【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学一轮复习 第一章 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词配套

③“∃x∈R，lg x＜1”的否定是“∀x∈R，lg x≥1”；
④“∃x∈R，tan x＝2”的否定是“∀x∈R，tan x＞2或 tan x＜2”．其中正确结论的序号是________． 解析 答案 ①的否定是“∃x∈R，2x≤0”；②的否定是“∃x∈N， ③④ (x－1)2≤0”．
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考向三
[反思与回顾] 第四步：否命题与命题的否定是不同的概 念，一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定写法不
同．
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二、含有“或”、“且 ”、“非”的命题真假的判定 【示例】 (2011· 新课标全国卷改编)已知 a 与 b 均为单位向 量，夹角为 θ，有下列四个命题中 p1： |a＋ b|＞1⇔θ ∈ 2π 2π ； p ： | a ＋ b | ＞ 1 ⇔ θ ∈ ，π ；③ p3： |a － b| 2 0， 3 3 π π ＞ 1⇔θ ∈0， ； p4： |a－b |＞ 1⇔θ ∈ ，π ，则下 3 3 列命题：① p1∧ p4；② p1∧ p3；③ p2∨ p3；④p2∨ p4，其中 正确命题的序号是________．
是________． 解析 因为命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p
为假命题，綈q为真命题，所以命题(綈p)∨(綈q)为真 命题．故填④. 答案 ④
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考向二
含有一个量词的命题的否定
【例2】 给出下列四个结论： π ①“∃ x∈0， ， sin x＋ cos x≥ 2”的否定是“∀ x∈ R， 2 sin x＋ cos x＜ 2”；
②“∀x∈(3，＋∞ )，x2＋ 1＞ 3x”的否定是“∃ x∈ (3，＋ ∞ )， x2＋ 1＜ 3x”； ③“∃x∈ R，x2＋ x＋ 1＝ 0”的否定是“∀x∈ R，x2＋ x＋ 1＞ 0”；
π ④ “ ∀x ∈ ，π ， tan x ＞ sin x ”的 否定是 “∃x ∈ 2 π ．其中错误结论的序号是 ， π ， ta年高考
5．(2012· 泰州二模)设p：－1≤4x－3≤1；q：x2－(2a＋1)x ＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析 1 p： ≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. 2
由题意，q 是 p 的必要不充分的条件，
1 a≤ ， 2 所以 ，1⊆[a，a＋1]，所以 2
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2 － >1， a 1 ∴ a >1， a≠ 2， 解得 0<a<1，即 a 的取值范围是 (0， 1)．
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热点突破3 命题的否定方法与含简单逻辑联结词 命题真假的判定
写出一个命题的否定，特别是存在性命题与全称命
题的否定及含有“或”、“且”、“非”的联结词，以及含有逻 辑联结词命题真假的判定是高考热点，可能出现一道填空 题，一般难度不大，但如果和有关知识点综合，那么会侧 重有关概念．
________．
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解析
的否定是“∃x∈(3， ＋∞)，x2＋1≤3x”； ③的否定是“∀x π 2 ∈R，x ＋x＋1≠0”；④的否定是“∃ x∈ ，π ， tan x 2 ≤sin x” ，所以 4 个结论都不正确，故填①②③④.
π ①的否定是“∀x∈0， ，sin 2
x＋cos x＜2”；②
答案
①②③④
[方法总结] 全称命题的否定是存在性命题，取“∀x∈M， p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，存在性命题的否定是全
称命题，即“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”．
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【训练2】 给出下列四个结论： ①“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x∈R，2x＞0”； ②“∀x∈N，(x－1)2＞0”的否定是“∃x∈N，(x－1)2≠0”；
－
答案
q1、q4
[方法总结] 判断含有逻辑联结词的命题真假，主要是把其 中单个命题的真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑 联结词的命题真假判断的准则进行．
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【训练1】 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正 数的对数是负数，则下列命题：①(綈p)∨q；②p∧q；
③(綈q)∧(綈p)；④(綈p)∨(綈q)，其中是真命题的序号
解析
依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、
“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．
答案
綈p、綈q
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4．(2011· 宿迁联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1
＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 答案 由题意，得“∀x∈R，x2＋(1－a)x＋1≥0”是真命题， [－1，3] 所以Δ＝(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3.
