分数阶控制系统仿真研究 毕业设计论文

摘要
分数阶微积分是整数阶微积分的一种推广，即是将阶次推广到实数范围内，其诞生于300多年前，发展到现在，分数阶微积分已经应用于许多的领域，并逐渐发展成为一个非常热门的研究方向。

分数阶控制系统即用分数阶微分方程而非整数阶微分方程来表述的系统，与整数阶微分方程表述的系统相比，分数阶控制系统可以在本质上反映实际系统的真实变化过程，所以与利用整数阶控制系统模型相比利用分数阶控制系统模型可以比较全面清晰地分析系统。

本文给出了分数阶微积分的定义及其性质，分数阶控制系统的求解：包括数值解法和解析解法，并给出了仿真实例，最后对分数阶控制系统的进行了仿真分析，并给出了仿真实例。

关键词分数阶微积分，分数阶控制系统，分数阶控制器，仿真
Abatract
Fractional calculus is a generalization of the fractional calculus. That is, degree order will be extended Within the scope of real Numbers. It was invented more than 300 years ago,and now, Fractional calculus has been used in many fields, and gradually developed into a very hot research direction. Fractional order control system with fractional order differential equation rather than integer order differential equation to describe the system. Compared with Integer order differential equation to describe the system,The fractional order control system can reflect the Real change of the actual system in essence, So compared with using integer order control system model, using fractional order control system model can analysis system more comprehensive and clearly. In this paper, we give the definition of fractional calculus and their properties, Solution of the fractional order control system: Including the numerical solution and analytic solution,and give the simulation. Finally analysis the fractional order control system, and give the simulation.
Keywords fractional calculus,fractional-order controller system,
fractional-order controller,simulation
I
目录
摘要 (I)
Abatract (I)
1绪论 (1)
1.1 课题的背景和意义 (1)
1.2分数阶微积分的应用发展 (2)
1.3本文研究内容 (3)
2数学理论基础....................................................................................................... .. (3)
2.1数学基本函数 (4)
2.2 分数阶微积分的定义 (8)
2.3 分数阶微积分的性质 (11)
2.4 拉普拉斯变换 (12)
2.5分数阶微积分的仿真实例 (13)
2.6本章小结 (17)
3 分数阶控制系统的求解 (18)
3.1 分数阶微分方程 (18)
3.2分数阶微分方程的数值解法 (20)
3.3分数阶微分方程的解析解法 (25)
3.4 本章小结 (31)
4分数阶控制系统的仿真 (32)
4.1整数阶控制系统仿真实例 (32)
4.2分数阶控制系统仿真实例 (36)
4.3 本章小结 (44)
5结论......................................................................................................................... . (45)
致谢 (46)
参考文献 (46)
附录1外文资料翻译.................................................................................................. ..47 A1.1译文：分数阶控制系统的频域稳定性条件.. (47)
A1.2原文：Frequency Domain Stability Criteriafor
Fractional-order Control Systems (57)
附录2 附录程序........................................................................................................ ..68
1绪论
1.1 课题的背景和意义
分数阶微积分是一个历史悠久且依然新颖的概念，其诞生于300年前，分数阶微积分主要研究的是任意阶次的微分和积分的算子特性以及应用问题。

在分数阶诞生的时候，就有很多数学家及数学爱好者就开始对其进行研究，想要比较清晰地介绍分数阶微积分的数学定义，但是，在早期的研究中，由于缺乏一定的相应的应用背景，以及计算繁琐困难等方面的问题，分数阶微积分理论以及它的应用方面的研究问题一直没有太多的引起人们的关注，其研究大多停留在理论研究的方面，而没有得到系统的应用。

这在一定的程度上限制了科学技术在实际工程中的应用。

但是，进入20世纪之后，随着自然科学方面的极速发展，以及复杂工程对于其需求的急剧增加，特别是随着计算机技术的产生及其迅速的发展，分数阶微积分理论在许多领域都产生了巨大的影响，促进了这些领域的迅速发展，这些变化反过来有极大的促进了分数阶微积分理论的发展，现在分数阶理论及其应用研究已经成为国际研究领域中的热门领域，在自动控制领域也已出现分数阶控制理论等新的研究分支。

这些研究分支的出现，使得分数阶微积分理论得以迅速的发展。

在实际的应用系统中，多多少少都会受到非整数阶次一定的影响，尤其是一些扩散和传导等一些动态过程，都是一些所谓典型的非整数阶的系统过程，在分析这些过程的时候，需要运用非整数阶理论的分析方法才能很好地运动状态对系统进行分析，以获得系统的等方面的信息。

在一些控制系统中，加入一些分数阶环节后，可以增加微分积分阶次，从而使系统控制方式灵活性大幅增加，可以得到较未加入时更好的效果，但是这同时也一定程度上增加了设计及实现的难度，这些年来自动控制理论在分数阶方面的研究俨然已经成为科学界的一大热点。

吸引着来自各个领域越来越多的研究人员，也使得越来越多的资金及科技流向这一领域。

一些西方的国家，由于科学技术的巨大领先优势，得以可以较早的摄入这一领域，投资巨大，已经在航天领域，材料加工，国防工业中深入地运用了分数阶理论，反之，由于国内科技及各方面起步比较晚，以致在分数阶理论研究领域与西方国家有很大的差距，但是在卫星运行，轨道交通等方面已有一定的运用，收获了极好的效果，分数阶控制系统方面的研究具有非常重大的研究意义，因此，这是一个值得研究的课题。

