┃试卷合集4套┃2020合肥市名校中考第一次模拟数学试题

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）
A．k≤4
3
且k≠1B．k≤
4
3
C．k＜
4
3
且k≠1D．k＜
4
3
2．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝
2，则下外说法正确的是（）
A.AB＝AE
B.AB＝2AE
C.3∠A＝2∠C
D.5∠A＝3∠C
3．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（）
A．10B．5C．22D．3
4．向一个半径为2的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方形中的概率是（）.
A．
2
2
B．
2
π
C．
2
π
D．
2
π
5．下列关系式中，y不是自变量x的函数的是（）
A．y＝x B．y＝x2C．y＝|x| D．y2＝x
6．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为( )
A．60°B．120°C．72°D．108°
7．已知AB是圆O的直径，AC是弦，若AB＝4，AC＝3，则sin∠C等于（）
A ．
32
B ．
12
C ．
33
D ．
23
3
8．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上DE ∥BC ，点B 、C 、F 在一条直线上，若∠ACF ＝140°，∠ADE ＝105°，则∠A 的大小为（ ）
A ．75°
B ．50°
C ．35°
D ．30°
9．2016年西峡香菇年出口值达到4380000000亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中数学4380000000用科学记数法表示为( ) A ．743810⨯ B ．84.3810⨯ C ．94.3810⨯
D ．104.3810⨯
10．1纳米=10－9
米，将50纳米用科学记数法表示为（ ） A ．50×10－9 米
B ．5×10－9 米
C ．0.5×10－9 米
D ．5×10－8米
11．如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
12．如图，在二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③
02a b c
a b
++<-；④b 2＝4a(c ﹣1)；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝3无实数根，共
中信息错误的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．若正方形的面积是9，则它的对角线长是_____． 14．4与9的比例中项是_____．
15．请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为________只、树为________棵.
16．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为_____．
17．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑、白两种除颜色外完全相同的小球，在看不到球的前提下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回去，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 400 500
600 摸到白球的次数m 69 139 213 279 351 420 摸到白球的频率
m n
0.69
0.69
0.71
0.698
0.702
0.70
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率为_____．（结果精确到0.1）
18．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y 1＝kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2＝
c x
（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是_____．
三、解答题 19．（1）计算-32+（15）-1-38-×01()8+2cos45°×tan60°；（2）已知a ，b 为实数，试比较2a b 3
+与
a 2b
3
+的大小． 20．已知△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，连接BD 、EC ，点M 、N 分别为BD 、EC 的中点．
（1）当点E 在AB 上，且点C 和点D 重合时，如图（1），MN 与EC 的位置关系是 ； （2）当点E 、D 分别在AB 、AC 上，且点C 与点D 不重合时，如图（2）．求证：MN ⊥EC ；
（3）在（2）的条件下，将Rt △AED 绕点A 逆时针旋转，使点D 落在AB 上，如图（3），则MN 与EC 的位置关系还成立吗？请说明理由．
21．（1）2
2019
11
32|2sin602-︒⎛⎫
-+-- ⎪⎝⎭
（2）化简：22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
，并从0≤x＜5中选取合适的整数代入求值． 22．在平面直角坐标系中，对于点P （a ，b ），若点P′的坐标为（b
a k
+，ka b +）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．
（1）点P （﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;
（2）若a 、b 为正整数，点P 的“k 关联点”P′的坐标为（3，9），请直接．．写出k 的值及点P 的坐标； （3）如图，点Q 的坐标为（0，2 ），点A 在函数82
(0)y x x
=-<的图象上运动，且点A 是点B 的“﹣2关联点”，求线段BQ 的最小值．
23．如图，MN 是一条东西走向的海岸线，上午9：00点一艘船从海岸线上港口A 处沿北偏东30°方向航行，上午11：00点抵达B 点，然后向南偏东75°方向航行，一段时间后，抵达位于港口A 的北偏东60°方向上的C 处，船在航行中的速度均为30海里/时，求此时船距海岸线的距离．