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点梳理
1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“__” 或 、“__” 非 称为逻辑联结词． 且 、“__” (2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断
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p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
p∧q __ 真 假 __ 假 __ 假 __
p∨q __ 真 真 __
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【训练3】 (2012· 启东二模)已知a>0，命题p：方程a2x2＋ax
－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实根x0满足
不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取 值范围．
解 方程 a2x2＋ax－2＝0 即(ax＋2)· (ax－1)＝0，
2 1 ∴x＝－ 或 x＝ . a a 不等式 x2＋2ax＋2a≤0 只有一个实数解， 即 Δ＝(2a)2－8a＝0，∵a>0，所以 a＝2. ∵“p 或 q”为假命题，∴p 假且 q 假，
根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围
2 【例 3】 (2012· 连云港二模)设命题 p： f(x)＝ 在区间(1， x－m ＋∞)上是减函数；命题 q： x1， x2 是方程 x2－ ax－2＝ 0 的两个实根，不等式 m2 ＋ 5m－ 3≥ |x1 － x2|对任意实数 a∈[－ 1， 1]恒成立．若綈 p∧q 为真，试求实数 m 的取 值范围．
[审题与转化] 第一步：先要判断命题p1，p2，p3，p4的真 假，再判断它们的复合命题的真假． 第二步：求a· b的范围．
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[规范解答 ] 第三步： 由 |a＋b|＞1， |a|＝ |b|＝1 可得 a2＋ 2a· b 1 2π 2 ＋b ＞ 1， a· b＞－ ，所以 θ∈0， ，反之也成立．由 |a 2 3 1 2 2 －b|＞ 1，|a|＝|b |＝1 可得 a －2a· b＋b ＞1，a· b＜ ，所以θ 2 π ∈ ，π ，反之也成立．由 p1、 p4 真， p2、 p3 假，得 p1∧ 3 p4、p2∨p4 是真命题，故填①④ .
因为y＝2x与y＝－2－x是R上的增函数，所以y＝
2x－2－x在R上为增函数，因为y＝2x＋2－x是偶函数，它在R
上不具有单调性，所以p1真p2假，从而p1∨p2与p1∧(綈p2)为 真命题，即q1、q4为真命题．
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法二 函数 y＝2x－2 x 是一个增函数与一个减函数的差， － 故函数 y＝2x－2 x 在 R 上为增函数， p1 是真命题； 而对 p2： x 1 1 x y′＝2 ln 2－ xln 2＝ln 22 － x，当 x∈[0，＋∞)时，2x 2 2 1 ≥ x，又 ln 2>0，所以 y′≥0，函数单调递增；同理，得当 2 x∈(－∞，0)时，函数单调递减，故 p2 是假命题．由此可 知，q1 真，q2 假，q3 假，q4 真．
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一、否命题、命题的否定及含有一个量词的命题的否定 【示例】 (2012· 湖北卷改编)命题“∃x0∈∁RQ，x3 0∈Q”的 否定是________．
[审题与转化] 第一步：本题是含有一个量词的命题的否 定，且该命题是存在性命题． 第二步：存在性命题的否定是全称命题．
[规范解答] 第三步：∀x∈∁RQ，x3∉Q.
綈p 假 __ 假 __ 真 __
真 __
假 __
真 __
2.全称量词与存在量词 (1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑 全 中称为全称量词，用符号“∀x”表示“对任意x”，含有__ 称量词 ______的命题，称为全称命题．全称命题“对M中任意一
∀x∈M，p(x) ． 个x，有p(x)成立”可用符号简记为：____________
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考点自测
1．(2012· 南京模拟)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log2x>0， 解析 则綈p为________． 全称命题的否定是存在性命题．
答案
∃x∈(1，＋∞)，log2x≤0
，tan
π 2．(2012· 南通模拟)命题“∃x∈0， 2
x>sin x”的否
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解
命题 p：m≤1.
命题 q：|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2＝ a2＋8≤3， ∴m2＋5m－3≥3，∴m2＋5m－6≥0， ∴m≥1 或 m≤－6. 若綈 p∧q 为真，则 p 假 q 真.
[方法总结] 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 (一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再 求出含逻辑联结词的命题成立的条件．
定是____________．
解析
答案
存在性命题的否定是全称命题．
π ∀x∈0， 2 ， tan
x≤sin x
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3． 若命题 p： 关于 x 的不等式 ax＋b>0
b 的解集是xx>－ ， a
命题 q ：关于 x 的不等式 (x － a)(x － b)<0 的解集是 {x|a<x<b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”、 “綈 q”中，是真命题的有________．
命题 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 命题的否定 ∀ x∈M，綈p(x) ____________ ∃x∈M，綈p(x) ____________
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【助学· 微博】 一个命题规律 本节内容是高考考查的重点，尤其是全称命题与存在性命 题的真假判断及其否定更是高考考查的热点，题型以填空 形式出现，难度较小，属低档题． 正确区分命题的否定与否命题 命题的否定与否命题不同，否命题是既否定命题的条件， 又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论， 而不否定条件． 正确理解一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定， 含有一个量词的命题的否定与一般命题的否定是不同 的．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是 全称命题．
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(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻 辑中称为存在量词．用符号“∃x”表示“存在x”，含有存在 存在性命题．存在性命题“存在M中的一 量词的命题称为___________ ∃x∈M，p(x) ． 个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：____________
3．含有一个量词的命题的否定
[反思与回顾] 第四步：本题考查了向量的数量积运算、向 量的模及向量的夹角的运算．
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高考经典题组训练
1．(2011· 安徽卷改编)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”
的否定是________． 解析 答案 是全称命题，它的否定是存在性命题． 存在能被2整除的整数不都是偶数

1 解得 0≤a≤ . 2 a＋1≥1，
1
答案
1 0， 2
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考向一
含有逻辑联结词命题真假的判定
【例1】 (2010· 新课标全国改编)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在
R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命 题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧ (綈p2) 中，真命题是________． 解析 法一