专题1-2 数列篇-2018版题型突破唯我独尊之高考数学文

【简介】
【2015新课标1】解答题没有出现数列 【2015新课标2】解答题没有出现数列 【2016新课标1】
已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111
==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求
{}n b 的前n 项和.
【答案】（Ⅰ）31n a n =-；（Ⅱ）131
.223n --⨯
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 【2016新课标2】 等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.
(Ⅰ)求{n a }的通项公式；
(Ⅱ) 设
[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）
235n n a +=
；（Ⅱ）24.
【解析】
试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求
1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列
{}n b 的前10项和.
试题解析：（Ⅰ)设数列
{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==.
所以数列
{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.
【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错.
【2016新课标3】
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，
2
11(21)20n n n n a a a a ++---=. （I ）求
23,a a ；
（II ）求
{}n a 的通项公式.
【答案】（Ⅰ）41,2132==
a a ；（Ⅱ）
121-=n n a ． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）将
11a =代入递推公式求得2a ，将2a 的值代入递推公式可求得3a ；
（Ⅱ）将已知的递推公式进
行因式分解，然后由定义可判断数列
{}n a 为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式．
试题解析：（Ⅰ）由题意，得
41
,2132==
a a .
（Ⅱ）由
02)12(112
=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a . 因为{}n a 的各项都为正数，所以21
1=
+n
n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此
1
21
-=n n a . 【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1
n n a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明
2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
【2017新课标1】 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．
（1）求
{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
【答案】（1）(2)n
n a =-；（2）
1
22(1)33n n n S +=-+-⋅，证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-即可求解；
（2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等
差数列．
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 【2017新课标2】
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .
【2017新课标3】 设数列
{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
（1）求
{}n a 的通项公式；
（2）求数列
21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ 的前n 项和. 【答案】（1）
122-=
n a n ；（2）122+n n
【解析】试题分析：（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121
-=-+++-n a n a a n ，再作差得122
-=
n a n ，
验证1=n 时也满足；（2）由于121
121)12)(12(212+-
-=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和.
（2）记{}的前n 项和为，
由（1）知
=
= - .
则
=
- +
-
+…+
-
= . 【考点】数列的通项公式，裂项相消法求和 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，
裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭ (其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常
见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如
1(1)(3)n a n n =
++或1
(2)n a n n =
+.
【3年高考试题比较】
对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.尤其近两年都考的数列，2018年
在三角上命题的可能性很大，考查内容主要集中等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【必备基础知识融合】
1.数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n ).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类
3.(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.
5.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.
数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b
2.
6.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *). (2)等差数列的前n 项和公式
S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).
7.等差数列的有关性质
已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .
(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 8.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 9.等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 10.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.
数学语言表达式：a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 11. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －
1；
通项公式的推广：a n ＝a m q n －
m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
12.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .
13.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法
①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2
d .
②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q
1－q .
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 14.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1.
(3)
1n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
【解题方法规律技巧】
典例1：若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式.
(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1
S n －1
＝2，
又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .
当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－1
2n （n －1）.
当n ＝1时，a 1＝1
2
不适合上式.
故a n
＝⎩⎨⎧1
2
，n ＝1，－1
2n （n －1），n ≥2.
【迁移探究】 将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，
试求解.
【规律方法】（1）在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n≥2的情形；
（2）应用a n ＝S n －S n －1 (n≥2)条件时，通常有两个方向，一个是消去S n ，留下关于a n 的递推关系，进而求a n 的通项公式；另一个是消去a n ，留下S n 的递推关系，进而得到S n .
典例2：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数. (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由. (1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.
两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.
由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.
(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故a n＋2－a n＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.
【规律方法】等差数列的四种判断方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.
(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.
(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q.
(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.
典例3：已知等比数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别是等差数列的第8项和第16项，试求数列的通项公式及前项和的最小值.
【答案】(1) (2) 当时，取得最小值.
解得，
所以，
，
∴当时，取得最小值，且最小值为.
【规律方法】求等差数列前n项和最值的常用方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
③将等差数列的前n项和(为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．典例4：已知数列{a n}的前n项和为S n，在数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.
(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；
(2)求数列{b n}的通项公式.
【规律方法】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
典例5：已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 864S =，又2a 是1a 与5a 的等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若62n n S a +>，求n 的最小值.
【答案】（1）21n a n =-（2）8.
【规律方法】 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
典例6：已知数列{}n a 满足： ()*121n n a a n n N +=-+∈， 13a =.
（1）证明数列()
*n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）设11
n n n n n a a c a a ++-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证： 1n S <. 【答案】（1）2n n a n =+；（2）见解析
（2）证明：由于111
11n n n n n n n a a c a a a a +++-==-， 所以121223111111111111111n n n
n n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 典例7：已知数列{}n a 中， 11a =， ()
*14n n n a a n N a +=∈+. （1）求证： 113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()
1413
n n n n n b a +=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)答案见解析；(2) 11525443n n n T -+=-⋅.
