(ppt)-基础工程(第4章柱下条形基础、筏形和箱形基础)
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4.4.1 基本微分方程及通解(tōngjiě) 4.4.2 简单条件下梁的计算
28
第二十八页，共一百页。
4.4.1 基本微分方程 及通解 (wēi fēn fānɡ chénɡ)
设弹性地基上的梁在荷载作用下产生如图4-13所示的变形，按变 形协调和静力平衡条件可以列出梁的基本微分方程。由于方程中涉及 到地基反力，而地基反力又取决于地基模型，故问题的求解较为复杂。 目前对于弹性地基上的梁通常(tōngcháng)采用Winkler地基模型，而且只 有简单条件下的解答。
t 1
h (ij)
zt
it
Esit
（4-8）
这就是有限压缩层地基模型的数学(shùxué)表达式。
有限压缩层地基模型的假设更加接近实际，因而其计算结果更
加可靠。但从上述公式可以看出，模型的计算工作量很大，而且真
实地基中的应力状态与分层总和法的假设有一定差距。
27
第二十七页，共一百页。
4.4 弹性(tánxìng)地基上梁的分析
3. 有限压缩(yā suō)层地基模型
天然地基不但在水平方向不均匀，在竖直方向还是成层分布的。有 限压缩层地基模型（分层地基模型）能考虑土的上述特点。
考虑地基表面作用有分布荷载，如图4-12，将荷载作用区域分为 若干个小块，每一小块的荷载可以合并起来形成一个小的集中荷载， 而集中荷载作用下地基中的应力已有弹性解答。由此可以得到地基中 的附加应力分布，于是可以用分层总和法求出地基表面任意点的沉降。 以此为基础(jīchǔ)利用叠加法可以求得所有荷载同时作用时地基表面各 点的沉降。这就是有限压缩层地基模型的基本思想。
p(1 2 )d d
ds
E (x )2 (y )2
21
第二十一页，共一百页。
y
F
or
z
s b
y
x
d
x
d
j
o
c
i
y
x
22
第二十二页，共一百页。
利用上述公式对整个荷载区域积分，可以求得地基表面任意点i
（x，y）的竖向位移为：
(1 2 ) c b
pd d
si E 0 0 (x )2 ( y )2
dx
34
第三十四页，共一百页。
可以求得梁在任意截面处的位移和内力，再由Winkler 地基模型可以确定地基反力p=kw，结果如公式（4-19），式中
的系数如公式（4-20）。
公式（4-19）只适用于x0的情形，对于x<0（即梁的左半段）
的情况，应利用(lìyòng)对称性求解，请见图4-15。实际上，当x<0 时， 边界条件1）有所改变，公式（4-17）保留下来的是第1项，故得到 的解答在形式上与（4-19）稍有差异。
基础工程
（第4章 柱下条形(tiáo xínɡ)基础、筏形和箱形基础）
第一页，共一百页。
4.1 概述 4.2 地基(dìjī)、基础与上部结构的共同作用
4.3 地基模型 4.4 弹性地基上梁的分析
4.5 柱下条形基础
4.6 筏形基础与箱形基础设计简介
2
第二页，共一百页。
4.1 概 述
在实际工程中，当荷载(hèzài)较大、地基较软或上部结构对基础 的整体性有较高要求时可将柱下独立基础或墙下条形基础连接起来， 形成柱下条形基础和筏形基础，当需要进一步增强基础的整体刚度 时，可将基础在立面上设置成一层或若干层，这就成为了箱形基础。
这几类基础的结构形式如图4-1~4-4（p. 77）。
3
第三页，共一百页。
1
3
来源(láiyuán)：http://163.20.72.9/introduce/leading.asp?