24．计算：0
2
1(2019)12()2
π---+-
25．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知线段a 和∠α，求作：等腰△ABC ，使得顶角∠A ＝∠α，a 为底边上的高线．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D D B C C D B
C
13．2 14．±6 15．5 16．
17．70
18．﹣3＜x ＜0或x ＞2．
三、解答题
19．（1）2-；（2）2233
a b a b
++<. 【解析】 【分析】
（1）根据负整数指数幂、0指数幂、平方、立方的意义及特殊角的三角函数值，先计算32
、（
15
）-1
、
18⎛⎫ ⎪⎝⎭
、cos45°、tan60°的值，再按实数的运算法则进行计算即可；
（2）先计算两个整式的差，再分类讨论得结果． 【详解】
解：（1）原式=-9+5-（-2
； （2）∵2a b 3+-a 2b
3
+
=2a b a 2b 3+--
=
a b
3
- 当a ＞b 时，a-b ＞0， 所以a b
3
-＞0 即
2a b 3+＞a 2b
3+； 当a=b 时，a-b=0， 所以a b
3
-=0 即
2a b 3+=a 2b
3+； 当a ＜b 时，a-b ＜0， 所以a b
3
-＜0 即
2a b 3+＜a 2b
3
+． 【点睛】
本题主要考查了实数运算和整式大小的比较，掌握0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值及整式比较大小的方法是解决本题的关键． 20．（1）MN ⊥EC （2）证明见解析（3）成立 【解析】 【分析】
（1）根据三角形的中位线，可得答案；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EM ＝
12BD ，CM ＝1
2
BD ，根据等腰三角形的三
线合一，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠EDA ＝∠DAC ＝45°，根据平行线的判定与性质，可得∠DEN ＝∠GCN ，根据全等三角形的判定与性质，可得DN 与GN 的关系，根据三角形的中位线，可得MN 与BG 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得∠ECA 与∠GBC 的关系，根据余角的性质，可得∠GBC 与∠BCE 的关系，垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线． 【详解】
解：（1）∵∠AED ＝∠DEB ＝∠ACB ＝90°,M、N 分别为BD 、EC 的中点． ∴∠CNM=90°， ∴MN ⊥EC ；
（2）证明：连接EM 、CM ．
，
∵∠AED ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BED ＝90°． ∵M 是BD 的中点， ∴EM ＝
12BD ，CM ＝1
2
BD ， ∴EM ＝CM ． ∵N 是EC 的中点， ∴MN ⊥EC ；
（3）成立，理由如下：
连接DN 并延长交AC 于G ，连接BG ．
，
∵∠EDA ＝∠DAC ＝45°， ∴ED ∥AC ， ∴∠DEN ＝∠GCN ． ∵N 是EC 的中点， ∴EN ＝CN ．
在△EDN 和△CGN 中，
DEN GCN EN CN DNE GNC ∠=∠⎧⎪
=⎨
⎪∠=∠⎩
， ∴△EDN ≌△CGN （ASA ）， ∴DN ＝GN ． ∵M 是BD 的中点，
∴MN 是△GDB 的中位线， ∴MN ∥BG ．
在△ACE 和△CBG 中，
AC CB EAC GCB AE CG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△CBG （SAS ）， ∴∠ECA ＝∠GBC ． ∵∠ECA+∠BCE ＝90°， ∴∠GBC+∠BCE ＝90°， ∴BG ⊥EC ，即MN ⊥EC ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，（1）利用了三角形的中位线定理，（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，（3）利用了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，余角的性质，垂线的判定．
21．（1）1；（2）1. 【解析】 【分析】
(1)按顺序先分别进行乘方的运算、负整数指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；
(2)括号内先进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算，化简后再从0≤x＜5中选取使分式有意义的整数值代入进行计算即可． 【详解】
(1)2
2019
11
2|2sin 602-⎛⎫
-+--︒ ⎪⎝⎭
＝﹣
2
﹣2×
2
＝﹣
2
﹣＝1；
(2)22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
＝()()221242x x x
x x x x ⎡⎤+--⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
g ＝()()()()
2
221·42x x x x x
x x x +----- ＝
()
2
1
2x -，
从0≤x＜5可取x ＝1， 此时原式＝()
2
1
12-＝1．
【点睛】
(1)本题考查了实数的运算，熟悉乘方、负整数指数幂、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
(2)本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 22．（1）(-1,-2)； （2）3k =， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ 的最小值为23
3
