江苏省西亭高级中学高三数学期末测试卷（含答案）

江苏省西亭高级中学高三数学期末测试卷
姓名班级得分
一．选择题：(每题5分，共60分)
1.方程组
7,
12.
x y
xy
+=
⎧
⎨
=
⎩
的解集是
( )
(A){(3,4)} (B){(4,3)} (C){(3,4),(4,3)} (D){(x,y)|x=3或4，y=4或3}
2.与代数式ln32(4)
sin()1
x y
a b
++
++
等价的表达式是
( )
(A)(ln3 x+2 (4+y)÷sin(a+b)+1 (B) (ln(3 x)+2 (4+y)÷sin(a+b)+1 (C)(ln3 x)+2 (4+y))÷(sin(a+b)+1) (D)
(ln(3 x)+2 (4+y))÷(sin(a+b)+1)
3.设11
a b
<<，则下列不等式①a>b; ②a<b; ③a2>b2;④a2<b2中一定成立的是( )
(A) ①③(B) ②④(C) ①④
(D) ②③
4.复数1
1
i
i
+
-
的值等于
( )
(A)i(B)－i(C)1 (D)－1
5.与330︒终边相同的角是
( )
(A)－60︒(B)390︒(C)－390︒
(D)930︒
6.已知P(－4，y)为角α终边上的一点，OP=5，且tanα<0，则cscα的值是( )
(A)
4
5
-(B)
3
5
(C)
3
5
-(D)
5
3
7.下列四张散点图中，点集的回归直线画得大致正确的是：(
)
y y
8. 已知函数f (x )的定义域为R ，则“f (x )为奇函数”是“f (0)=0”的 (
)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要每件 9. 下列是关于反函数的一些叙述正确的是
( )
(A) 单调函数一定有反函数． (B) 只有单调函数才有反函数．
(C) 周期函数的反函数也是周期函数． (D) y =sin x ,x ∈[0,2π]的反函数是y =arcsin x ,x ∈[－1,1]．
10. 圆12cos 32sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数）的圆心坐标和半径分别为
(
)
3
(B)(－1,33),4
(D)(－1,－
3),2
11. 抛物线y 2=－4x 上一点到焦点的距离为4，则它的横坐标是
(
) (A)－4 (B)－3 (C)－2 (D)－1 12. f (x )以4为周期，且当－2≤x <2时，f (x )=1+x ,则f (11.2)的值为
(
)
(A)－3.8 (B)0.2 (C)2.2 (D)12.2 二．填空题：(每题4分，共24分)
13. 已知(,3),(2,5),a b λ==-且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是 14. 化简：
1sin cos 1sin cos αα
αα
+-=++ ；
15. 已知：2a =5b =10,则
11
a b
+=______； 16. 已知A(0,5)，B(6,3)，AD ⊥OB 于点D ，则点D 的坐标为_______________． 17. 抛物线y 2=2px 上任意一点与顶点连线的中点轨迹为__________________．
18. 平面内有n 个圆两两相交，任何三个圆不过同一点，写出交点个数随着n 的变化而变化
的函数关系式f (n ):_________________________________. 三．解答题：(共66分)
19. (本题满分12分)在△ABC 中，已知(a +b +c )(a +b －c )=3ab ，且2c osAsinB=sinC ，求
证：△ABC 为等边三角形．
20. (本题满分12分)在正三棱锥S －ABC 中，记
SA =a ,SB =b ,SC =c ．自底面的顶点A 向其所
对侧面SBC 作垂线，垂足为O ，连结并延长SO 交BC 于D ． (1) (6分)求证：D 为BC 边的中点； (2) (2分)设SO SD =14
，用a ,b ,c 表示AO ；
(3) (4分)三棱锥侧棱长为l ，求证：
a b =b c =c a =2
7
l ,并用反三角函数表示∠
ASB ；
21. (本大题满分10分，第一小题是预备工具推导，所推出的结论在解题(2)时可以直接运
用．)
(1)(4分)填空：设向量a =(x ,y )，与x 轴正方向所成的角为α，则：cos α=________，sin α=_________；如果将向量a 逆时针旋转90︒角到向量b ，则向量b 与x 轴正方向所成角为____________，b 的坐标为_______________________(用字母x ,y 表示)
(2)(6分)已知：一个圆2
2
9x y +=与定点A(3,4)．点B 为圆上一个动点，以AB 为一
B
A
S
O
D C
边作正方形ABCD(A 、B 、C 、D 按顺时针方向．．．．．
排列)，求点D 的轨迹；
22. (本题满分10分)水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用．包扎时用
很长的带子缠绕在管道外部(如图所示)．假定为了节省材料，包扎时要使带子全部包住管道而且带子没有重叠的部分，这就要精确地计算带子的缠绕角度α(如图所示)． (1) (2分)包扎时带子的缠绕角度α与哪些量有关？
(2) (8分)用字母表示出上述有关的量，并用它们表示出缠绕角α．
23. (本题10分)在50件待检产品中，假设有46件正品，4件次品，那么从中任取5件：
