(人教版)武汉市八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）
A ．35cm
B ．30cm
C ．25cm
D ．20cm 2．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128
3．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）
A 13
B 32
C 40
D 204．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；
④:2:5DAC ABC S S =△△
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 6．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
8．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：
①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）
A ．9cm
B ．11cm
C ．12cm
D ．14cm
10．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若
30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
11．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．
14．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．
15．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．
16．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，
βα-的大小=__________（度）．
17．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．
18．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．
19．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．
20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．
三、解答题
21．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，32-）、
3(84
84)P +-，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
22．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．
（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；
（2）求证：AGF AED ∠=∠．
23．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：ABC
求作：ABC 的边BC 上的高AD
作法：（1）分别以点B 和C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧相交于点E ； （2）作直线AE 交BC 边于点D ．
所以线段AD 就是所求作的高．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明． 证明：连接BE ，CE ．
BA =______
∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理依据）
同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上
BC ∴垂直平分AE （ ）（填推理依据）
AD ∴是ABC 的高．
24．如图，在平面直角坐标系中有ABC ：
（1）已知111A B C △和ABC 关于y 轴对称，在图中画出111A B C △；
（2）将111A B C △沿x 轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的222A B C △；
（3）222A B C △和ABC 关于某条直线l 对称，在图中画出对称轴l ．
25．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．
（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．
（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．
①求证：BD AE =；
②求点G 的坐标．
（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
26．如图，点E 、F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ，求证：GE GF =．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD，
∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2．C
解析：C
【分析】
根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA1=B1A1=1，OA2=B2A2=2，
OA3=B3A3=224
=，…进而得出答案．
=，OA4=B4A4=328
【详解】
如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1= A1A2=1，
∵△A2B2A3是等边三角形，
同理可得：OA2=B2A2=2，
同理；OA3=B3A3=224
=，
OA4=B4A4=328
=，
OA5=B5A5=4216
=，
…，
以此类推：
=，
所以OA7=B7A7=6264
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．
【详解】
解：∵D 是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，
∴ED 垂直平分AC ，
∴AE=CE ，
∴∠ECD=∠A ，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°，
∵AB=AC ，∠A=36°，
∴∠B=12
（180°-36°）=72°， ∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC ，
∴BC=CE ，
∵AE=CE ，ED ⊥AC ，∴CD=
12
AC =3， 在Rt △CED 中，
∴
故选A ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；
证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．
【详解】
解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；
∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，
∴∠BAC=60︒，
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，
∴60ADC ∠=︒，故②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵∠BAD=30B ∠=︒，
∴AD=BD ，
∴△ABD 是等腰三角形，
∴AE=BE ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；
∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，
又∵AD=AD ，
∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，
∴S △ACD =S △AED ，
∵AE=BE ，DE ⊥AB ，
∴S △AED =S △BED ，
∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用
∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】
解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD ，
∴DA=DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
在直角△ACD 中，∠CAD=30°，
∴CD=12
AD ， ∴BC=CD+BD=
12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224
ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344
DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=
⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个
故选：B ．
【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
6．A
解析：A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
7．B
解析：B
【分析】
由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】
解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．
8．D
解析：D
【分析】
由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得
90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，
结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．
【详解】
解：∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，
∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；
∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，
∴AE=BE ，
在△ADE 和△BCE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；
△ADE ≌△BCE ，
,ADE BCE ∴∠=∠
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，
∴∠BDE=∠AFE ，
在△AEF 和△BED 中，
FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴AF BD =； 故③正确；
∵△ADE ≌△BCE ，
∴,DE CE =
△AEF ≌△BED ，
,,AEF BED EF DE S
S ∴== ,EF CE ∴=
∴,AEF ACE S
S = ∴ ,BDE ACE S S =故④正确；
综上：正确的有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．
【详解】