【解析】 【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P （-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可； （2）根据题中的新定义求出a 与b 的关系式即可； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），从而表示出点A 的坐标（2
-2m+n ），由点A 在函数
820)y x =<的图象上可得到m 、n 之间的关系2m ．然后将BQ 2
用m 的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ 最小值． 【详解】 （1）∵x=-3+
4
2
=-1，y=2×（-3）+4=-2， ∴P′（-1，-2）；
（2）设P （a ，b ），则P′（b
a k
+
，ka+b ） ∴39
b a k ka b ⎧
+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3， ∴3a+b=9． ∵a 、b 为正整数
∴P′（1，6）、（2，3）； （3）设点B 的坐标为（m ，n ）， ∵点A 是点B 2关联点”， ∴点A 的坐标为（2
-2m+n ），
∵点A 在函数2
(0)y x x
=-<的图象上， ∴（2
-2m+n ）2，且2
-＜0．
整理得：（2
-）2
=8．
∵2-＜0，
∴2
-2
∴2m ．
∴点B 的坐标为（m ，2m ）．
过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示．
∵点Q的坐标为（0，2），
∴QH2=（2-4-2m）2=（2+2m）2，BH2=m2．∴BQ2=BH2+QH2
=m2+（2+2m）2
=3m2+42m+4
=3（m+2
2
3
）2+
4
3
∵3＞0，
∴当m=-2
2
3
时，BQ2最小，即BQ2 =
4
3
．
∴BQ=23
3
．
【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．
23．此时船距海岸线的距离为（153+15）海里
【解析】
【分析】
过B作BE⊥AC于E，解Rt△ABE，求出BE＝1
2
AB＝30海里，AE＝3BE＝303海里．再解Rt△CBE，
由∠EBC＝75°﹣（60°﹣30°）＝45°，得出CE＝BE＝30海里，那么AC＝AE+CE＝（303+30）海
里．过C作CF⊥MN于F，得出CF＝1
2
AC＝（153+15）海里．
【详解】
解：如图，过B作BE⊥AC于E，
∵∠GAB＝30°，∠GAC＝60°，
∴∠BAE＝30°．
在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝30×2＝60（海里），∠BAE＝30°，
∴BE＝1
2
AB＝30海里，AE＝3BE＝303海里．
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∠EBC＝75°﹣（60°﹣30°）＝45°，∴CE＝BE＝30海里，
∴AC＝AE+CE＝（303+30）海里．
过C作CF⊥MN于F，
∵∠CAF＝90°﹣∠GAC＝30°，
∴CF＝1
2
AC＝（153+15）海里．
答：此时船距海岸线的距离为（153+15）海里．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
24．5-23
【解析】
【分析】
运用负指数幂、零次方以及二次根式的化简的知识进行化简，然后计算即可.
【详解】
解：原式=1-23+4=5-23．
【点睛】
本题考查了负指数幂、零次方以及二次根式的化简，其解题关键在于运用相关知识对原式进行化简. 25．见解析
【解析】
【分析】
先作∠MAN＝∠α，在作∠MON的平分线AP，在AP上截取AD＝a，然后过点D作AP的垂线分别交AM、AN 于B、C，则△ABC为所作．
【详解】
解：如图，△ABC为所作．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定定理．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A.此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5
B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D.篮球出手时离地面的高度是2m
2．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n 个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a 和b ，若a+b ＝103，则a b
的值是( )
A.619
B.837
C.1093
D.1291
3．在一次学校组织的期末考试中，为了了解初二学生的数学水平，随机抽取了部分学生的数学成绩，并计算了他们的样本方差S 2＝160
[（95﹣70）2+（67﹣70）2+……+（92﹣70）2]，请问这次抽取了多少名学生，这些学生的平均成绩是多少？（ ） A ．60，60 B ．70，70
C ．60，70
D ．70，60 4．下列图案均是用相同的小正方形按一定的规律拼成：拼第1个图案需1个小正方形，拼第2个图案3个小正方形，…．，依此规律，拼第6个图案需小正方形（ ）个．
A.15
B.21
C.24
D.12
5．下列运算正确的是（ ）
A ．5210()a a -=
B ．6262144a a a a
-÷⋅=-
C ．32264()a b a b -=
D ．23a a a -+=- 6．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）
2006×82006的结果是（ ） A ．3 B ．3 +1 C ．3 +2
D ．0 7．下列判断正确的是( )
A ．“打开电视机，正在播NBA 篮球赛”是必然事件
B ．“掷一枚硬币正面朝上的概率是12
”表示毎抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 C ．一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5
D ．甲组数据的方差2S 0.24=甲，乙组数据的方差2S 0.03乙=，则乙组数据比甲组数据稳定
8．下列四个函数中，自变量的取值范围为x ≥1的是（ ）
A ．1y x =
- B ．11y x =- C ．1y x =- D ．11y x =- 9．估计
