湖南省株洲市醴陵安沙尼实验学校2018年高三数学文联考试卷含解析

湖南省株洲市醴陵安沙尼实验学校2018年高三数学文
联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2,x∈R}，则M∩N= （）
A． B．N
C．[1,+∞） D．M
参考答案：
B
2. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方
盖）．
∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故选：B．
3. 设全集等于
A．{4} B．{2，3，4，5} C．{1，3，4，5} D．
参考答案：
A
4. △中，角成等差数列是成立的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
5. 已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离
为d，则|PA|+d的最小值为（）
A． B．2 C．
D．
参考答案：
A
6. 下列命题中正确的是
A．命题“，使得”的否定是“，均有”；
B．命题“若，则x=y”的逆否命题是真命题：
C．命题”若x=3，则”的否命题是“若，则
”；
D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．
参考答案：
C
略
7. 为了得到函数的图象，则只要将的图像（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
参考答案：
C
8. 若集合，那么（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（）
A. 150°
B. 120°
C. 60°
D. 30°
参考答案：
B
∵，且与垂直，∴，即，
∴，∴，∴与的夹角为．
故选．
10. 已知函数，若有且仅有一个整数k，使得，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
函数，若有且仅有一个整数，使得，不等式程只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到
，解得不等式组解集为.
故答案为：.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则
= ．
参考答案：
3
【考点】正弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出．
【解答】解：∵a=1，sinA=，∴=3．
则==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是
________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为
_____________.
参考答案：
【答案】,
【解析】易得圆C的方程是, 直线的倾斜角为,所以直线的斜率为
13. 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_____．
参考答案：
略
14. 已知为坐标原点，点.若点为平面区域上的动点，则
的取值范围是 .
参考答案：
略
15. 在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 _________________.
参考答案：
12
略
16. 若满足约束条件，则函数的最小值
为．
参考答案：
5
17. （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为．（用数字填写答案）
参考答案：
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】根据展开式中x4y4的得到的两种可能情况，利用二项展开式的图象解答．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）7的展开式中x4y4的项为x×+y（﹣1）3，所以系数为=0；
故答案为：0．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线
x2=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k1和k2，是否存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值1；当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．由此求出存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON 的面积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．
x2=4y的准线方程为y=﹣1，
∴，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），
由，消去y，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴|MN|=
=
=，
点O到直线y=kx+m的距离d=，
==2，
==
=
=，
设=p，则4k2=（1﹣4p）m2+4p，
于是，
由S△MON为定值，得为定值，
从而4p+1=0，解得p=﹣，此时，S△MON=1．
当直线MN不存在斜率时，
若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．
综上，存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．
19. 已知函数
（1）求函数的对称中心；
（2）已知在中，角A、B、C所对的边分别为，且的外接圆半径为，求周长的最大值。

参考答案：
由
………………………………………………………2分
（1）令
所以函数……………5分
（2）由
又因为
由…………8分
又
由余弦定理得：
当且仅当周长的最大值为9………………12分
20. 已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的k
（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a n≤2a1+a2+…+a n﹣1（n≥2）；
（Ⅲ）若a n=72，求数集A中所有元素的和的最小值．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；
（Ⅱ）利用集合A={a1，a2，…，a n}具有性质P，可分析得到a i≤a k﹣1，a j≤a k﹣1，从而
a k=a i+a j≤2a k﹣1，（k=2，3，…n），将上述不等式相加得a2+…+a n﹣1+a n≤2（a1+a2+…+a n﹣1）即可证得结论；
（Ⅲ）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
再利用反证法证明满足S=a i≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．
【解答】解：（Ⅰ）因为3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P．
因为2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P …
（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，a n}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立，
又因为1=a1＜a2＜…＜a n，n≥2，所以a i＜a k，a j＜a k
所以a i≤a k﹣1，a j≤a k﹣1，所以a k=a i+a j≤2a k﹣1
即a n﹣1≤2a n﹣2，a n﹣2≤2a n﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1…
将上述不等式相加得a2+…+a n﹣1+a n≤2（a1+a2+…+a n﹣1）
所以a n≤2a1+a2+…+a n﹣1…
（Ⅲ）最小值为147．
首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2
所以易知数集A的元素都是整数．
构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
下面，我们证明147是最小的和
假设数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥2），满足最小（存在
性显然，因为满足的数集A只有有限个）．
第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥2）中至少有8个元素：由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，
所以n≥8
第二步：证明a n﹣1=36，a n﹣2=18，a n﹣3=9：
若36∈A，设a t=36，因为a n=72=36+36，为了使得最小，在集合A
中一定不含有元素a k，使得36＜a k＜72，从而a n﹣1=36；
假设36?A，根据性质P，对a n=72，有a i，a j，使得a n=72=a i+a j
显然a i≠a j，所以a n+a i+a j=144
而此时集合A中至少还有5个不同于a n，a i，a j的元素，
从而S＞（a n+a i+a j）+5a1=149，矛盾，
所以36∈A，进而a t=36，且a n﹣1=36；
同理可证：a n﹣2=18，a n﹣3=9
（同理可以证明：若18∈A，则a n﹣2=18）．
假设18?A．
因为a n﹣1=36，根据性质P，有a i，a j，使得a n﹣1=36=a i+a j
显然a i≠a j，所以a n+a n﹣1+a i+a j=144，
而此时集合A中至少还有4个不同于a n，a n﹣1，a i，a j的元素
从而S＞a n+a n﹣1+a i+a j+4a1=148，矛盾，
所以18∈A，且a n﹣2=18
同理可以证明：若9∈A，则a n﹣3=9
假设9?A
因为a n﹣2=18，根据性质P，有a i，a j，使得a n﹣2=18=a i+a j
显然a i≠a j，所以a n+a n﹣1+a n﹣2+a i+a j=144
而此时集合A中至少还有3个不同于a n，a n﹣1，a n﹣2，a i，a j的元素
从而S＞a n+a n﹣1+a n﹣2+a i+a j+3a1=147，矛盾，
所以9∈A，且a n﹣3=9）
至此，我们得到了a n﹣1=36，a n﹣2=18，a n﹣3=9a i=7，a j=2．
根据性质P，有a i，a j，使得9=a i+a j
我们需要考虑如下几种情形：
①a i=8，a j=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素a k，才能得到元素8，
则S＞148；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素a k，才能得到元素7，
则S＞148；
③a i=6，a j=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；
④a i=5，a j=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…
21. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数a的取值范
围.
参考答案：
解：（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得．
所以的解集为．
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，
所以．
因为，所以，
且，①
当时，①式等号成立，即．
又因为，②
当时，②式等号成立，即．
所以，整理得，，
解得或，即的取值范围为．
22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单
位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由，得
所以曲线C的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.
设、两点对应的参数分别为、，则，，
∴，
当时，的最小值为4.
略。