skeyword=%E8%AB%8B%E8%BC%B8%E
5%85%A5%E9%97%9C%E9%8D%B54%E5
pks
（4-1）
Winkler地基模型适用于地基土软弱或压缩层较薄的情形，
因为这两种情况与模型的假设条件比较近似。
Winkler地基模型只有一个参数k，称为基床系数。k可由地
基载荷试验或地区经验求得。
19
第十九页，共一百页。
图4-9 Winkler 地基(dìjī)模型
20
第二十页，共一百页。
2. 弹性半空间地基(dìjī)模型
（4-17）
式中的C1~C4为待定常数，决定于梁的边界条件。
32
第三十二页，共一百页。
4.4.2 简单(jiǎndān)条件下梁的计算
无限长梁承受集中荷载(hèzài)F0作用时，可将坐标系的原点设于F0
处，从而可以利用对称性（图4-14）。于是边界条件可以写为：
1）x时，w=0； 2）由对称性，当x=0时，=dw/dx=0；
EI
dw 4 dx 4
bp q
对上式引入Winkler地基模型，得到
EI
dw 4 dx 4
bkw q
写为标准形式(xíngshì)
（4-12） （4-13）
dw 4 dx 4
44w
q
当q=0时，上式成为4阶常系数齐次微分方程（4-15），式
中的为基于Winkler地基模型的参数，它综合表达了梁土体系抵
基础的变形情况对地基反力有重要影响，例如对于绝对刚性和绝 对柔性的基础，其地基反力的分布有极大的差异。反过来，地基的变 形和地基反力的分布又会对基础和上部结构的内力产生影响。这就是 通常所说的上部结构、基础和地基的相互作用，也就是3者的共同作用 问题。
12
第十二页，共一百页。
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第十三页，共一百页。
该模型将地基视为均匀的弹性半无限体，当地基表面一点作用 (zuòyòng)有竖向集中荷载F时，地基表面任意点的竖向位移为：
s F (1 2 ) F (1 2 ) Er E x2 y2
式中各符号的含义见p.82。
（4-2）
当地基表面作用有矩形分布荷载时，以荷载的某一角点为坐标原 点建立坐标系，则任意微元面积上的荷载在地基表面任意点引起的沉 降可根据（4-2）改写为：
(C4 C3 ) 0
所以有
C3 C4 C
再由边界条件3），有C=F0/2kb，所以
w F0 ex (cosx sin x)
2kb
（4-19a）
这就是无限长梁承受集中荷载F0作用(zuòyòng)时的基本解答。
对上式求导，利用微分关系
dM V , EI d M , dw
dx
dx
当p为常数时，地基表面任意点i（x，y）的竖向位移为：
p(1 2 ) c b
d d
si E 0 0 (x )2 ( y )2
求解时应注意公式的奇异点。
当荷载分布复杂时，通常可对积分进行离散化求解。如将荷载区 域划分为若干个网格，每个网格的分布荷载可视为一个(yī ɡè)作用于网 格中心的小集中荷载，然后按下述方法求解。
3类基础适用于规模(guīmó)大、层数多、结构和地基条件较为复杂 的工程。
11
第十一页，共一百页。
4.2 上部结构、基础(jīchǔ)与地基的共同作用
上部结构、地基和基础是建筑体系中的3个有机组成部分。在荷载的 作用下，3者不但要保持力的平衡，在变形上也必须协调一致。也就是说， 这3部分之间不但要满足力的平衡关系(guān xì)，也需要满足变形协调条件。
25
第二十五页，共一百页。
b
y
c
cj
i
j
bj
yi
x
0
xi
pj
i
hit t
zj
图4-12
26
第二十六页，共一百页。
考虑地基表面作用有分布荷载，荷载分块，第j 块荷载的强度
为pj，所形成的合力为Fj，则在地基表面i（x，y）点产生的沉降 可以表示为：
n
si ij Fj j 1
（4-3）
式中：
m
ij
的解答(jiědá)如公式（4-21），式中的系数仍为公式（4-20）。
37
第三十七页，共一百页。
与公式（4-19）的情况相同，（4-21）只适用于x0的情形，对 于x<0（即梁的左半段）的情况，应利用对称性求解，请见(qǐnɡ jiàn)图
4-16。
注意无限长梁上作用集中力和集中力矩时在对称性利用 上的差别。
抗变形的能力， 的表达式为：
31
第三十一页，共一百页。