（2）()1413n n n n n b a +=-⋅⋅， 341
n n a =- 1
13n n n b -+= 12n n T b b b =+++ ∴01212313333
n n n n n T --+=++++① 121123133333n n n n n T -+=++++② ①-②得12121111233333
n n n n T -+=++++-
1
1131313
n n n -
+=+-- 53112233
n n n +=-⋅- ∴11525443n n n T -+=-⋅. 【规律方法】
(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为
a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1
·a 1代入求出通项.
(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.
（4）分式型的递推关系，常常可以利用求倒数构造新的等差或等比数列.
（5）指数型的递推关系，有时候可以通过等式两边取对数，构造新的等差或等比数列.
典例8：数列{}n a 满足12n+2n+1a =1a =2a =2a 2n a -+，，.
（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；
（2）求{}n a 的通项公式．
【答案】（1）见解析；（2）a n ＝n 2－2n ＋
2
【规律方法】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；
（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将
()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，
再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.
典例9：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋
1
（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .
【规律方法】(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式. 典例10：已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）
(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.
解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）
(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9
(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9
的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，
a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.
(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2
， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，
结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2
的单调性， 可知5<2－a 2
<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).
典例11：已知数列{}n a 中， 10a =， ()
*12,n n a a n n N +=+∈，. (1)令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列；
(2)求数列{}n a 的通项公式．
(3) 令,3
n n n a c =当n c 取得最大项时，求n 的值. 【答案】（1）见解析；（2）21n n a n =--；（3）3n =.
（2）由（1）知2n n b = 即121n n n a a +-=- 212,21n a a ≥-=-
23221
a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1121n n n a a ---=-
()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=-- 2,21n n n a n ∴≥=--
11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=--
（3）111
21
22
33n n n n n n n n c c +++----∴=
∴=
111
1
22
21212333
n n n n n n n n n n n c c ++++----+-∴-=
-= 令()212n
f n n =+-
()11232n f n n ++=+- ()()122n f n f n ∴+-=-
()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<
123345,....n c c c c c c c ∴>>
3,n n c =最大 3n ∴=
【规律方法】求数列最大项或最小项的方法
（1）相邻两项作差和0比，从而得数列的单调性进而得数列最值. （2）可以利用不等式组()11{
2n n n n a a n a a -+≤≥≥找到数列的最大项；利用不等式()11
{ 2n n
n n a a n a a -+≥≥≤找到数列的最小
项．
（3）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项． 典例12:已知数列{}n a 满足： 123n n a a a a n a ++++=-，
（ 1,2,3,n =）
（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令()()21n n b n a =--，（ 1,2,3,
n =），如果对任意*
x N ∈，都有21
4
n b t t +
≤，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) {}n a -1是以-12为首项， 12为公比的等比数列；（2）11
42
t t ≤-≥或
【规律方法】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题（常用分离变量来做）；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.
典例13：已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()
*
n N ∈.
（1）证明： {}1n a +是等比数列；
（2）令1
2n
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）见解析（2）11121
n +-
-
【解析】试题分析：（1）由数列{}2n n n a S a n =-满足，求出通项公式n a 和1n a -的关系，由此判断1n a +是否为
等比数列；（2）由（1）可知数列{}n a 的通项公式，代入1
2n n n n b a a +=可知n b 的通项公式，通过裂项相消法算出{}
n b 的前n 项和n T 。

【规律方法】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（2）
1
k =；
（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；
此外，需注意利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
典例14：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1111
,22
n n n n a S a a S +++=-=． （1）求n S 及n a ；
（2）若111
,{ ,n n n n n S b S S n -+=为奇数
为偶数
，求{}n b 的前2n 项的和2n T ．
【答案】(1) ()
1
,12{ 1,221n n a n n n ==-≥-;(2) 22284n n
T n n =++.
所以12n S n
=
． 当2n ≥时， ()
111122221n n n a S S n n n n -=-=-=---， 又111
2
a S ==
不满足上式， 所以()
1
,12
{
1,221n n a n n n ==-≥-． （2）由（1）知()()2,2,{ { 1111,,411811n n n n n b n n n n n n ==⎛⎫
- ⎪-+-+⎝⎭
为奇数为奇数
为偶数为偶数，
【规律方法】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.
(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，
其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法
求{a n }的前n 项和.
