浅谈圆锥曲线中点弦问题

浅谈圆锥曲线中点弦问题
作者：郑美华
来源：《教育教学论坛》 2014年第52期
郑美华
（福建省福安市高级中学，福建福安355000）
摘要：本文试就中学圆锥曲线中最常见的“中点弦”问题给出几种系统的解法，主要有待
定系数法、点差法、“公式法”、求导法等。

方法各有千秋，没有绝对的好方法，应用因题而异，因人而异。

关键词：圆锥曲线；中点弦；待定系数法；点差法；公式法；求导法
中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0193-02
有解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。

这类问题通常包括以下三个类型：（1 ）求弦中点所在直线的方程问题。

（2）求弦中点的坐
标问题。

（3）求弦中点的轨迹方程问题。

“中点弦”问题是解析几何中圆锥曲线部分很典型、很重要的一类问题，也是历年高考数学最常考的问题之一，在高考题中经常以填空题、选择题（大多以解答题）的形式出现，属于中档难题型，也因为计算量较大，学生在这类题目中花费
的时间相对较多，但得分率却不高，而做好这题对后面题目的发挥也起着至关重要的心理作用，而往往这道题的解答完整与否是优秀与及格的一个“分水岭”，解决这类问题的方法很多，但
往往不是计算量大就是列式烦琐，但又没有千篇一律的最佳解题方法，应该因题而异，因人而异，本文试就其解法给出系统性的结论，归纳起来主要有以下几种：①待定系数法。

②点差法。

③“公式法”（实际上是“点差法”的变形和延伸）。

④求导法。

下面我们通过具体例子来说明。

点评：解法1是解决“中点弦”问题中最常规的方法之一，它的一般步骤是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，这种方法易忽略对判别式的考察，以及对中点位置的判断，当中点在圆锥曲线内部时则被之平分的弦一般存在，但若此点在圆锥曲线外，则被之平分的弦可能就不存在。

这种解法的优点是进入容易，解题顺理成章，缺点是计算量相对较大，此种方法要特别注意的是要事先考虑斜率不存在的情形。

解法2是“点差法”，它也是解决“中点弦”问题中最常规的方法之一，若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”或“代点法”。

以上两种解法虽然都是解决解决“中点弦”问题的常规方法，但方法1运算烦琐，方法2列式烦琐，笔者在多年的教学实践中，总结出一种解这类问题的方法，我们姑且称之为“公式法”，它实际上是“点差法”的变形和延伸，我们先来看下面一个结论：
总而言之，圆锥曲线的中点弦问题大致有以上四种解法，每种方法各有自己的优点与不足，没有一种是适合所有题型的，应因题而异，因人而异。

参考文献：
[1]青学兵，赵晋，谢在林.椭圆的中点弦[J].数学教学通讯，1993，（04）.
[2]陈世明.活用中点坐标代换巧解中点弦问题[J].数理化学习（高中版），2004，（01）。