4 bk
4EI
（4-16）
的单位为m-1，称为梁的柔度系数或特征系数，其倒数1/称
为梁的特征长度，而l 称为梁的柔度指数。
微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)（4-15）的通解为
w ex (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x)
35
第三十五页，共一百页。
图4-15
第三十六页，共一百页。
图4-16
36
梁上只作用力矩M0时，如图4-16，梁的边界条件为：
1）x时，w=0； 2）x=0时，w=0； 3）由对称性和平衡条件， 在x=0处的左右截面上的弯矩的数值 相等，均为M0/2，但按材料力学的规定，两者的符号相反。 根据上述边界条件可以求得C1=C2=C3=0， C4=M02/kb，相应
常规设计方法仅满足了力的平衡关系。本章介绍的三类(sān lèi) 基础的平面尺寸均比高度大得多，从力学上看均属于柔性基础，而 且由于基础的平面尺寸很大，基础的变形状态对于地基反力的分布 有重要影响，故不应采用常规方法设计。
15
第十五页，共一百页。
图4-5
16
第十六页，共一百页。
在实际(shíjì)工作中，为了简化计算，对大量建筑物通常采用简化方法 进行设计，即计算时只考虑地基和基础的共同作用，而在构造措施上体现 整个系统共同作用的特点。
%AD%97&id={7A394DE1-2D34-4FFD-9E66-8FBB2F23B979}
42
第四页，共一百页。
5
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第六页，共一百页。
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第七页，共一百页。
8
第八页，共一百页。
第九页，共一百页。
10
第十页，共一百页。
与柱下独立基础相比，柱下条形基础、筏形基础和箱形基础 具有更好的整体性、更高的承载力和更强的调节地基基础变形的 能力。筏形基础和箱形基础还可结合考虑地下空间的开发利用。 然而这3类基础的设计较为复杂，施工难度相对较大，造价也相 对较高。
3）由对称性和平衡条件， 在x=0处的左右截面上的剪力的量值
相等，均为F0 /2。
由1），得到C1=C2=0，于是
w ex (C3 cos x C4 sin x)
33
第三十三页，共一百页。
微分后引入边界条件2），有
x0
dw dx x0
ex[(C4
C3 ) cos x (C3
C4 ) sin x]x0
Fn
2n
（4-3）
写为矩阵形式：Sn F1{Sn}1=[δF]2{Fn2}
Fn
nn
（4-4）
（4-3）或（4-4）即为所求的弹性半空间地基模型。
弹性半空间地基模型假定地基是各向均匀同性体，这是其不足之
处，但该模型克服了Winkler地基模型的主要缺点，比Winkler地基
模型合理。
24
第二十四页，共一百页。
14
第十四页，共一百页。
上部结构、基础和地基的相互作用在建筑体系中是广泛存在的 现象，但不同的结构体系有显著的差异。当结构的体型较小，或地 基的差异变形对结构的内力分布不会产生显著影响时，也没有必要 完全按照共同作用的思想进行设计。常规设计方法的思想如图4-5 所示。考虑3者共同作用的设计方法则需要采用迭代法，通常计算 工作量很大，所以目前仅用于重要和大型的建筑物。
17
第十七页，共一百页。
4.3 地基(dìjī)模型
考虑地基、基础和上部结构共同作用的关键是确定地基 模型。所谓
。目前工程中使用的地基模型主要是 线性模型。下面介绍3类有代表性的线性模型，其中主要是 Winkler地基模型。
18
第十八页，共一百页。
1. Winkler地基(dìjī)模型
Winkler将地基离散为一系列互不相干的弹簧，也就是将地基 分解为一系列竖直的土柱并略去了土柱之间的剪力，由此得出了 地基表面的沉降与压力成正比而且地基表面各点之间互不相干的 结论。 Winkler地基模型(móxíng)的数学表达式为：
对图4-13的梁建立坐标系。对任意微段进行力学分析，由静力 平衡关系，可以写出
dV bp q dx
（4-10）
材料力学(cái liào lìxué)，有：