的值在（ ） A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
10．直线y ＝﹣2x+5分别与x 轴，y 轴交于点C 、D ，与反比例函数y ＝3x
的图象交于点A 、B ．过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，连结EF ；下列结论：①AD ＝BC ；②EF ∥AB ；③四边形AEFC 是平行四边形；④S △EOF ：S △DOC ＝3：5．其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．在4, 5, 6, 6, 9这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差减小，则去掉的数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 12．下列式子中，计算正确的是（ ） A ．224x x x +＝
B ．()222a b a b －＝－
C ．()326a a -＝-
D ．3412x x x ⋅=
二、填空题
13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ＝5，D 是AB 的中点，则外接圆的直径R ＝_____．
14．如图，OABC Y 的顶点,,O A C 的坐标分别是(0,0)，(4,0)，(2,3)，则点B 的坐标为_______；
15．把多项式33327a b ab -分解因式的结果是_____．
16．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是( )
A ．5cm
B ．6cm
C ．485cm
D ．245
cm ； 17．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____．
18．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．
三、解答题
19．已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，F 为AC 的中点．⊙O 是以AF 为直径的圆，交AB 于点D ，交BF 于点 E ．
（1）过E 点作⊙O 的切线，并标出它与BD 的交点M （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接ME ，求证：ME 是线段BD 的垂直平分线．
20．先化简，再求值：211(1)224
m m m -+÷-- ，其中m ＝3﹣2． 21．如图，在7×7的方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，请按要求找出D 点，使得D 点在格点上．
（1）在图甲中画一个∠ADC ，使得∠ABC ＝∠ADC ．
（2）在图乙中画一个三角形ADC ，使得△ADC 的面积等于△ABC 面积的2倍．
22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DE ，交AB 于点F ．
（1）求证：DH 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为4，
①当AE ＝FE 时，求»AD 的长（结果保留π）；
②当
6
sin
4
B=时，求线段AF的长．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：△CAB∽△CDE；
（3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，直径AB的长为x，若∠ABC＝30°，S1、S2满足S1+S2＝283，试求x的值．
24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数
2m
y
x
=（m≠0）的图象交于点A（﹣1，6），B （a，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式m
kx b
x
≥+的解集．
25．若A、B代表两个多项式，并且2A+B＝2x2﹣3x+1，A+2B＝x2﹣1．（1）求多项式A和B；
（2）当m为何值时，以x为未知数的方程A+mB＝0有两个相等的实数根？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B C C D A B C A C
13．10
14．(6,3)
15．3ab（a+3b）（a﹣3b）．
16．D
17．2：3．
18．16
三、解答题
19．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OE，过点E作MN⊥OE交AB于M，交AC于N；
（2）先证明OE∥AB得到EM⊥BD，再证明△BDE为等边三角形，从而得到ME是线段BD的垂直平分线．【详解】
解：（1）如图，ME为所作；
（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵F为AC的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠AFB＝∠ABF＝60°，
而OF＝OE，
∴△OEF为等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
∴∠EOF＝∠A，
∴OE∥AB，
而OE⊥ME，
∴AB⊥EM，
∵∠BDE＝∠AFE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴ME是线段BD的垂直平分线．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．
2031.
【解析】
【分析】
m=代入化简结果即可.
先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把32
【详解】
原式=21(1)(1)222(2)m m m m m m -+-⎛⎫+÷
⎪---⎝⎭= 12(2)·2(1)(1)m m m m m ---+-= 21m + 当32m =-时，原式=2(31)31(32)131(31)(31)
+===+-+--+ 【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则和运算顺序是解答此题的关键.
