2021年高三数学(理科)第一轮高考总复习阶段测试卷(第36周)

2021年高三数学（理科）第一轮高考总复习阶段测试卷（第36周）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．等差数列及等比数列中，则当时有（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A ．或
B ．
C ．
D ．或
3. 若直线和直线关于直线对称，那么直线恒过定点( )
A ．（2，0）
B ．（1，－1）
C ．（1，1）
D ．（－2，0）
4. 设若，则的值为 ( ）
A ． B. C. D. 5. 若函数，，则函数的极值点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )
A ．3
4
B ．1
C ．5
4
D ．74
7. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为，则的方程为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
9. 设为两条直线，为两个平面，则下列结论成立的是( ) A ．若且，则 B ．若且，则 C ．若，则 D ．若则 10.设是等比数列的前n 项和，，则等于( )
A.13
B.15
C.18
D.1
9 11. 在锐角中，若，则的范围（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在 上( )
A ．是增函数且
B ．是增函数且
C ．是减函数且
D ．是减函数且
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上） 13. 将函数的图象向左平移个单位后，得函数的图象，则等于 . 14. 设命题，命题.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
15．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____． 16．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，
，那么实数的取值范围是________．
三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程。

） 17．（本小题满分12分）
在中，的对边分别为，且． (1）求的值； (2）若，，求和． 18．（本小题满分12分）
E
A
D
C
B
设各项均为正数的等比数列中，，.设. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：； 19．（本小题满分12分）
是双曲线 上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为15.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值． 20．（本小题满分12分）
如图，直角梯形与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直．∥，， ，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值； 21．（本小题满分12分） 设函数
(I)讨论的单调性；
（II ）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做。

则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图，直线过圆心，交⊙于，直线交⊙于(不与重合)，直线与⊙相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.
求证：(1) ;
(2) .
23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数) 是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线. (1)求的方程；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
24. （本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
设函数,其中.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为 ，求的值.
数学答案（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）
二、填空题：(共5小题，每小题5分)
13. 14. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12 15. 16π 16. (－2，－2]∪[2，2)
三、解答题：
17.（1）由正弦定理得，，
又，∴，… 2分 即，∴，… 4分
∴,又，∴ 。

6分 (2）由得，又，∴。

8分 由，可得，。

10分
∴，即，∴．。

12分
18．解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，
由题意有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 2＝10
a 1q 2＋a 1q 4＝40，。

2分
∴a 1＝q ＝2， 。

4分 ∴a n ＝2n ， ∴b n ＝n . 。

6分 (2)∵c 1＝1＜3，c n ＋1－c n ＝n
2n ， 。

8分
当n ≥2时，c n ＝(c n －c n －1)＋(c n －1－c n －2)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1＝1＋12＋222＋…＋n －1
2n －1，
∴12c n ＝12＋122＋223＋…＋n －1
2n . 。

10分 相减整理得：c n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－n －12n －1＝3－n ＋12n －1
＜3，
故c n ＜3. 。

12分 19．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20
b 2
＝1， 。

1分
由题意又有y 0x 0－a ·y 0
x 0＋a ＝1
5， 。

2分
可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c
a ＝30
5. 。

4
分
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－5y 2＝5b 2
y ＝x －c
，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝5c 2
，
x 1x 2
＝35b 2
4
① 。

6分
设，，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＝λx 1＋x 2
y 3＝λy 1＋y 2
又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2。

7分 化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2 。

9分 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22
＝5b 2 由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2 得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4. 。

12分 20．解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以 。

2分 因为四边形为直角梯形， ，，
所以四边形为正方形，所以． 。

4分 所以平面．
所以 ． 。

6分 （2）解法1：因为平面平面，且
所以BC ⊥平面。

8分 则即为直线与平面所成的角。

9分 设BC=a ，则AB=2a ，，所以
则直角三角形CBE 中，。

11分
即直线与平面所成角的正弦值为．。

12分 解法2：因为平面平面，且 ， 所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为， 所以 ||3
sin |cos ,|3||||
EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉=
=， 即直线与平面所成角的正弦值为．（参照解法1给步骤分）。

12分 21．解：（I ）的定义域为。

1分
令，其判别式 。

2分 （1）当时，故在上单调递增 。

3分 （2）当时，的两根都小于，在上，，
故在上单调递增。

4分 （3）当时，的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．。

6分 （II ）由（I ）知，．因为12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 1
1f x f x x x k a
x x x x x x --=
=+---。

7分
又由(I)知，．于是 。

8分
若存在，使得则．即． 。

9分
亦即 。

10分
再由（I ）知，函数在上单调递增， 。

11分 而，所以这与式矛盾．
故不存在，使得。

12分
四、选做题
（22）22.【证明】(1)连结BC,∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC.
∴∠BAC=∠CAG. 。

5分 (2)连结CF,∵EC 切⊙O 于C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF ∽△AEC. ∴,∴AC 2=AE ·AF. 。

10分
（23）解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，y 2，
由于M 点在C 1
上，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x
2＝2cos α，y
2＝2＋2sin α.
从而C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.(α为参数) 。

5分
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3
.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。

10分
（24）解：（Ⅰ）当时，
可化为.由此可得或.
故不等式的解集为.。

5分
(Ⅱ) 由得
此不等式化为不等式组或
即或因为，所以不等式组的解集为
由题设可得，故 .。

10分39823 9B8F 鮏36528 8EB0 躰25173 6255 払|` 36613 8F05 輅36251 8D9B 趛D21601 5461 呡-34465 86A1 蚡\33041 8111 脑。