dM V , EI d M , dw
dx
dx
dx
图4-13
30
第三十页，共一百页。
将上列关系带入（4-10），得到：
23
第二十三页，共一百页。
取网格j的集中力为Fj，如网格j中点受单位集中力作用 (zuòyòng)即Fj =l时，在网格i中点引起的竖向变形为δij（i=l，2，…，
n；j=l，2，…，n），则各网格中点的竖向变形Si可计算如下：
S1 F111 F212 S2 F121 F222
Fn1n
如图4-18（a），在半无限长梁的一端作用一集中力F0，
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第二十八页，共一百页。
4.4.1 基本微分方程 及通解 (wēi fēn fānɡ chénɡ)
设弹性地基上的梁在荷载作用下产生如图4-13所示的变形，按变 形协调和静力平衡条件可以列出梁的基本微分方程。由于方程中涉及 到地基反力，而地基反力又取决于地基模型，故问题的求解较为复杂。 目前对于弹性地基上的梁通常(tōngcháng)采用Winkler地基模型，而且只 有简单条件下的解答。
t 1
h (ij)
zt
it
Esit
（4-8）
这就是有限压缩层地基模型的数学(shùxué)表达式。
有限压缩层地基模型的假设更加接近实际，因而其计算结果更
加可靠。但从上述公式可以看出，模型的计算工作量很大，而且真
实地基中的应力状态与分层总和法的假设有一定差距。
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第二十七页，共一百页。
4.4 弹性(tánxìng)地基上梁的分析
3. 有限压缩(yā suō)层地基模型
天然地基不但在水平方向不均匀，在竖直方向还是成层分布的。有 限压缩层地基模型（分层地基模型）能考虑土的上述特点。
考虑地基表面作用有分布荷载，如图4-12，将荷载作用区域分为 若干个小块，每一小块的荷载可以合并起来形成一个小的集中荷载， 而集中荷载作用下地基中的应力已有弹性解答。由此可以得到地基中 的附加应力分布，于是可以用分层总和法求出地基表面任意点的沉降。 以此为基础(jīchǔ)利用叠加法可以求得所有荷载同时作用时地基表面各 点的沉降。这就是有限压缩层地基模型的基本思想。
p(1 2 )d d
ds
E (x )2 (y )2
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第二十二页，共一百页。
利用上述公式对整个荷载区域积分，可以求得地基表面任意点i
（x，y）的竖向位移为：
(1 2 ) c b
pd d
si E 0 0 (x )2 ( y )2
dx
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第三十四页，共一百页。
可以求得梁在任意截面处的位移和内力，再由Winkler 地基模型可以确定地基反力p=kw，结果如公式（4-19），式中
的系数如公式（4-20）。
公式（4-19）只适用于x0的情形，对于x<0（即梁的左半段）
的情况，应利用(lìyòng)对称性求解，请见图4-15。实际上，当x<0 时， 边界条件1）有所改变，公式（4-17）保留下来的是第1项，故得到 的解答在形式上与（4-19）稍有差异。
基础工程
（第4章 柱下条形(tiáo xínɡ)基础、筏形和箱形基础）
第一页，共一百页。
4.1 概述 4.2 地基(dìjī)、基础与上部结构的共同作用
4.3 地基模型 4.4 弹性地基上梁的分析
4.5 柱下条形基础
4.6 筏形基础与箱形基础设计简介
2
第二页，共一百页。
4.1 概 述
在实际工程中，当荷载(hèzài)较大、地基较软或上部结构对基础 的整体性有较高要求时可将柱下独立基础或墙下条形基础连接起来， 形成柱下条形基础和筏形基础，当需要进一步增强基础的整体刚度 时，可将基础在立面上设置成一层或若干层，这就成为了箱形基础。
这几类基础的结构形式如图4-1~4-4（p. 77）。
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来源(láiyuán)：http://163.20.72.9/introduce/leading.asp?