21．（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用网格即可得出符合∠ABC ＝∠ADC 的答案；
（2）利用三角形面积求法得出答案．
【详解】
（1）如图甲所示：∠ABC ＝∠ADC ；
（2）如图乙所示：△ADC 的面积等于△ABC 面积的2倍．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．
22．（1）详见解析；（2）①
85π；②43
【解析】
【分析】
（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB ＝∠OBD ＝∠ACB ，则DH ⊥OD ，DH 是圆O 的切线；
（2）①根据等腰三角形的性质的∠EAF ＝∠EAF ，设∠B ＝∠C ＝α，得到∠EAF ＝∠EFA ＝2α，根据三角形的内角和得到∠B ＝36°，求得∠AOD ＝72°，根据弧长公式即可得到结论；
②连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，解直角三角形得到AD ＝6性质得到AH ＝3，于是得到结论．
【详解】
证明：（1）连接OD ，如图1，
∵OB ＝OD ，
∴△ODB 是等腰三角形，
∠OBD ＝∠ODB ①，
在△ABC 中，∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ②，
由①②得：∠ODB ＝∠OBD ＝∠ACB ，
∴OD ∥AC ，
∵DH ⊥AC ，
∴DH ⊥OD ，
∴DH 是圆O 的切线；
（2）①∵AE ＝EF ，
∴∠EAF ＝∠EAF ，
设∠B ＝∠C ＝α，
∴∠EAF ＝∠EFA ＝2α，
∵∠E ＝∠B ＝α，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B ＝36°，
∴∠AOD ＝72°，
∴¶AD 的长＝
72481805ππ⋅⨯=； ②连接AD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
∵⊙O 的半径为4，
∴AB ＝AC ＝8，
∵sin 4B =
，
∴8AD =，
∴AD ＝
∵AD ⊥BC ，DH ⊥AC ，
∴△ADH ∽△ACD ， ∴AH AD AD AC
=，
8=， ∴AH ＝3，
∴CH ＝5，
∵∠B ＝∠C ，∠E ＝∠B ，
∴∠E ＝∠C ，
∴DE ＝DC ，∵DH ⊥AC ，
∴EH ＝CH ＝5，
∴AE ＝2，
∵OD ∥AC ，
∴∠EAF ＝∠FOD ，∠E ＝∠FDO ，
∴△AEF ∽△ODF ， ∴
AF AE OF OD =， ∴AF 24AF 4
=-，
∴AF
＝43
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）x ＝8．．
【解析】
【分析】
（1）因为AB ＝AC ，欲证明BD ＝DC ，只要证明AD ⊥BC 即可．
（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．
（3）分别用x 表示S 1、S 2，列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴AD ⊥BC ，
∵AB ＝AC ，
∴BD ＝CD ．
（2）∵AB ∥CE ，
∴∠2＝∠1，
∵AB ＝AC ，
∴∠1＝∠3，
∵BE 是⊙O 切线，
∴∠ABE ＝90°，
∵AB ∥CE ，
∴∠BEC+∠ABE ＝90°，
∴∠BEC ＝90°，
∵BD ＝DC ，
∴DE ＝DB ＝DC ，
∴∠2＝∠4，
∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，
∴△CAB ∽△CDE ．
（3）∵S 1＝21133x x 22⋅=． ∵△CAB ∽△CDE ， ∴2124(33S S x ==,
∴S 2＝233x ， 由题意：
22333283416x x +=, ∴x ＝±8，
∵x ＞0，
∴x ＝8．
【点睛】
本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题目，难度不大，是中考常考题型．
24．（1）y 1＝﹣2x+4，26y x =-
；（2）x≥3或﹣1≤x＜0． 【解析】
【分析】
（1）把点A 坐标代入反比例函数求出k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，得到点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）找出直线在一次函数图形的下方部分图象的自变量x 的取值即可．
【详解】
解：（1）把点A （﹣1，6）代入反比例函数2m y x =
（m≠0）得： m ＝﹣1×6＝﹣6，
∴26y x
=-． 将B （a ，﹣2）代入26y x =-
得：62a --=， 解得a ＝3，
∴B （3，﹣2），
将A （﹣1，6），B （3，﹣2）代入一次函数y 1＝kx+b 得：k b 63k b 2
-+=⎧⎨+=-⎩， k 2b 4
=-⎧∴⎨=⎩， ∴y 1＝﹣2x+4．
（2）由函数图象可得：不等式
m kx b x
≥+的解集x≥3或﹣1≤x＜0． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先
把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式．
25．（1）A＝x2﹣2x+1，B＝x﹣1；（2）m＝0.