由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，
∵AB=9cm ，
∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，
∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，
故选：B ．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键． 10．A
解析：A
【分析】
由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．
【详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED=
120302
︒-︒=45°， 在△EDC 中，
∵EC=ED ，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质． 11．D
解析：D
【分析】
①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；
②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；
③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG ＝∠BAP ，再利用等腰三角形的判定可证此结论；
④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN ，PM=PO ，则PN =PO ，即可证明结论．
【详解】
解：∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，
∴∠CAB ＝2∠PAB ，∠CBE ＝2∠PBE ，
∵∠CBE ＝∠CAB ＋∠ACB ，
∠PBE ＝∠PAB ＋∠APB ，
即∠CBE ＝∠CAB ＋2∠APB ，
∴∠ACB ＝2∠APB ．
故①正确；
∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE ，
∴BP 垂直平分CE （三线合一）．
故②正确；
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴PG＝AG．
故③正确；
如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，
∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴PM=PN，PM=PO，
∴PN =PO，
∴CP平分∠DCB．
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到
∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF、CF、CD、AE、AD，然后根据AD+BD=AB列方程即可求出x的值．
【详解】
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，
∴BF=2x ，
∴CF=6-2x ，
∴CE=2CF=12-4x ，
∴AE=6-CE=4x-6，
∴AD=2AE=8x-12，
∵AD+BD=AB ，
∴8x-12+x=6，
∴x=2，
∴AD=8x-12=16-12=4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：
∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；
解析：②③④
【分析】
根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．
【详解】 解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，
∴BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；
∵90BAC ∠=︒，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴BD⊥CE，③正确；
∴由题意可知ACE DBC
∠=∠不一定成立，
综上所述：②③④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
14．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得
∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得
∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO
解析：35°
【分析】
连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【详解】
解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2
解析：43 【分析】 过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，首先证明MP ＝MQ ，求出AC 的长度，运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，求出MP 即可解决问题．
【详解】
如图，设点B 的对应点为N ，由题意得：
∠BAM ＝∠CAM ，AB ＝AN ＝2；
过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，
则MP ＝MQ ，
设MP ＝MQ=x ，
∵AN ＝NC ，
∴AC ＝2AN ＝4；
∵S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，
∴12AB•AC ＝12AB•MQ ＋12
AC•MP ， ∴2×4＝2x ＋4x ，解得：x ＝
43， 故答案为43
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
16．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50
【分析】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时
OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和
平角的定义即可得出结论．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN
++最小，即MP PQ QN M N '
'++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，
∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22
QPN OQP αβ∠=
︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴
11(180)25(180)22
αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
17．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】
解析：3
【分析】
再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12
AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=12
AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，
∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD 为等边三角形，
∴CD=BC=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．
18．或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时
AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关
解析：()4,3-或()4,2-
【分析】
分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
分两种情况：
当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，
∵点A 、B 在y 轴上，
∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，
∵C （4,3），
∴D （-4,3）；
当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，
作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，
∴△ADE ≌△BCF ，
∴AE=BF=4-3=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，
∴D （-4,2），
故答案为：()4,3-或()4,2-
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
19．7【分析】根据已知条件BFCF分别平分∠ABC∠ACB的外角且DE∥BC可得∠DBF=∠DFB∠ECF=∠EFC根据等角对等边得出DF=BDCE=EF根据BD-CE=DE即可求得【详解】解：∵BFC
解析：7
【分析】
根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
【详解】
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴BD-CE=FD-EF=DE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm，
∴EC=5cm，
∴AC=AE+EC=2+5=7cm，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
20．56°【分析】根据可求出根据△DBE≌△ECF利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB在△DBE和△CEF中
∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF∴△DEF
解析：56°
根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
在△DBE 和△CEF 中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形，
∵△DBE ≌△ECF ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴()118044682
B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，
∴3218068∠+∠=︒-︒，
∴∠DEF ＝68°， ∴18068562
EDF ︒-︒∠=
=︒． 故答案为：56°．
【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．
三、解答题
21．（1）(4,4)A -；（2）见解析；（3）①存在，P （8，-4）；②满足全等的点有P 1、P 2、P 3，见解析．
（1）根据题意，设(,)A a a -，在Rt △AOB 中，利用勾股定理，解得a 的值，即可解得点A 的坐标；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于M ，由平行线的性质得到∠MBC=∠ABC ，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM= CH ，据此可证明CG ＝CH ；
