2021-2022学年山东省新泰市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省新泰市第一中学高一下学期第一次质
量检测数学试题
一、单选题
1．向量(1,1)a =-，(1,2)b =-，则(2)a b a +⋅=（ ） A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【分析】先求出2a b +，再根据数量积的计算公式计算即可. 【详解】(1,1)a =-，(1,2)b =-，
221,11,21,0a b ， (2)1,0
1,1
1a b a
.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
2．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =．若λ为实数，(a λb +)∥c ，则λ＝（ ）. A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】B
【分析】先求出a λb +的坐标，再由(a λb +)∥c ，，列方程可求得结果 【详解】因为向量(1,2)a =，(1,0)b =， 所以(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+， 因为(a λb +)∥c ，(3,4)c =， 所以
1234
λ+=，解得1
2λ=，
故选：B
3．在ABC 中，已知6a =，4b =，c =C =（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒
【答案】C
【分析】利用余弦定理的推论计算cos C 的值，进而求出C 的值.
【详解】因为6a =，4b =，c = 所以2223616281cos 22642
a b c C ab +-+-=
==⨯⨯，
又()0,180C ︒
∈，所以60C ︒=.
故选：C .
4．已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，12a e e =-，12b e me =-，若a b ⊥，则实数m =（ ） A ．1- B ．1
C ．13-
D ．13
【答案】A
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m 的值． 【详解】∵已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，
∴1·e 2e =11⨯⨯cos60°
1
2
=． 而 12a e e =-，12b e me =-，
若a b ⊥，则 ⋅=a b （12e e -）（1e -m 2e ）
2
1e =+m 22e -m 1221e e e e ⋅-⋅=1+m 1(1)02m +--=，
则m ＝1- 故选：A
5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若60B =︒
，b 2c =，则
ABC 解的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
【答案】B
【分析】利用正弦定理求得C ，从而判断出三角形ABC 解的个数. 【详解】
由正弦定理得2sin sin sin sin c b c B C C B b
=⇒==
=，
由于b c >所以C 为锐角，所以45C =︒，故三角形有唯一解. 故选：B
6．若1212,,(1),OP a OP b PP PP λλ===≠-则OP 等于（ ） A ．a λb + B ．(1)a b λλ+- C ．a b λ+ D ．
11a λ+＋1b λ
λ
+ 【答案】D
【分析】将12,P P PP 改为起点为O 的向量后再转化可求解.
【详解】∵12PP PP λ=，
∴12()OP OP OP OP λ-=-，∴12(1+)+OP OP OP λλ=， ∴12
11++1+1+1+1+OP OP OP a b λλ
λλλλ
=
=. 故选：D
7．P 是ABC 所在平面上一点，满足:2PA PB PC AB ++=，ABC 的面积是1S ，PAB △的面积是2S ，则（ ） A ．124S S = B ．123S S = C ．122S S = D ．12S S
【答案】B
【分析】根据2PA PB PC AB ++=得出3AP BC =，所以AP ∥BC 并且方向一样，由此可得出三角形面积关系. 【详解】解：由题意得：
22()PA PB PC AB AP PB ++==+
3AP BC ∴=
AP ∴∥BC 并且方向一样 设AP 与BC 的距离为h 1
1
,2
2
PAB
ABC
S
AP h S BC h =
⋅=
⋅ 又3BC AP =
121,33
PAB
ABC
S
S S S ∴==
故选：B
8．如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点M ，N 与点B ，C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则11
11
x y +--的最小值为（ ）
A ．2
B ．12
C ．4
D ．222+【答案】C
【分析】重心为三角形三条中线的交点，利用重心分线段为2：1的性质结合三点共线得到3x y +=，最后利用基本不等式中“1”的妙用代入解题即可.
【详解】因为G 为ABC 重心，所以()
21
32
AG AB AC =⨯+，所以有
()
111333
AG AB AC xAM y AN =
+=+，因为,,M G N 三点共线，所以11
133x y +=，即
3x y +=，即111x y -+-=，
所以
()11111111
111122*********
y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫----+=+-+-=+++≥⋅= ⎪--------⎝⎭，当且仅当1111y x x y --=--，即3
2
x y ==时取得等号，所以最小值为4. 故选：C 二、多选题
9．下列各式中，化简结果为AD →
的是（ ）
A ．A
B D
C CB →→
→
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．AD CD D
C →
→→
⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
C ．C
D MC DA DM →→→→⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．BM DA MB →→→
--+ 【答案】ABC
【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案. 【详解】A.()AB DC CB AB BC CD AD --=++=，故A 正确； B.()
0AD CD DC AD AD -+=-=，故B 正确； C.
