山西省阳泉市第十八中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析

山西省阳泉市第十八中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．
【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，
又A={x|x＞1}，
则A∩B={x|1＜x＜2}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是
A．B．C．D．
参考答案：
D
3. 设为等差数列的前项和，且，，则（）
A． B． C．2008 D．2012
参考答案：
A
4. 已知命题p：x，>0，则（）
A．非p：x， B．非p：x，C．非p：x， D．非p：x，
参考答案：
C
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是
( )
参考答案：
C
略
6. 已知函数则的值域为
A. B.
C. D.
参考答案：
A
7. 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则的取值范围是（）
A． B．C．或D．
参考答案：
D
略
8. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 复数z的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点(－1,－1)，复数:满足.则
等于（）
A. B. 2 C. D. 10
参考答案：
A
【分析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
10. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在区间内的图象是
参考答案：
D
略
12. 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有个．
参考答案：
19
13. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为lcm，那么该棱柱的表面积为cm2。

参考答案：
设正四棱柱的高为h，因为球的直径为2cm，所以正四棱柱的体对角线为2cm，又正四棱柱的底面边长为lcm，所以根据勾股定理得：，所以，所以该棱柱的表面积为。

14. 若点在函数的图象上，则的值为．
参考答案：
略 15. 函数的反函数的图象经过点，则实数
=
参考答案： 2
16. 为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名．若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取 名．
参考答案：
40
【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计．
【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解． 【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等， 分层抽样抽取的比例为
=
， ∴高一应抽取的学生数为800×=40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．
17. 已知函数f （x ）=1+x ﹣
，若函数f （x ）的零点都在（a ＜b ，a ，
b∈Z）内，则b ﹣a 的最小值是 ．
参考答案：
1
考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 求导数，确定f （x ）是R 上的增函数，函数f （x ）在上有一个零点，即可得出结论．
解答： 解：f′（x ）=1﹣x+x 2﹣x 3+…+x 2014
，
x ＞﹣1时，f′（x ）＞0，f′（﹣1）=1＞0，x ＜﹣1时，f′（x ）＞0， 因此f （x ）是R 上的增函数，
∵f（0）=1＞0，f （﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣
）＜0
∴函数f （x ）在上有一个零点；
∵函数f （x ）的零点都在（a ＜b ，a ，b∈Z）内， ∴b﹣a 的最小值是1． 故答案为：1．
点评： 此题是中档题，考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列
的前项和
．设公差不为零的等差数列
满足：
，且
成等比．
(Ⅰ) 求
及
；
(Ⅱ) 设数列
的前项和为
．求使
的最小正整数的值．
参考答案：
(Ⅰ) 当n ＝1时，a1＝S1＝2－a ． 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n －1．
所以1＝2－a ，得a ＝1，
所以an ＝2n －1． 设数列{bn}的公差为d ，由b1＝3， (b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，得(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)， 故d ＝0 (舍去) 或 d ＝8． 所以a ＝1，bn ＝8n －5，n∈N*． (Ⅱ) 由an ＝2n －1，知an ＝2(n －1)．
所以Tn ＝n(n －1)．
由bn＝8n－5，Tn＞bn，得n2－9n＋5＞0，
因为n∈N*，所以n≥9．
所以，所求的n的最小值为9．
略
19. （本小题满分18分）已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：
（Ⅰ）的定义域为，
当时，，
（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值小于零.
由（Ⅱ）可知
①当，即时，在上单调递减，
综上讨论可得所求的取值范围是：或.
20. (本小题满分10分)已知关于的不等式
（1）当时，求不等式解集.
（2）若不等式有解，求的范围.
参考答案：
（1）由题意可得：……1分
当时，，即……2分
当时，，即……3分
当时，，即……4分该不等式解集为
—+
. ……5分
（2）令，有题意可知：……6分
又
……8分
……9分
即
，
……10分
21. （本小题满分12分）
函数.
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：.
参考答案：
解：（I）的定义域为．
（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则
在上是增函数．（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即
．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，
，即当
时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．
22. （本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）
.……………………………………………3分
所以．……………………………………………………………4分
由，
得．
故函数的单调递减区间是（）．…………………7分（Ⅱ）因为，
所以．
所以．…………………………………………………………10分因为函数在上的最大值与最小值的和，
所以．…………………………………………………………………………13分。