【归纳常用万能模板】
(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d >1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
满分解答 (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，
a 1d ＝2，
即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，2分 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝9，
d ＝29.4分
故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －
1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），
b n ＝9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
29n －1.6分 (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －1
2
n －1，7分
于是T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1，①
12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n .②8分 ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋1
2n －2－2n －12n 10分 ＝3－2n ＋3
2n ，11分 故T n ＝6－2n ＋3
2
n －1.12分
❶由题意列出方程组得2分. ❷解得a 1与d 得2分，漏解得1分. ❸正确导出a n ，b n 得2分，漏解得1分. ❹写出c n 得1分.
❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)
设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)
乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出T n .
【易错易混温馨提醒】
一、.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.
易错1：在等差数列{}n a 中， 1617a a +=-， 2723a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}2n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】(Ⅰ) 32n a n =-+ (Ⅱ) 当1q =时， ()2
313n S n n n n =-+=；当1q ≠时， ()1311n
n q S n n q
-=-+-.
当1q =时， ()2
313n S n n n n =-+=；
当1q ≠时， ()1311n
n q S n n q -=-+-.
二、利用
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.求通项是容易忽略下标的范围.
易错2：已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }对任意自然数n 均有
12
112n n n
c c c a b b b +++⋅⋅⋅+=成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2016的值．
【答案】（1）b n ＝3n －1；（2）20163.
(2)∵
12
112n n n
c c c a b b b +++⋅⋅⋅+=，① ∴
1
21
c a b =，即c 1＝b 1a 2＝3. 又
112
121
n n n c c c a b b b --++⋅⋅⋅+=，② ①－②得，
n
n
c b ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴c n ＝2b n ＝2×3n －
1(n ≥2)， ∴c n ＝13,1
{
23,2
n n n -=⨯≥
则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2016
＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32016－
1 ＝3＋2×(31＋32＋…＋32015) ＝(
)2015
2016
231333
13
⨯⨯-+
=-.
点睛：本题在求n c 时，由由已知等式
12
112
n n n c c c a b b b ++++
=写出新等式1
1212
1
n n n c c c a b b b --+++
=时，一定要注意n 的范围，即2n ≥，此时两式相减可得()2n c n ≥， 1c 不一定包含在此式中， 1c 必须由已知中令1n =
三、求“123n a a a a +++⋅⋅⋅+”时容易忽视分段讨论
易错3：在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =，且123,22,5a a a +成等比数列. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）若0d <,求123n a a a a +++⋅⋅⋅+.
【答案】(Ⅰ) 11n a n =-+或46n a n =+ .(Ⅱ) 22121
,11,
22{
121
110,12.22
n n n n n n -+≤-+≥
当12n ≥时， 110n a n =-+<，
121112n a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 121112n a a a a a =++⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-
()1111n S S S =-- 112n S S =-+
2121
11022
n n =
-+． 综上12n a a a ++⋅⋅⋅+= 22121n 1122{
121n 1101222n n n n -+≤-+≥，，，． 22121
1122
{ 1211101222
n n n n n n -+≤-+≥，，，． 四、通项公式裂项后，忘了调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
易错4：等差数列{}n a 中， 122311a a +=， 32624a a a =+-，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足111
n n b S +=
-，其前n 项和为为n T ，求证： ()
*3
4
n T n N <
∈. 【答案】(1) 21n a n =- (2)见解析
【新题好题提升能力】
1.已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ,4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足
()
1
312231
1212121
21
n n
n
n b b b b a +=-+++-++++， 求数列{}n b 的通项公式；
【答案】（Ⅰ）2n n a =;（Ⅱ）()3
,12
{
111,2
2n n n n b n ==⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设此等比数列为1a ， 1a q ， 21a q ， 31a q ，…，其中10a ≠， 0q ≠．由已知列式求得首项和公比，则通项公式可求； （Ⅱ）由（1）可知，
11
2
n n a =，代入()
1
3122311221212121
n n
n n b b b b +=-+-
+-++++，得
()
311212311
12212121
21n
n n n b b b b ---=-+-+-++++（2n ≥），，两式作差得()
1
11112221
n n n n n b +--=-+（n≥2）．求出首项，可得数列{b n }的通项公式
试题解析：
（Ⅰ）设此等比数列为1a ， 1a q ， 21a q ， 31a q ，…，其中10a ≠， 0q ≠. 由题意知： 2311128a q a q a q ++=，①
()
3211122a q a q a q +=+.②
②7⨯-①得3211161560a q a q a q -+=， 即22520q q -+=，解得2q =或12
q =
. ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =， 2q =，∴2n n a =；
2.已知数列{}{},,n n n a b S 为数列{}n a 的前n 项和且()
222,n n n S a b n n N +
=-=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n c 的通项公式为,2
{
,4
n n
n n n
a b n c a b n -
=为奇数为偶数，令n T 为的前n 项和{}n c ，求2n T . 【答案】（1）2n n a = (2) 27127499
n
n n T -=
+⋅.