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5%85%A5%E9%97%9C%E9%8D%B54%E5
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（4-1）
Winkler地基模型适用于地基土软弱或压缩层较薄的情形，
因为这两种情况与模型的假设条件比较近似。
Winkler地基模型只有一个参数k，称为基床系数。k可由地
基载荷试验或地区经验求得。
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第十九页，共一百页。
图4-9 Winkler 地基(dìjī)模型
20
第二十页，共一百页。
2. 弹性半空间地基(dìjī)模型
（4-17）
式中的C1~C4为待定常数，决定于梁的边界条件。
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第三十二页，共一百页。
4.4.2 简单(jiǎndān)条件下梁的计算
无限长梁承受集中荷载(hèzài)F0作用时，可将坐标系的原点设于F0
处，从而可以利用对称性（图4-14）。于是边界条件可以写为：
1）x时，w=0； 2）由对称性，当x=0时，=dw/dx=0；
EI
dw 4 dx 4
bp q
对上式引入Winkler地基模型，得到
EI
dw 4 dx 4
bkw q
写为标准形式(xíngshì)
（4-12） （4-13）
dw 4 dx 4
44w
q
当q=0时，上式成为4阶常系数齐次微分方程（4-15），式
中的为基于Winkler地基模型的参数，它综合表达了梁土体系抵
基础的变形情况对地基反力有重要影响，例如对于绝对刚性和绝 对柔性的基础，其地基反力的分布有极大的差异。反过来，地基的变 形和地基反力的分布又会对基础和上部结构的内力产生影响。这就是 通常所说的上部结构、基础和地基的相互作用，也就是3者的共同作用 问题。
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第十三页，共一百页。
该模型将地基视为均匀的弹性半无限体，当地基表面一点作用 (zuòyòng)有竖向集中荷载F时，地基表面任意点的竖向位移为：
s F (1 2 ) F (1 2 ) Er E x2 y2
式中各符号的含义见p.82。
（4-2）
当地基表面作用有矩形分布荷载时，以荷载的某一角点为坐标原 点建立坐标系，则任意微元面积上的荷载在地基表面任意点引起的沉 降可根据（4-2）改写为：
(C4 C3 ) 0
所以有
C3 C4 C
再由边界条件3），有C=F0/2kb，所以
w F0 ex (cosx sin x)
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（4-19a）
这就是无限长梁承受集中荷载F0作用(zuòyòng)时的基本解答。
对上式求导，利用微分关系
dM V , EI d M , dw
dx
dx
当p为常数时，地基表面任意点i（x，y）的竖向位移为：
p(1 2 ) c b
d d
si E 0 0 (x )2 ( y )2
求解时应注意公式的奇异点。
当荷载分布复杂时，通常可对积分进行离散化求解。如将荷载区 域划分为若干个网格，每个网格的分布荷载可视为一个(yī ɡè)作用于网 格中心的小集中荷载，然后按下述方法求解。
3类基础适用于规模(guīmó)大、层数多、结构和地基条件较为复杂 的工程。
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第十一页，共一百页。
4.2 上部结构、基础(jīchǔ)与地基的共同作用
上部结构、地基和基础是建筑体系中的3个有机组成部分。在荷载的 作用下，3者不但要保持力的平衡，在变形上也必须协调一致。也就是说， 这3部分之间不但要满足力的平衡关系(guān xì)，也需要满足变形协调条件。
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第二十六页，共一百页。
考虑地基表面作用有分布荷载，荷载分块，第j 块荷载的强度
为pj，所形成的合力为Fj，则在地基表面i（x，y）点产生的沉降 可以表示为：
n
si ij Fj j 1
（4-3）
式中：
m
ij
的解答(jiědá)如公式（4-21），式中的系数仍为公式（4-20）。
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第三十七页，共一百页。
与公式（4-19）的情况相同，（4-21）只适用于x0的情形，对 于x<0（即梁的左半段）的情况，应利用对称性求解，请见(qǐnɡ jiàn)图
4-16。
注意无限长梁上作用集中力和集中力矩时在对称性利用 上的差别。
抗变形的能力， 的表达式为：
31
第三十一页，共一百页。
4 bk
4EI
（4-16）
的单位为m-1，称为梁的柔度系数或特征系数，其倒数1/称
为梁的特征长度，而l 称为梁的柔度指数。
