*表2）。

）
所以，我们可以得出模拟后的结果为：
向正常方向接轨。

为直观表示，由下折线图可知启用循环前后对比：
因此，基于对所假设的条件，我们所建立的模型对于实际还是比较有参考价值的。

对于我们所得求解结果，应为最适合的饲养情况。

7.模型评价与推广
本文以草场与山羊养殖的动态平衡为标准，建立了一个循环运作的模型，现在对上述模型进行评价。

7.1 模型优点在于：
●首先我们认为，对于我们所建立的模型，其优点在于直接以正常运行下的牧
场为目标求解，从而免去了从起始状态计算时所要求的很多不定量。

再以稳定的数目反推起始量，从而将未知量的数目降低到最少。

达到了以简便的方法求解的目的，省去了不必要的未知量求解过程。

●其次，我们考虑到的不仅是最适的养殖数目，同时是利益最大量时的养殖数
目，所以能达到比较实际的利用价值。

●最后，我们将每年草的生长量充分利用，但保留了草的最低繁殖量，即没有
全部吃尽，不存在过度放牧问题。

7.2模型不足在于：
●应为畜牧业的养殖，牲畜的死亡率往往是比较大的一个问题，而我们的模型
建立在假设不考虑死亡率的请提下。

在此，我们引进死亡率这个概念
设山羊不同季节的死亡率不同：
秋季⎩⎨⎧（羊羔）成羊11)(l k ，冬季⎩⎨⎧)(l )(k 22羊羔成羊，春季⎩⎨⎧)
(l )(k 33羊羔成羊，夏季⎩⎨⎧)(l )(k 44羊羔成羊
因为山羊从秋季开始生育，所以把本年秋季到次年秋季设为一个循环： 则每个季节依次养殖所剩的成羊个数为：∏=-4
1)1(i i k n
每个季节依次养殖所剩的羊羔个数为：2∏=-4
1)1(i i k n
所以在牧场自给的情况下，还是需要外部力量维持的；
● 关于牧场的产草量和羊的消耗草量，天气也有影响；
● 我们假设羊只分为羊羔与成羊，实际上羊多在5到6个月性成熟，成羊之间
年龄与体重还是有一定差别的；
● 关于我国的草场情况，过度放牧比较严重：
据农业部监测，2009年全国草原牲畜超载率为31.2%，这与经国务院批准的《全国草原保护建设利用总体规划》中提出的2010年天然
草原家畜超载率下降到25%的目标相差甚远。

从重点草原区看，2009年西藏草原牲畜超载39%、内蒙古25%、新疆35%、青海26%、四川和甘肃为38%【1】； ● 预备草量的存储对于牧草量的影响； ● 国家相关帮扶政策对收益的影响等。

7.3 模型的推广
对于我们的结论，有理想化部分影响，但鉴于我国目前的草场的放牧
程度和沙化程度，只有部分地方可以实施。

但对于我们的模型，对于循环结构的运用，只要改动草量等数据，就可以推导出当地的适宜饲养山羊数目。

所以我们认为我们所建立的模型是比较切合实际的，运用此模型，可
以推广到其他畜牧业的养殖问题上，有助于解决不同地理环境情况下牲畜的最适饲养量和最优收益问题。

在不同情况下的模型套用，应该就当地历年的数据进行模拟，以得到
不同的适合当地的各种新的系数（如死亡系数等）。

以此使模型更广泛的得以利用。

8.参考文献
[1] 刘加文.《牧民增收增效是维护草原生态安全的重要保证》，/Grassland-new/Default.aspx（中国草原网）
9.附录
附录1
表格1 参试羊只不同年龄段体重、体尺测定结果。

（单位：Kg、cm）
注：表中MM代表城口板角山羊，BM代表波×本杂交一代羊。

附录2
目录
摘要： (1)
1.问题重述 (2)
2.模型假设 (2)
3.符号说明 (3)
4.问题分析 (4)
5.模型的建立及求解 (4)
6.模型的检验与分析 (10)
7.模型评价与推广 (12)
8.参考文献 (14)
9.附录 (14)。