【全程复习方略】高中数学 2.3.2.1双曲线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1

双曲线的简单几何性质
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.下列曲线中离心率为的是( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=,故e==.
【变式训练】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由a2+5=32,得a=2,所以e==.
2.(2014·兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为( )
A. 5或
B.或
C.或
D. 5或
【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以=-或=-,所以e==或
.
【变式训练】(2014·白山高二检测)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则该双曲线的离心率为.
【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x±2y=0,所以=,所以该双曲线的离心率
e==.
答案:
3.(2014·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是( )
A.x=±1
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
【解析】选C.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1,
即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=±x=±x.
4.(2014·太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由所以a=2,又b2=c2-a2=12, 所以双曲线的标准方程为-=1.
5.(2013·湖北高考)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )
A.实轴长相等
B.虚轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.
【解析】选D.c1=c2=1.
【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为:
C1:-=1,C2:-=1则结论如何?
【解析】选C.对于双曲线C1,有a=cosθ,b=sinθ,
所以c2=cos2θ+sin2θ=1,e==.
对于双曲线C2,有a=sinθ,b=sinθtanθ,
所以c2=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ=,
e===.
即e1=e2=,故两双曲线离心率相等.
6.(2014·孝感高二检测)设F1,F2是双曲线x2-=1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,则λ的值为( )
A.2
B.
C.3
D.
【解析】选A.因为PF1⊥PF2,
所以|PF1|2+|PF2|2=20,
又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以|PF1|=2|PF2|,故选A.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·广州高二检测)若双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为________________________.
【解析】由双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),所以9+b2=52,得b=4,
又a=3,所以双曲线方程为-=1,
故渐近线方程为4x±3y=0.
答案:4x±3y=0
8.(2014·南昌高二检测)设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.
【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则这样的圆不存
在,故圆只能过右顶点A2(2,0),右焦点F2(4,0),则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲
线的交点,将x=3代入双曲线方程,得P(3,).
故|OP|==2.
答案:2
9.(2014·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;②直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则此双曲线的离心率为.
【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=|F1F2|=2c,
所以|PF1|=2a+2c,
作F2M⊥PF1于M,则|MP|=|PF1|=a+c,
所以|MF2|===,
又设圆x2+y2=a2与直线PF1切于T,
则|OT|=a,
由|OT|=|F2M|得:a=,
即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e>1),解得e=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·大庆高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.
【解析】由椭圆+=1,得a′2=16,b′2=9,c′2=a′2-b′2=7,
所以a′=4,c′=,故椭圆离心率为e1==.
因为双曲线与椭圆+=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,所以双曲线的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e2==,
所以,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.
所以双曲线的方程为-=1.
11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.
【解析】由已知可设双曲线的方程为
-=1(a>0,b>0),
所以两条渐近线为y=±x.
因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,
即y=x的倾斜角为或.
当y=x的倾斜角为时,
所以=tan=,所以=,即a2=3b2.
又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.
所以双曲线方程为-=1,e===.
当y=x的倾斜角为时,
所以=tan=,所以b2=3a2.
又2c=12,所以c=6.
由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.
所以双曲线方程为-=1,e===2.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2013·福建高考)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为=. 【变式训练】(2013·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于
( )
A. B. C.1 D.
【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.
【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.
2.(2013·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )
A.m>
B.m≥1
C.m>1
D.m>2
【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.
【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e==>,所以m>1.
3.(2014·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0
B.4x±3y=0
C.3x±5y=0
D.5x±4y=0
【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos∠PF1F2=,找出的值. 【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q,
因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,
所以3=5a,得=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
4.(2014·青岛高二检测)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,⊥,且||=||,则双曲线的离心率为( )
A. B.1+ C.2 D.1+
【解题指南】由于|PF1|=|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点,则可根据双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a,再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1|,|PF2|的值,然后再根据F1F2⊥PF2推出
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.
【解析】选B.因为|PF1|=|PF2|,
|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=2a(2+),|PF2|=2a(1+),
因为F1F2⊥PF2,|F1F2|=2c,
所以|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,
所以c2=(3+2)a2,
所以e==1+.
【变式训练】(2013·陕西高考)双曲线-=1的离心率为.
【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=得解.
【解析】由=得e2==,所以e=.
答案:
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是.
【解析】由e==2,所以=2,
即=,所以tanθ=(其中θ为一条渐近线的倾斜角).
所以θ=60°,因此两条渐近线所成的锐角为60°.
答案:60°
6.(2014·重庆高考改编)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得
=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.
【解析】由双曲线的定义知,
=4a2,
又=b2-3ab,
所以4a2=b2-3ab,
等号两边同除a2,
化简得-3·-4=0,
解得=4或=-1(舍去),
故离心率e=====.
答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.
【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,
因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则其渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,所以a2=,b2=80,
所以所求双曲线方程为-=1.
当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,得-=1,无解.
综上可知所求双曲线方程为-=1.
【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.
因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,
设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),
因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.
所以所求双曲线方程为-=1.
8.设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.
【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+|PF2|,并且|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.
【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=|PF1|.
又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.
同理,得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.。