（3）①先计算∠BDC 的度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO ，由等角对等边可解得BO=BC=AB ，继而得到∠ACP=∠BDC ，接着证明△APB 为等腰直角三角形，解答AP 的长，据此解题；
②根据全等三角形的判定方法，分别证明1
()BCD PCA AAS ≅、2()BCD P CA AAS ≅、3()BCD P AC AAS ≅即可解题．
【详解】
（1）∵AB ⊥x 轴
∴∠ABO=90°
∵A 在y x =-上
∴设(,)A a a -
则AB=OB=a
即△ABO 为等腰直角三角形
在Rt △AOB 中
∵222AB OB OA +=
∴2232a a +=
∴a=±4（负值舍去）
∴(44)A -，
（2）如图，过点C 作CM ⊥x 轴于M
∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45°
∴∠MBC=∠ABC
∵CM ⊥x 轴，CG ⊥AB
∴CM= CG
∵OC 平分∠AOB ，CM ⊥x 轴 CH ⊥OE
∴CM= CH
∴CG ＝CH
（3）①存在点P
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5°
∵OC 平分∠AOB ，BC ∥OE
∴∠BOC=∠COA ，∠BCO=∠COA
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC =45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5°
∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
∴CA=CD
∴当CP=BD 时，△ACP ≌△CDB
∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB 为等腰直角三角形
∴AP=AB=OB=4
∴P （8，-4）
②如图，满足全等的点有P 1、P 2、P 3理由如下， 1(8,8)P -
∴点1P 在射线(0)OE x x =-≥：y 上，
84<
1P ∴在线段OA 上，
连接1CP
,45CG AB CBG ⊥∠=︒
BCG ∴是等腰直角三角形，
CG BG ∴=
(4,4)A -
4OB ∴=
BC OB =
222216BC BG CG OB ∴=+==
4BG CG BC ∴===
(4C ∴+-
144CP ∴=+=
11,//CP BC CP x ∴=轴
145CP A BOA CBD ∴∠=∠=∠=︒
1
90,PGA ∠=︒ 145P AG ∴∠=︒
1167.545112.5CAP CAG P AG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
在BCD △与1PCA 中 111BDC P AC CP A CBD BC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
1
()BCD PCA AAS ∴≅ 2P 的横坐标为4，点(4,4)4A OB -=，
2P ∴在BA 的延长线上，
连接22,AP CP
67.5BAC ∠=︒
2180112.5CAP BAC ∴∠=︒-∠=︒
2CAP BDC ∴∠=∠ 2P
的纵坐标为
2BP ∴==2BG =
22GP BP BG ∴=-=
CG ∴=2GP CG ∴=
CG AB ⊥
245AP C ∴∠=︒
2AP C ABC ∴∠=∠
在BCD △与2P CA 中，
22BDC P AC ABC AP C CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
2()BCD P CA AAS ∴≅
3P
，点C
的横坐标为4，
3CP ∴所在的直线垂直于x 轴，
AB x ⊥轴
3//CP AB ∴
连接33CP AP 、，过点A 作3AQ CP ⊥交3P C 的延长线于点Q ，
3//CP AB
3180BAC ACP ∴∠+∠=︒
3180112.5ACP BAC ∴∠=︒-∠=︒
3ACP BDC ∴∠=∠
(4,4)A -
3
444(4)AQ PQ ∴=-==--=3
AQ PQ ∴= 3
AQ PQ ⊥ 3
45APQ ∴∠=︒ 3
APQ ABC ∴∠=∠ 在BCD △与3P AC 中
33BDC PCA APC ABC CD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
3()BCD P AC AAS ∴≅
故答案为：123P P P 、、 ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）证△ADE ≌△CDF （ASA ），得AE=CF=2，即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得DE=DF ，则△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEF=∠DFE=45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是高，
∴BD=CD=AD=
12BC ，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12
∠BAC=45°， ∵DF ⊥DE ，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF ，
在△ADE 和△CDF 中， ADE CDF AD CD
BAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），
∴AE=CF=2，
∵AC=AB=6，
∴AF=AC-CF=6-2=4；
（2）证明：由（1）得：△ADE ≌△CDF ，
∴DE=DF ，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG ，∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG ，
∴∠AGF=∠AED ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）BE ，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【分析】
（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA=BE ，CA=CE ，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B 、点C 在线段AE 的垂直平分线上，从而得到BC 垂直平分AE ．
【详解】
（1）如图，AD 为所作；
（2）证明：连接BE，CE．
BA=__BE____
∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上
∴垂直平分AE（两点确定一条直线）（填推理依据）
BC
∴是ABC的高．
AD
故答案为：BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用轴对称的性质得出对称轴的位置进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示；
（3）如图所示．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
25．（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,
3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．
【分析】
（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；
（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；
②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明
AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；
（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得
45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．
【详解】
（1）269||0a a a b -++-=
2(3)||0a a b ∴-+-=
3,3a b a ∴===
(0,3)A ∴，(3,0)B ，
(3,0)C -
,AO OB CO AO ∴==
90AOB AOC ∠=∠=︒
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
90CAB ∴∠=︒
()AOC AOB SAS ∴≅
AC AB ∴=
ABC ∴为等腰直角三角形，
故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；
（2）①BD l ⊥，CE l ⊥
90BDA AEC ∴∠=∠=︒
90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒
BAD ACE ∴∠=∠
AC AB =
AEC BDA ∴≌(AAS)，
∴BD AE =．
②AEC BDA ≌
CAE ABD ∴∠=∠
45CAO ABO ∠=∠=︒
GAE CBD ∴∠=∠，
设CF 交y 轴于点H
EF DC ⊥
90CFG ∴∠=︒
90FGH FHG ∴∠+∠=︒
90COH ∠=︒
90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴
CHO FHG ∠=∠
HGE OCH ∴∠=∠
又∵AE BD =
∴AGE BCD ≌△△(AAS)
∴6AG BC ==
又∵3AO =，
∴3OG =
∴点(0,3)G -．
（3）AP AN PM =+．证明过程如下：
在AP 上截取AH AN =，连接MH ，
设NMO α∠=，
45AMN ∠=︒
45AMO α∴∠=︒+，
∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，
又∵//MN PQ
∴QPO NMO α∠=∠=，
∵PQ 平分APO ∠
∴2APO α∠=
∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-
∴NAM HAM ∠=∠
又∵AN AH =，AM AM =
∴
AMN AMH ≌(SAS)
∴45AMH AMN ∠=∠=︒
∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-
∴PMH PHM ∠=∠
∴PH PM =
∴AP AH PH AN PM =+=+．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
26．见详解
【分析】
由题意，根据SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得到∠AFB=∠DEC ，即可得到GE GF =．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BE CF =
∴BE EF CF EF +=+，
∴BF CE =，
∵AB DC =，B C ∠=∠，
∴△ABF ≌△DCE ，
∴∠AFB=∠DEC ，
．
∴GE GF
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是掌握所学的知识，证明△ABF≌△DCE．。