(1) (6分)请写出其中的次品数N 的概率分布列； (2) (2分)至少取到两件次品的概率是多少？
(3) (2分)把一次抽取5件产品的结果视为随机事件，若随机事件出现的概率低于
0.05，则视为小概率事件，且认为发生小概率事件是不正常的，那么满足P (N >A )<0.05的最小整数A 是多少？这个A 你认为有何意义？
24. (本题满分12分)已知：()f x 为定义在R 上的奇函数，且当x <－1时，
()2122f x x x +=-++．
α x y O A
B
C D
(1) (4分)写出f (x )的函数表达式；
(2) (4分)作出函数()f x 的图象并写出|f (x )|≤6的解集；
(3) (4分)如果|f (x +m )|≤6的解集为闭区间[0,a ]，求m 和a 的值．
参考解答
一．选择题：C D C A C D B A A A B B 二．填空题：13．152λ> 14．tan 2
α 15．1 16.(2,1) 17.2
y px = 18.f (n )=n 2－1 三．解答题：
19. 解 由已知得：2
2
()3a b c ab +-=，即222
a b c ab +-=
∴2221
cos 22
a b c C ab +-=
= 即 ∠C=60︒ (1)
又 C=180︒－(A+B)
∴sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB
由已知：sinC=2cosA sinB
∴sinA cosB －cosA sinB=0即sin(A －B)=0
A 、
B 为三角形内角，A －B ∈(－180︒，180︒) ∴A －B=0︒ 即A=B
(2)
∴由(1)(2)可知：ΔABC 为等边三角形
20. 解 (1) 三棱锥S －ABC 为正三棱锥
∴SA=SB=SC ，∠ASB=∠BSC=∠ASC ∴a b =b c =a c
BC AC AB =-=-c b
∴()0SA BC ⋅=⋅-=⋅-⋅=a c b a c a b 即SA ⊥BC 又 AO ⊥平面SBC ∴SD ⊥BC(三垂线定理)
又
SB=SC
∴D 为BC 的中点． (2)11111()44288
AO AS SO SD =+=-+
=-+⋅+=-++a a b c a b c (3) AO ⊥平面SBC ，∴AO ⊥SB ，即：0AO ⋅=b ∴11088⎛
⎫-+
+⋅= ⎪⎝⎭a b c b 也即211
088
l -⋅++⋅=a b b c a b =b c =a c
代入上式即得a b =b c =c a =2
7
l ．
又 a b =l 2 cos ∠ASB, ∴ cos ∠ASB=
17
∴∠ASB=arccos 1
7
．
21. 解2
2
x y
+2
2
x y
+；90α+︒；(－y ，x )． (2)设点D(x ,y )，则(3,4)AD x y =-- ∴(4,3)AB y x =--
∴(3,4)(4,OB OA AB y =+=+-
也即点B 的坐标为(7－y ,x +1)
B
A
S
O
D C
x
y
O
A
B
C
D
点B 在圆2
2
9x y +=上
∴2
2
(7)(1)9y x -++= 也即2
2
(1)(7)9x y ++-=
此即点D 的轨迹方程，它表示点D 的轨迹是以点(－1,7)为圆心，半径为3的圆． 22. 解 (1)缠绕角α显然与管子的直
径、带子的宽度有关． (2) 设管子的直径为D ，带子的宽度为W ． 把管子看作圆柱体，设想将侧面沿某一母线剪开后展开，其展开图如图所示．由题意，包扎时要使
带子全部包住管道而且带子没有重叠的部分，这就意味着点B 与B '必在同一水平线上．
过点B 作BM ⊥AB '，M 为垂足，则BM=W ；同时，AA '=πD ，∠A 'AB '=α． ∴在Rt ΔBMB '中，sin α=BM:BB '=W:πD
∴arcsin
W D
απ= 23. N
1
2
3
4
p
546
550
C C ≈0.647 41464
5
50
C C C ⋅ ≈0.308 32464
5
50
C C C ⋅ ≈0.043 23464
5
50
C C C ⋅ ≈0.002 14464
5
50
C C C ⋅ ≈0.000
(3)p(N>0)=p(N ≥1)=0.353>0.05; p(N>1)=p(N ≥2)=0.045<0.05; ∴满足P (N >A )<0.05的最小整数A 是1．
这个A 的意义是：如果取到的次品数大于A ，则说明发生了小概率事件，是不正常的．说明整个这批产品中的次品数极可能比假设的要多．(注：A 也叫“合格判定数”) 24. 解 (1)令x +1=t ，则x =t －1．
当x <－1，即t <0时，f (t )=－(t －1)2+2(t －1)+2=－t 2+4t －1 ∴当x <0时，f (x )=－x 2+4x －1．
又 f (x )为奇函数∴f (－x )=－f (x ) (x ∈R)
∴当x >0，即－x <0时，有
f (x )=－f (－x )=－[－(－x )2+4(－x )－1]= x 2+4x +1 另外，由于f (x )为奇函数，故f (0)=0 (2)y =f (x )的图象如图所示：
当x >0时，f (x )≤6的解集为(0,1]
当x <0时，f (x )≥－6的解集为[－1,0)
y 6
α A A ’ ’
C ’ B M
α
又f(0)=0
∴|f(x)|≤6的解集为[－1,1] (3) |f(x+m)|≤6∴－1≤x+m≤1
∴－1－m≤x≤1－m
∴－1－m=0且1－m=a
∴m=－1,a=2。