微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)（4-15）的通解为
w ex (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x)
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第三十五页，共一百页。
图4-15
第三十六页，共一百页。
图4-16
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梁上只作用力矩M0时，如图4-16，梁的边界条件为：
1）x时，w=0； 2）x=0时，w=0； 3）由对称性和平衡条件， 在x=0处的左右截面上的弯矩的数值 相等，均为M0/2，但按材料力学的规定，两者的符号相反。 根据上述边界条件可以求得C1=C2=C3=0， C4=M02/kb，相应
常规设计方法仅满足了力的平衡关系。本章介绍的三类(sān lèi) 基础的平面尺寸均比高度大得多，从力学上看均属于柔性基础，而 且由于基础的平面尺寸很大，基础的变形状态对于地基反力的分布 有重要影响，故不应采用常规方法设计。
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图4-5
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第十六页，共一百页。
在实际(shíjì)工作中，为了简化计算，对大量建筑物通常采用简化方法 进行设计，即计算时只考虑地基和基础的共同作用，而在构造措施上体现 整个系统共同作用的特点。
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与柱下独立基础相比，柱下条形基础、筏形基础和箱形基础 具有更好的整体性、更高的承载力和更强的调节地基基础变形的 能力。筏形基础和箱形基础还可结合考虑地下空间的开发利用。 然而这3类基础的设计较为复杂，施工难度相对较大，造价也相 对较高。
3）由对称性和平衡条件， 在x=0处的左右截面上的剪力的量值
相等，均为F0 /2。
由1），得到C1=C2=0，于是
w ex (C3 cos x C4 sin x)
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第三十三页，共一百页。
微分后引入边界条件2），有
x0
dw dx x0
ex[(C4
C3 ) cos x (C3
C4 ) sin x]x0
Fn
2n
（4-3）
写为矩阵形式：Sn F1{Sn}1=[δF]2{Fn2}
Fn
nn
（4-4）
（4-3）或（4-4）即为所求的弹性半空间地基模型。
弹性半空间地基模型假定地基是各向均匀同性体，这是其不足之
处，但该模型克服了Winkler地基模型的主要缺点，比Winkler地基
模型合理。
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上部结构、基础和地基的相互作用在建筑体系中是广泛存在的 现象，但不同的结构体系有显著的差异。当结构的体型较小，或地 基的差异变形对结构的内力分布不会产生显著影响时，也没有必要 完全按照共同作用的思想进行设计。常规设计方法的思想如图4-5 所示。考虑3者共同作用的设计方法则需要采用迭代法，通常计算 工作量很大，所以目前仅用于重要和大型的建筑物。
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4.3 地基(dìjī)模型
考虑地基、基础和上部结构共同作用的关键是确定地基 模型。所谓
。目前工程中使用的地基模型主要是 线性模型。下面介绍3类有代表性的线性模型，其中主要是 Winkler地基模型。
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第十八页，共一百页。
1. Winkler地基(dìjī)模型
Winkler将地基离散为一系列互不相干的弹簧，也就是将地基 分解为一系列竖直的土柱并略去了土柱之间的剪力，由此得出了 地基表面的沉降与压力成正比而且地基表面各点之间互不相干的 结论。 Winkler地基模型(móxíng)的数学表达式为：
对图4-13的梁建立坐标系。对任意微段进行力学分析，由静力 平衡关系，可以写出
dV bp q dx
（4-10）
材料力学(cái liào lìxué)，有：
dM V , EI d M , dw
dx
dx
dx
图4-13
30
第三十页，共一百页。
将上列关系带入（4-10），得到：
23
第二十三页，共一百页。
取网格j的集中力为Fj，如网格j中点受单位集中力作用 (zuòyòng)即Fj =l时，在网格i中点引起的竖向变形为δij（i=l，2，…，
n；j=l，2，…，n），则各网格中点的竖向变形Si可计算如下：
S1 F111 F212 S2 F121 F222
Fn1n
如图4-18（a），在半无限长梁的一端作用一集中力F0，