高一数学同步辅导教材(第4讲)

高一数学同步辅导教材（第4讲）一、本讲教学进度
1．5（P23-24）
二、本讲内容
1．一元二次不等式>和<的解法.
2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.
3．二次函数在给定范围内的最值.
三、重点、难点选讲
1．一元二次不等式>和<的解法.
⑴因一元二次方程的两个根是，故有
一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.
一元二次不等式<，(<)的解集为<<.
⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.
例1解不等式：
⑴≤；
⑵>；
⑶≤.
解：⑴原不等式即≤，
整理得≥，
≥.
∴不等式的解集为≤，或≥.
⑵∵≥,
∴由，得不是原不等式的解.
当，得>，
即<，<<.
∴原不等式的解集为<<，且.
⑶∵>,
∴原不等式与≤同解，
∴原不等式的解集为≤≤.
评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将除去.
例2解关于的不等式：>（,R）.
解：原不等式可化为<.
.
⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.
⑵当时，，∴不等式的解集是.
⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.
⑷当<<时，>，∴不等式的解集是
⑸当时，，∴不等式的解集是.
⑹当<时，<，∴不等式的解集是.
2．可化为一元一次不等式组的分式不等式
⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式
<同解.
⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式
≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.
例3解不等式：
⑴≥；⑵≥.
解：(1)原不等式等价于≤.
∴不等式的解集是
=
(2)原不等式等价于.
∴不等式的解集是
评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.
例4：求不等式的解集.
①等价.
解：不等式与不等式组
,②
由①，,
∴
由②，，
∴.
∴原不等式的解集是
评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.
（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是
<,或≥.
例 5 已知集合，，且,.求实数a,b的值.
解：由已知，得,
.
由A，从数轴可得集合
B又
和2是的实数根.
3. 二次函数在给定范围内的最值
由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.
如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已知函数,
(1) 当时，求的最大值、最小值；
(2) 当时，求的最大值、最小值；
(3) 当时，求的最大值、最小值；
解：函数即,抛物线的对称轴为直线.
(1)当时，
由图象知，
当时，
当时，
(2)当时，
由图象知,
当时，
当时，
(3)当时，
由图象知,
当时，
当时，
评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.
(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值.
例7已知函数求:
(1) 当时，函数的最值;
(2) 当时，函数的最值;
解：函数即抛物线和对称轴为直线
(1) 当时，
由图象知,
当时，
函数无最大值.
(2) 当时，
由图象知,
当时，
函数无最大值.
评析（1）最大值、最小值统称最值.
（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式中
是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.
例8 求函数的最小值。

解：由题设，知令则
由图象知，
当即时，
例9关于的方程有两个实根
（1）求k的取值范围；
（2）设求关于k的函数解析式，以及这个函数的最大值和最小
值。

解：（1）由题意得
整理得
（2）由韦达定理，
∴
由图像可知，当时，，
当时，.
例10已知函数，在内有最大值-5，求实数值. 解：函数变形为.下面根据的不同情况进行讨论. （1）当即时，由图(1)知，
当时, 取最大值
令得
(2) 当即时，由图(2)知，
当时, 取最大值
令
(3) 当即时，由图(3)知，
当时, 取最大值
令(舍去)，
∴由上知，或
评析对分情况讨论的根据是与的关系。

练习
; 一、选择题
1．不等式的解集是（）
A．
C．D 2．不等式（x-4）(x+2)的解集是（）
A． B.
C.D
3. 不等式的解集是（）
A．B
C．D
4．不等式的解集是（）
A．B
C．D
5．当时，若函数的最大值为M，最小值为N，则（）
A．M=7，N=6 B.M=6,N=-2
C. M=7,N=-2
D.M=-6,N=-7
6.已知函数则下列结论中不正确的是（）
A．当时，有最大值3
B. 当时，有最小值-15
C. 当时，无最大值也无最小值
D. 当时，函数有最小值-5
二、填空题
7．不等式的解集是____________________________.
8.不等式的解集是____________________________.
9．设集合A=则实数的取值范围是_____________.
10．10．当时，函数有最小值-2，则t= ______________.
三、解答题
11．解不等式：
12．设集合A=
若实数a的取值范围。

13．关于x的不等式对一切x恒成立，求k的取值范围.
14．关于x的方程的两个实数，满足求:
（1）实数q关于p的函数表达式；
（2）这个函数的最大值和最小值.
答案与提示
【答案】
一、1．B2．C3．D4．A5．C6．D
二、7．8．
9．10．
三、11．解集为，或≥
12．≤≤
13．
14．⑴≤≤
⑵当，；当，
【提示】
一、4．
5．，当，；当，
6．
二、7．，，
8．≤，，且≤，解集是≤≤，且
9．，由数轴及可知
10．≤≤，抛物线的对称轴为直线.
⑴当≤≤时，的最小值∴.
⑵当，由图像知，时，（不合）.∴三、11．≥，≥，∴解集是，或≥
12．，，∴.
当.当，当.
由知，≤≤.
13．原不等式即-.
∵，
∴原不等式等价于
不等式组
即,①.②
由①对R 恒成立，，，
.
由②对R 恒成立，，，.
∴的取值范围是.
14．.
（1）由韦达定理，，
∵，∴，
.∵、为实根，∴≥，即≥，≤2，≤≤，
∴≤≤.
（2）当时，；当时，。