()()()()
CD MC DA DM CD DA DM MC -+-+=-+-+
()
CA DC DC CA DA AD =--=-+=-=，故C 正确；
D.2BM DA MB MB AD AD --+=+≠，故D 不正确. 故选：ABC
【点睛】本题考查向量加法和减法，属于简单题型. 10．已知(3,1)a =-，(1,2)b =-，则正确的有（ ）
A ．5a b ⋅=
B ．与a
同向的单位向量是⎝⎭
C ．a 和b 的夹角是4
π
D ．与b
垂直的单位向量是⎝⎭
【答案】ABC
【分析】利用向量数量积的坐标运算可判断A 正确，求模公式以及单位向量的定义可判断B ，利用夹角公式可判断C 正确，设(),m x y =为与向量b 的单位向量，依题意得到方程组，求出m ，即可判断D 错误． 【详解】解：因为(3,1)a =-，(1,2)b =- 对于A ：()()31215a b ⋅=⨯+-⨯-=A ∴正确，
2:||3(B a =
+∴与
a 共线的单位向量为
，)
或(
， 其中与与a 同向的单位向量是⎝⎭
，B ∴正确， :cos C a <
，5||||10a b b a b ⋅>=
==⋅⨯，[],0,a b π<>∈，
,4
a b π
∴<>=
，C ∴正确，
对于D
：因为(1,2)b =-，设(),m x y =为与向量b
的单位向量，所以1
20
x y -=⎪⎩
，解得
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或x
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故
255
m ⎛= ⎝⎭或m ⎛= ⎝⎭D ∴错误． 故选：ABC ． 11．下列说法正确的有
A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c =sin A ∶sin
B ∶sin C
B ．在△AB
C 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件
D ．在△ABC 中，若sin A=1
2，则A=6
π
【答案】AC
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解. 【详解】由正弦定理
==2sin sin sin a b c R A B C
= 可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C = 即::sin :sin :sin a b c A B C =成立， 故选项A 正确；
由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=， 即A B =或2
A B π
+=
，
则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选项B 错误；
在ABC 中，由正弦定理可得
sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，
则sin sin A B >是A B >的充要条件， 故选项C 正确；
在△ABC 中，若sin A=1
2，则6
A π
=或5=
6
A π， 故选项D 错误. 故选：AC.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题. 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B ．AB
C ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆【答案】ACD
【分析】不妨设9a b x +=，10a c x +=，11b c x +=，解得4a x =，5b x =，6c x =，对四个选项一一验证： 由正弦定理可判断A ；
由c 为最大边，结合余弦定理222
cos 2a b c C ab
+-=可判断B ；
由余弦定理和二倍角公式验证2cos 22cos 1cos A A C =-=可判断C ；
由正弦定理2sin c
R C
=
可判断D. 【详解】不妨设9a b x +=，10a c x +=，11b c x +=，解得4a x =，5b x =，6c x =()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确； 由c 为最大边，故C 为最大角，
2222221625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确； 由题意，A 为最小角，C 为最大角
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯-==，
由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin c R C
=
==
，
ABC
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 三、填空题
13．已知向量a ，b 夹角为2π
3
，且1a =，3a b +=，则b =___________. 【答案】2
【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得b .
【详解】由3a b +=两边平方并化简得22
23a a b b +⋅+=，
22π
12cos
33
b b +⨯⨯+=， 2
202b b b --=⇒=或1b =-（舍去）. 故答案为：2
14．已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则
x =__________． 【答案】5
2
-
【解析】由 ,,A B C 三点共线，得 //AB BC ，根据向量共线的坐标表示求
x . 【详解】 ,,A B C 三点共线， //AB BC ∴.
()()()()(),,, 1,22,0,3,2,33,2AB A B BC x C x ∴=---=，
()()5
33220,2x x ∴⨯---=∴=-.
