江苏省南京市2018年高二数学 暑假作业(29)椭圆

高二暑假作业(29)椭 圆
考点要求
1． 掌握椭圆的定义､标准方程和椭圆的简单几何性质； 2． 了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合思想． 考点梳理
1． 椭圆的概念
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________． (2) 集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数； ① 若________，则P 点的轨迹是椭圆； ② 若________，则P 点的轨迹是线段； ③ 若________，则P 点不存在． 2． 椭圆的标准方程和几何性质
1． 椭圆x 29＋y 2
16
＝1的离心率是______________．
2．已知椭圆的焦点为F 1(－1，0)和F 2(1，0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程为______________．
3． 设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
9＝1的左､右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边
三角形，则a 2
＝____________．
4． 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左､右顶点分别是A ，B ，左､右焦点分别是F 1，F 2．若
AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为____________．
5． 已知AB 是过椭圆4x 29
＋y 2
＝1左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的
右焦点，则弦AB 的长是____________．
6． 平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左､右焦点，已知
点P (a ，b )，又△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率为______________．
7． 设F 1，F 2为椭圆x 24
＋y 2＝1的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，PF 1→·PF 2
→
的值为______________．
8． 设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左､右焦点分别是F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得
∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围为____________．
9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C ，D 的坐标分别是(－2，0)､(2，0)，则PC ·PD 的最大值为____________．
10． 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 离心率为2
2
，准线方程为x ＝±8；
(2) 长轴与短轴之和为20，焦距为45．
11． 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 在椭圆上，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形
的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1|
|PF 2|
的值．
12．已知椭圆x 2a ＋y 2b
＝1(a ＞b ＞0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2
，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，
切点分别为A ，B ．
(1) 若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，求椭圆离心率e 的取值范围；
(2) 设直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N ，求证：a 2ON 2＋b 2
OM
2为定值．
第29课时 椭 圆
1． 74 2． x 24＋y 23＝1 3． 12 4． 55 5． 2 6． 12
7． 0 提示：利用焦点三角形的面积求出∠F 1PF 2＝90°．
8． (2
2
,1)
9． 4 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)，c 2＝a 2－b 2
．由正方形的对角线
性质可得b ＝c ．又该正方形面积为4，则4×12
×b 2
＝4，所以b ＝c ＝2，则C ，D 即为椭圆
的焦点，所以PC ·PD ≤(PC ＋PD )24＝4a 2
4＝4×(2＋2)
4
＝4．
10． 解：(1) 由准线方程为x ＝±8，可知椭圆的焦点在x 轴上，
设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22
，a
2c
＝8.解得a ＝42，c ＝4．
所以b 2＝a 2－c 2
＝32－16＝16，因此，所求椭圆的方程为x 232＋y 2
16
＝1．
(2) 当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意，得⎩⎨⎧2a ＋2b ＝20，2c ＝45，
即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10，
a 2－
b 2＝20．解得a ＝6，b ＝4，所以焦点在x 轴上的椭圆
方程为x 236＋y 216
＝1.同理可求当焦点在y 轴上的椭圆方程为x 216＋y 2
36
＝1．
因此，所求的椭圆的方程为
x
2
36＋y
2
16＝1和x
2
16＋y
2
36
＝1． 11． 解：① 若PF 1⊥F 1F 2，则P (5,43)，F 1(－5，0)，∴ |PF 1|＝143，|PF 2|＝43．故
|PF 1|
|PF 2|
＝7
2
． ② 若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2
＝20，
同时|PF 1|＋|PF 2|＝6，∴ |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴ |PF 1|
|PF 2|
＝2．
12． (1) 解：由∠APB ＝90°及圆的性质，可得四边形OAPB 为正方形，
∴ OP ＝2b ，∴ OP 2＝2b 2≤a 2，∴ a 2≤2c 2，∴ e 2
≥12，∴ 22≤e ＜1．
(2) 证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 0－y 1x 0－x 1＝－x 1y 1
，整理得x 0x 1＋y 0y 1＝x 2
1
＋y 21．∵ x 21＋y 21＝b 2，∴ 直线PA 方程为x 1x ＋y 1y ＝b 2，同理，直线PB 方程为x 2x ＋y 2y ＝b 2．
∵ 点P (x 0，y 0)同时在直线PA 和PB 上，∴ x 1x 0＋y 1y 0＝b 2且x 2x 0＋y 2y 0＝b 2
．
∴ 直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝b 2
．
令x ＝0，得ON ＝|y |＝b 2|y 0|.令y ＝0，得OM ＝|x |＝b 2
|x 0|．
∴ a 2ON 2＋b 2OM 2＝a 2y 20＋b 2x 2
b 4＝a 2b 2b 4＝a 2b
2，
∴ a 2ON 2＋b 2OM 2为定值，该定值是a 2
b
2．。