3. 已知在数列{}n a 中， 11a =， 12n n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
【答案】(1) 122
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶 (2) 当n 为奇数时， n S = 214n -,当n 为偶数时， n S = 2
4
n . 【解析】试题分析： 试题解析：
4. 已知数列{}
n a ，满足11a =， 11233n n n n a a a a +++=； （1）求{}n a 的通项公式； （2）若()
1
1
1
1n n n n c a a ++=-，求{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】（1）321n a n =
+（2）284
93
n n -- 【解析】试题分析：（1）由11233n n n n a a a a +++=，得1112
3n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为23的等
差数列，由此可求{}n a 的通项公式；
5. 已知数列{}n a 的首项为11a =，且()11n n n a a a ++⋅=， *
n N ∈.
(1)求证：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
(2)
设n b =
{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)见解析
(2) 1 【解析】试题分析：(1)由11n n n a a a +=
+可得111
1n n a a +-=，从而可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以11a =为首项，以1为公差
的等差数列；(2) 由(1)可知1n a n =，，
n b =={}n b 的前n 项和n T . 试题解析：(1) 11111111111n n n n n n n n n
a a a a a a a a a ++++=
⇒==+⇒-=+， 数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以11a =为首项，以1为公差的等差数列； (2)由(1)可知，
1
n
n a =， 1n a n =，
n b =
=
=
=
， 1
23n n T b
b b b =+++⋯+
11⎛
=+++⋯+= ⎝. 6. 已知在ABC ∆中， 2B A C =+，且2c a =. （1）求角,,A B C 的大小；
（2）设数列{}n a 满足2cos n
n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值.
【答案】(1) ,,6
3
2
A B C π
π
π
=
=
=
；(2) 4n =或5n =.
所以ABC ∆为直角三角形， 2
C π
=， 2
3
6
A π
π
π
=
-
=
.
（2）222n n n n a cosnC cos
π
=== 0,{ 2,n
n n 为奇数为偶数
. 所以
212n k k S S S +===
2
4
2020202k
++++++=
(
)222
4122
4
14
3
k
k +--=-，
*k N ∈由
2224
203
k n S +-==，得
22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =.
7. 已知等差数列{}n a 的公差不为零， 13a =，且2a ， 5a ， 14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
1
11n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
【答案】（1）63n a n =-（2）()
2
362n n -+
即()()2361234212n S n n =-++++⋯+-+ ()
()
2212363622n n n n +=-⨯=-+． 8. 数列{}n a 满足122311111
n n n a a a a a a n ++++=+. （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式；
（2）若()11n
n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
【答案】(1) n a n =；(2) ()221n S n n =+.
试题解析：
（1）由已知得122311111
n n n a a a a a a n ++++=+ 当1n =时， 12112a a =①，即122a a = 当2n =时，
12231123a a a a +=② ②-①，得23116
a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 的公差为d ，
则()()()121123112
{ 26a a a a d a a a d a d =+==++=
484n =+++
()
442
n n += ()21n n =+．
9. 已知首项为32
的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，
因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，
所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，
于是q 2＝a 5a 3＝14
. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12
. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32
×⎝⎛⎭⎫－12n －1
＝(－1)n －1·32n .
10. 已知数列{}n a 是公比为
13
的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项． (I)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．
【答案】(Ⅰ) 413n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(Ⅱ) 729.
【解析】试题分析：(I)由26a +是1a 和3a 的等差中项，得()21326a a a +=+，代入公比即可得1a ，进而得通项公式；
(Ⅱ) 令1n a ≥，即4113n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，得4n ≤，利用正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1，即可得n T 的最大值.
11. 已知数列{}n a 中， ()*111,3n n n a a a n N a +==
∈+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 若不等式()1
12n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1) 231
n n a =-（2）23λ-<<
【解析】试题分析：（1）取倒数构造等比数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，再根据等比数列通项公式求出1113322n n a -+=⨯，
（Ⅱ）12n n n
b -=
()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减得 012111111222222222
n n n n T n n -+=++++-⨯=- 1242
n n n T -+∴=- ()12142
n n λ-∴-<- 若n 为偶数，则124,32
n λλ-∴<-∴< 若n 为奇数，则124,2,22
n λλλ-∴-<-∴-∴- 23λ∴-<<
12. 在数列{}n a 中， ()
*1123111232n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝，＝． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）若存在()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋成立，求实数λ的最大值．
【答案】(Ⅰ) 2
1,1
{ 2·3,2n n n a n n -=≥＝；(Ⅱ) 1
6.
∴数列{}n na ()2n ≥是以222a ＝为首项，3为公比的等比数列． 223n n na -∴=⋅，． ()22
32n n a n n -∴=⋅≥， 又11a ＝，不满足上式．
2
11{ 2·32n n n a n n -=∴≥，＝， ． （Ⅱ）∵存在()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋成立，。