【解析】
【分析】
（1）先把两式相加可得到A+B=x2-x，然后利用加减法可求出A、B；
（2）根据题意得到方程x2+（m-2）x+1-m=0，再根据判别式的意义得到△=（m-2）2-4（1-m）=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：（1）2A+B＝2x2﹣3x+1①，A+2B＝x2﹣1②，
①+②得3A+3B＝3x2﹣3x，则A+B＝x2﹣x③，
①﹣③得A＝x2﹣2x+1，
②﹣③得B＝x﹣1；
（2）根据题意得x2﹣2x+1+m（x﹣1）＝0，
整理为x2+（m﹣2）x+1﹣m＝0，
△＝（m﹣2）2﹣4（1﹣m）＝0，
解得m＝0，
即当m为0时，以x为未知数的方程A+mB＝0有两个相等的实数根．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，AD 是∆ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，ABC S 7=n ，DE=2，AB=4，则AC 的长是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
2．利用计算器求值时，小明将按键顺序为
的显示结果为a ，
的显示结果为b ，则a 与b 的乘积为（ ） A.﹣16 B.16 C.﹣9 D.9
3．2019年3月5日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业13610000、调查失业率稳定在5%左右的较低水平，数字13610000科学记数法表示为（ ）
A ．1.361×104
B ．1.361×105
C ．1.361×106
D ．1.361×107
4．如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA ＝4，OB ＝3，点C 在边OA 上，AC ＝1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象经过圆心P ，则k 的值是（ ）
A.54
- B.53- C.52- D.﹣2 5．已知抛物线y ＝3x 2+1与直线y ＝4cosα•x 只有一个交点，则锐角α等于（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．15°
6．如图，DC 是以AB 为直径的半圆上的弦，DM ⊥CD 交AB 于点M ，CN ⊥CD 交AB 于点N ．AB=10，CD=6．则四边形DMNC 的面积（ ）
A ．等于24
B ．最小为24
C ．等于48
D ．最大为48
7．下列选项中，下边的平面图形能够折成旁边封闭的立体图形的是（ ）
A. B.
C. D.
8．一组数据2，3，8，6，x的唯一众数是x，其中x是不等式组
260
70
x
x
->
⎧
⎨
-<
⎩
的解，则这组数据的中位数
是（）
A．3 B．5 C．6 D．8
9．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为(3,0)
-，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C的圆心C的坐标是( )
A．
31
(,)
2
B．
31
(,)
2
-C．
31
(,)
2
-D．
31
(,)
2
--
10．下列各式：
①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣1
4
；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的
是（）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤11．如图所示的零件的俯视图是（）
A．B．
C．D．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为1
2
，
把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
二、填空题
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则外接圆的直径R＝_____．
14．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43AC =，4BC =，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把ADF ∆翻折到A DF '∆的位置，若线段A D '交AB 于点E ，且BA E '∆为直角三角形，则BF 的长为______．
15．如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC = ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.
16．已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为__________.
17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，以CD 为直径的半圆O 与AB 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
18．有四张不透明的卡片，正面分别写有:π，103
，-2，3 除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数的卡片的概率是_______.
三、解答题
19．已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 为BC 边上的动点（点E 不与点B 、C 重合），如图1所示，沿折痕AE 翻折得到△AEB ，设BE ＝m ．
（1）当E 、B′、D 在同一直线上时，求m 的值；
（2）如图2，点F 在CD 边上，沿EF 再次折叠纸片，使点C 的对应点C′在直线EB′上；
①求DF 的最小值；
②点C′能否落在边AD 上？若能，求出m 的值，若不能，试说明理由．
20．甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1，2，3后，放在一个不
透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加．若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜．
①请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；
②这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平．
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）不在原图添加字母和线段，对△ABC只加一个条件使得四边形AFBD是菱形，写出添加条件并说明理由.