故答案为：5
2
-.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题. 15．已知非零向量a ，b ，c 满足a b a c ⋅=⋅，a 与c 的夹角为2π
3
，||2c =，则向量b 在向量a 上的投影向量的模为________． 【答案】1
【分析】由题意得||cos ,1b a b <>=-，由投影向量的定义知向量b 在向量a 上的投影向
量为||
a
a -
，即可求它的模. 【详解】由题设，||||cos ,||||cos ,a b a b a c a c <>=<>，则||cos ,||cos ,1b a b c a c <>=<>=-，
而向量b 在向量a 上的投影向量为
||cos ,||||
b a b a
a a a <>⋅=-，
∴向量b 在向量a 上的投影向量的模为1. 故答案为：1
16．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，2DE EC =，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE PM ⋅的最小值为______.
【答案】
23
52
【分析】构建直角坐标系，令()1AP AB AD λλ=+-求P 的坐标，进而可得PE ，PM ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.
【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则()2,2E ，()3,1M ，
又(3,0)=AB ，(0,2)AD =，令()()13,22AP AB AD λλλλ=+-=-，01λ≤≤， 故(3,22)P λλ-，则(23,2)PE λλ=-，(33,21)PM λλ=--，
()()23332(21)PE PM λλλλ⋅=--+-213176λλ=-+，
所以1726
λ=
时，PE PM ⋅取最小值2352.
故答案为：
23
52
. 四、解答题
17．已知向量()2,1a =，(),3b x =，(),2c y =，且//a b ，a c ⊥． （1）求b 与c ；
（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与n 的夹角的大小． 【答案】（1）()6,3b =，()1,2c =-；（2）
3π
4
. 【分析】（1）利用平行、垂直的坐标表示列方程，由此求得,x y ，进而求得b 与c . （2）利用向量夹角公式计算出cos ,m n ，进而求得向量m 与n 的夹角的大小. 【详解】（1）由//a b 得，2310x ⨯-⨯=， 所以6x =，即()6,3b =， 由a c ⊥得，2120y ⨯+⨯=， 所以1y =-，即()1,2c =-.
（2）由（1）得()()()222,16,32,1m a b =-=-=--，
()()()2,11,21,3n a c =+=+-=，
所以()()21135m n ⋅=-⨯+-⨯=-，()()
22
215m =
-+-=，221310n =+
所以[]52
cos ,0,510
m n m n x m n π⋅-=
==∈⨯，
所以向量m ，n 的夹角为
3π4
.
18．已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足()cos cos sin cos a C c A A B +=． (1)求角B 的大小；
(2)若2a =，△ABC 的面积为△ABC 的周长． 【答案】(1)π3
(2)6+
【分析】（1）利用正弦定理得到tan B 求出角B 的大小；（2）根据面积公式得到c ，
再由余弦定理求出b =.
【详解】(1)()cos cos sin cos a C c A A B +=，由正弦定理得：
(sin cos sin cos )sin cos A C C A A A B +=，
()
sin sin cos A C A A B +，
∵()sin sin A C B +=
∴sinBsinA = ∵()0,πA ∈ ∴sin 0A ≠，
∴tan B = ∵()0,πB ∈ ∴π
3
B =
． (2)由（1）及已知得：1
sin 2
ABC
S ac B =
所以122c =⨯⨯∴4c =
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
2221
24224122b =+-⨯⨯⨯=，得：b =
所以△ABC 的周长为6+．
19．如图，四边形ABCD 中，2AD BC =.
（1）用,AB AD 表示DC ；
（2）若90A ∠=︒，点E 在AB 上，2AE EB =，点P 在DE 上，2DP PE =，1EB BC ==，求cos CDP ∠.
【答案】（1）12DC AD AB =-+（2）213
cos CPD ∠=【分析】（1）以,AB AD 作为基底，结合向量的加法运算即可得解；（2）由45AED ∠=︒、
45BEC ∠=︒推出90CEP ∠=︒，再求出PE 、CP ，即可求得cos CPE ∠，再由
()cos cos CPD CPE π∠=-∠计算即可.
【详解】（1）因为2AD BC =， 所以11
22
DC DA AB BC AD AB AD AD AB =++=-++
=-+； （2）由已知：2AD BC =，2AE EB =，1EB BC ==得：2AD =，2AE =， 在ADE 中，90A ∠=︒，2AE AD ==，∴45AED ADE ∠=∠=︒，22DE = 在BCE 中，90B ∠=︒，1BE BC ==，∴45BCE BEC ∠=∠=︒，2CE ∴90CEP ∠=︒， 又∵2DP PE =，∴42
3
DP =
223PE =
在CEP △中，90CEP ∠=︒，2CE 22PE =，∴26
CP =
∴22
213
3cos 26CPE ∠==，
∵CPE CPD π∠+∠=，∴()213cos cos CPD CPE π∠=-∠=【点睛】本题用基底表示向量、向量的线性运算、用向量解决长度的问题，属于中档题. 20．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行
方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】见详解.
