淅川县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

淅川县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ） A ．2x+y ﹣5=0 B ．2x ﹣y+1=0
C ．x+2y ﹣7=0
D ．x ﹣2y+5=0
2． 设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
3． 已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ） A ．[﹣9，+∞） B ．[0，+∞） C ．（﹣9，1） D ．[﹣9，1）
4． 已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2
，则||=（ ）
A ．1
B ．
C ．3
D ．2
5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
6． 已知tan （﹣α）=，则tan （
+α）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
7． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）
A.()||x f e x =
B.2()x x f e e =
C.2
(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
8． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
10．若函数()y f x =的定义域是[]
1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]
0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,2017 11．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．14101
12．执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）
二、填空题
13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
14．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．
15．已知函数()ln a f x x x =+
，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．
17．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 18．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
三、解答题
19．已知点（1，）是函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f （n ）﹣c ，
数列{b n }（b n ＞0）的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n ﹣S n ﹣1=+
（n ≥2）．记数列{
}前n
项和为T n ，
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）若对任意正整数n ，当m ∈[﹣1，1]时，不等式t 2
﹣2mt+＞T n 恒成立，求实数t 的取值范围
（3）是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：BC1∥平面ACD1．
（2）当时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．
22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．
23．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
24．已知
，且
．
（1）求sin α，cos α的值；
（2）若，求sin β的值．
淅川县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，
与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，
把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，
解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y﹣5=0，
故选：A．
2．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：函数f（x）=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减，
由于函数的值域为（﹣∞，1]，
则lg（1﹣x）≤1，
则有0＜1﹣x≤10，
解得，﹣9≤x＜1．
则定义域为[﹣9，1），
故选D．
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．4．【答案】D
【解析】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 6． 【答案】B
【解析】解：∵tan （﹣α）=，则tan （
+α）=﹣tan[π﹣（
+α）]=﹣tan （﹣α）=﹣，
故选：B ．
【点评】本题主要考查诱导公式，两角和的正切公式，属于基础题．
7． 【答案】D. 【
解
析】
8． 【答案】D
【解析】解：依题意可知F 坐标为（，0）
∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=
，
∴抛物线准线方程为x=﹣
，
所以点B 到抛物线准线的距离为
=
，
则B到该抛物线焦点的距离为．
故选D．
9．【答案】C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；
该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，
当n=4时，不满足进行循环的条件，
故输出的数对为（11，12），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，
∴由正弦定理得a 2=b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2
=bc ， ∴由余弦定理可得b 2=a 2+c 2
﹣2accosB ，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S △ABC =bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．【答案】 ﹣1054 ．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2
﹣3x+b n =0的两根，
∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ， ∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．
则b 5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】2
1≥a 【解析】
试题分析：'
21()a f x x x =
-，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率1
2
k ≤恒成立，2112a x x ∴-≤，(0,3]x ∈，x x a +-≥∴221
，(0,3]x ∈恒成立，由2111,222
x x a -+≤∴≥．1
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）
首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
16．【答案】[﹣，]．
【解析】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，
∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），
即，即，得﹣≤m≤，
故答案为：[﹣，]
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．
17．【答案】﹣2．
【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【答案】（﹣∞，3]．
【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，
所以，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=
因为数列{a n}是等比数列，所以，所以c=1．
又公比q=，所以；
由题意可得：=，
又因为b n＞0，所以；
所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；
当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1；
所以b n=2n﹣1．
（2）因为数列前n项和为T n，
所以
=
=；
因为当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，
所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt＞0恒成立即可，
设g（m）=﹣2tm+t2，m∈[﹣1，1]，
所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t＜﹣2或t＞2，
所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
（3）T1，T m，T n成等比数列，得T m2=T1T n
∴，
∴ 结合1＜m ＜n 知，m=2，n=12
【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=． 【解析】
试题分析：（1）L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可
证明；（2）由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.
1111]
（2）圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点：直线方程；直线与圆的位置关系. 21．【答案】
【解析】（1）证明：∵AB ∥C 1D 1，AB=C 1D 1，
∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，
∴BC 1∥AD 1，
又∵AD 1⊂平面ACD 1，BC 1⊄平面ACD 1， ∴BC 1∥平面ACD 1．
（2）解：S △ACE =AEAD==．
∴V
=V
=
=
=
．
【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）令x 1=x 2＞0， 代入得f （1）=f （x 1）﹣f （x 1）=0， 故f （1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＞x 2，则＞1，
由于当x ＞1时，f （x ）＜0，所以f （
）＜0，
即f （x 1）﹣f （x 2）＜0，因此f （x 1）＜f （x 2），
所以函数f （x ）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分） （3）因为f （x ）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f （x ）在[3，25]上的最小值为f （25）．
由f （
）=f （x 1）﹣f （x 2）得，
f （5）=f （）=f （25）﹣f （5），而f （5）=﹣1，
所以f （25）=﹣2．
即f （x ）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x ，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2
x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．
24．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）2=sin
2
+2sin cos
+cos 2
=1+sin α=，
∴sin α=，
∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=
+
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。