22．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）求两辆车全部继续直行的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是（）
A．一辆车向左转，一辆车向右转 B．两辆车都向左转
C．两辆车行驶方向相同 D．两辆车行驶方向不同
23．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．
24．香菇上市时，外商李经理按市场价格10元/千克收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
25．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD，垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．
（1）求证：BF：DF＝1：3；
（2）若四边形EFDC的面积为11，求△CEF的面积．
【参考答案】***
一、选择题
13．10
14．6或
285 15．103
16．9
17．4π．
18．12
三、解答题
19．（1）2（2）①当m ＝5时，DF 的最小值为
116 ②不能 【解析】
【分析】
（1）由折叠可知，∠BEA ＝∠B′EA，又因为矩形ABCD 中BC ∥AD ，所以∠BEA ＝∠EAD ，所以∠B′EA＝∠EAD ，所以ED ＝AD ＝10，因为CD ＝AB ＝6，根据勾股定理求得CE ＝8，所以BE ＝BC ﹣CE ＝2；
（2）①根据两次折叠可求证得∠AEF ＝90°，从而证得△ABE ∽△ECF ，于是AB EC BE CF
= ，所以 610m m CF -=，CF ＝1(10)6m m -，从而可求出DF=2111(5)66
m -+ ，所以当m ＝5时，DF 的最小值为116
； ②若点C′落在边AD 上，分别表示各边的长，根据勾股定理得：62+（10﹣2m ）2＝（10﹣m ）2，方程无实数解，所以点C′不能落在边AD 上．
【详解】
解：（1）如图1，由折叠可知，∠BEA ＝∠B′EA，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC ∥AD ，
∴∠BEA ＝∠EAD ，
∴∠B′EA＝∠EAD ，
∴ED ＝AD ＝10，
∵CD ＝AB ＝6，
根据勾股定理得：CE ＝8，
∴BE ＝BC ﹣CE ＝2，即m ＝2；
（2）①如图2，由折叠得：∠AEB ＝∠AEB'，∠CEF ＝∠C'EF ，
∴∠AEF＝1
2
∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠AEB＝∠CFE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB EC BE CF
=，
∴610m
m CF
-
=，CF＝
1
(10)
6
m m
-，
DF＝6-1
(10)
6
m m
-＝2
111
(5)
66
m-+．
所以当m＝5时，DF的最小值为11 6
；
②不能．理由是：
若点C′落在边AD上，由（1）知A C′＝E C′，
根据折叠可知：BE＝B′E＝m，E C′＝EC＝10﹣m，所以A C′＝10﹣m，B′C′＝E C′﹣B′E＝10﹣m ﹣m＝10﹣2m，AB′＝6，
在Rt△A B′C′中，根据勾股定理得：62+（10﹣2m）2＝（10﹣m）2．
化简得：36+100﹣40m+4m2＝100﹣20m+m2，3m2﹣20m+36＝0，b2﹣4ac＝400﹣432＝﹣32＜0，
所以原方程没有实数解，
所以点C′不能落在边AD上．
【点睛】
此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在确定线段的最小值时与二次函数相结合，利用配方法解决问题．20．①见解析；②这个游戏不公平，见解析，要使游戏公平，改规则如下：若两人的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两人的数字之和小于7与大于等于7的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
解：①两人所得的数字之和的所有结果如图：
②这个游戏不公平．
由图可知，所得结果小于7的情况有6种，即甲获胜的概率为2
3
，乙获胜的概率为
1
3
，很明显不公
平；要使游戏公平，改规则如下：若两人的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．
【点睛】
考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．(1)
【解析】
【分析】
（1）由AF 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E 为AD 的中点，得到AE=DE ，利用AAS 得到三角形AFE 与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可.
【详解】
（1）∵AF ∥BC
∴∠AFE ＝∠DCE
∵E 是AD 的中点
∴AE ＝DE
在△AFE 和△DCE 中，
AFE DCE AEF DEC AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DCE （AAS ），
∴AF ＝CD ，
∵AF ＝BD
∴BD ＝CD ；
（2）当△ABC 满足：∠BAC ＝90°时，四边形AFBD 菱形，
理由如下：
∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，
∴四边形AFBD 是平行四边形，
∵∠BAC ＝90°，BD ＝CD ，
∴BD ＝AD ，
∴平行四边形AFBD 是菱形．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．（1）1()9P A =
，（2）D 【解析】
【分析】
列举出所有可能出现的结果，找出两辆车全部继续直行的结果数，根据概率公式即可得答案；（2）根据
（1）列举出的所有可能出现的结果，分别得出各选项的概率，即可得答案.
【详解】
（1）∵所有可能出现的结果有：（直行，直行），（直行，左转），（直行，右转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，直行），（右转，左转），（右转，右转），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两辆车全部继续直行”（记为事件A ）的结果有1种，
∴P(A)＝19
． （2）由（1）可知所有可能出现的结果共有9种，。