【详解】（I ）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
=
=，
故当时，，此时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（II ）设小艇与轮船在B 处相遇，则
，
故
，
，
，
即，解得
， 又时，
，
故时，t 取最小值，且最小值等于
，
此时，在
中，有
，故可设计方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
21．在①7a =②AC 33
③21sin B =这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中并完成解答.
问题：记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60A ∠=︒，1c b =+，______. (1)求c 的值；
(2)设AD 是ABC 的角平分线，求AD 的长. 【答案】(1)3
【分析】（1）选条件①：利用余弦定理直接求得；选条件②：利用三角形的面积公式直接求得；选条件③
：先求出cos B . （2）选条件①：求出30BAD ∠=︒，利用正弦定理即可求得；选条件②；求得30BAD ∠=︒，利用正弦定理即可求得；选条件③：利用正弦定理即可求得； 【详解】(1)选条件①：
1a c b ==+，由余弦定理
22221cos 6021322
b c a A b b b c b bc +-==⇒+-=⇒=⇒=+=，
选条件②； AC
(
)11sin 2b b A +=，解得2b =，3c =.
选条件③：
sin 7
B =
， 由题意可知B C <
，所以cos B ===， 因为πA B C ++=，
(
)1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=
=
由正弦定理sin sin B b C c =
1
b
b =+，解得2b =，3
c =. (2)选条件①：
因AD 是ABC 的角平分线，所以30BAD ∠=︒，
222cos 2a c b B ac +-=
sin B ===，
则(
)1sin sin 302ADB B ∠=+︒=
=
由正弦定理sin sin AD AB B ADB =∠
，3sin sin AB B AD ADB =
==∠选条件②；
因AD 是ABC 的角平分线，所以30BAD ∠=︒，
222
cos
2
a c b
B
ac
+-
=
sin B===，
则(
)1
sin sin30
72
ADB B
∠=+︒==
由正弦定理
sin sin
AD AB
B ADB
=
∠
，
3
sin
sin
AB B
AD
ADB
===
∠
选条件③：
因为AD是ABC的角平分线，所以30
BAD
∠=︒，
则(
)1
sin sin30
2
ADB B
∠=+︒==
由正弦定理
sin sin
AD AB
B ADB
=
∠
，
3
sin
sin
AB B
AD
ADB
===
∠
22．ABC
∆的内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，已知sin sin
2
A C
a b A
+
=．
（1）求B；
（2）若ABC
∆为锐角三角形，且1
c=，求ABC
∆面积的取值范围．
【答案】(1)
3
B
π
=
;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均
为三角形内角解得
3
B
π
=.(2)根据三角形面积公式
1
sin
2
ABC
S ac B
=⋅，又根据正弦定理和1
c=得到ABC
S关于C的函数，由于ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于
2
π
来
计算C的定义域，最后求解()
ABC
S C的值域.
【详解】(1)根据题意sin sin
2
A C
a b A
+
=，由正弦定理得sin sin sin sin
2
A C
A B A
+
=，因为0Aπ
<<，故sin0
A>，消去sin A得sin sin
2
A C
B
+
=．
0<Bπ
<，0
2
A C
π
+
<<因为故
2
A C
B
+
=或者
2
A C
Bπ
+
+=，而根据题意
A B Cπ
++=，故
2
A C
Bπ
+
+=不成立，所以
2
A C
B
+
=，又因为A B Cπ
++=，代入得3Bπ
=，所以
3
B
π
=.
(2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知
3
B
π
=，A B Cπ
++=得到
2
3
A Cπ
+=，
故
2
2
32
C
C
π
ππ
⎧
<<
⎪⎪
⎨
⎪<-<
⎪⎩
，解得
62
C
ππ
<<.
又应用正弦定理
sin sin a c
A C
=，1c =， 由三角形面积公式有：
222sin(
)111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC
C a A S
ac B c B c B c C C
π
-=⋅=⋅=⋅=
22sin
cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C
C C C ππππ-=-=
又因,tan 6
2C C π
π
<<
>
318tan C <<
ABC
S <<
. 故ABC
S
的取值范围是 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.。