1.2分数阶微积分的应用发展
虽然分数阶控制理论还在不断快速发展中，还在慢慢的进一步达到完善状态，但是，这些年来，特别是最近十年来，随着计算机软硬件技术的极速的发展，分数阶理论在很多领域都得到了很好的应用，在金属冶炼，化工工业，机械工业等方面的应用发展，已经表明分数阶控制俨然已经成了自动控制理论领域一个全新的分支展现在人们的面前。

在20世纪的末期，在控制系统设计及实施方面的应用中分数阶微积分理论得到了长足的发展，取得了令人瞠目结舌的成果，Podlubny教授在他书写的书里面，详细地介绍分数阶微积分具体的计算方法，及其分数阶微积分方程的具体的解法，并对分数阶微分积分理论方面提供了物理方面的理论解释，提到以矩阵的办法开始来进行分数阶微积分的运算，把拉氏变换，傅氏变换等数学基础工具带入到分数阶控制系统的计算及设计里来，对分数阶控制系统理论的极速发展进行了理论方面的铺垫。

Podlubny教授在进行分数阶控制系统的研究的基础之上，系统的提出分数阶P 控制器，由于在原有存在的基础上又增加了λ，μ这两个参数变量，整个控制系统又增加了两个可调参数变量，也就是控制器更加灵活的对受控对象进行控制，因此，这一理论的提出，对分数阶控制理论的长足全面的发展产生了巨大的促进，这一理论也就成为分数阶控制系统具有里程碑性质的理论，对于分数阶控制系统的研究具有重大的意义。

现在，Podlubny教授依然走在分数阶控制研究领域的最前沿，因为分数阶微积分方程可以对受控对象进行更为精确的描述，而分数阶Pλμ控制器在其相应的范围之内受被控的对象及其本身的参数变化影响较小，在描述系统的动态特性及其稳态性能的方面，分数阶Pλμ控制器跟整数阶控制器相比是有着非常大的优势的，另外，随着分数阶Pλμ控制器在航天领域，国防工业等控制方面的相当成功的应用，进而也在一定方面促进了分数阶微积分理论长足全面的发展。

但是，需要明确认识的是，分数阶控制理论现在还远远不能满足所有对其有需求的各个领域的需求，而且理论还有些方面还不够完善，需要进一步的研究以适应科学技术的发展对其的需求。

1.3本文研究内容
本文的主要内容是分数阶控制理论在数学方面相关的基础知识，分数阶控制系统的求解以及分数阶控制系统的具体仿真实例。

第二章为数学理论基础，主要介绍了分数阶微积分要用到的数学方面的知识，介绍了三种基本的数学函数Gamma函数和Bata函数以及Mittag-Leffler函数，分数阶微积分中常用到的拉普拉斯变换。

给出了分数阶微积分的三种定义形式，Grünwald-Letnikov定义与R-L定义及其Caputo定义[1]。

以及分数阶微积分的相关性质；给出了分数阶微积分的具体仿真实例。

第三章为分数阶控制系统的求解，分数阶控制系统的求解，即为分数阶微分方程的求解。

主要给出了分数阶微积分方程的两种求解方法，包括数值解法和解析解法[2]。

并分别进行了具体的仿真实例分析。

第四章为分数阶控制系统的仿真，主要介绍了整数阶控制系统和分数阶控制系统，并对这两种控制系统分别进行了仿真实例分析，以观察整数阶控制系统和分数阶控制系统的不同特点。

2 数学理论基础
本章主要介绍的是分数阶控制系统的数学基础，在现阶段的自然科学研究中，分数阶微积分扮演者非常重要的角色，本章将着重介绍分数阶微积分中需要用到的数学基础知识，以便在后面的讨论中得以更加的得心应手。

分数阶微积分的数学基础包括数学常用基本函数，在本章第一节中将着重介绍三种函数Gamma 函数，Bata 函数及其Mittag-Leffler 函数，在第三第四节中将介绍拉普拉斯变换，这三种函数及变换形式是第二节学习分数阶微积分定义时所必须要了解的，只有理解这三种函数，我们才能更好地理解分数阶微积分的定义。

随着分数阶的发展，不同的数学家们分别提出了不同的定义形式，这些定义形式大都在实践中得到了检验，在第二节中将着重介绍三种常见的定义形式，根据这些定义形式我们可以对分数阶微积分有着清晰的认识。

在第五节中，将举一个分数阶微积分的仿真实例，通过这个例子，通过参数变化而引起的图形变化，在这里可以了解分数阶微积分的作用。

2.1数学基本函数
本小节就将介绍分数阶微积分中常用到的这三种数学基本函数。

1.1.1 Gamma 函数
毫无疑问，分数阶微积分中最常用的的数学基本函数就是欧拉的Gamma 函数，它是用n!来表示的，这里的n 可以是实数也可以是复数。

Gamma 函数的积分形式的定义形式如下：
()10t z z dt e t ∞
--Γ=⎰ (2.1)
式中：Re(z)>0。

Gamma 函数的极限形式的定义形式如下：
()()!lim 1z
n n z z z n n →∞++ (2.2) 其中：Re(z)>0, 它在复平面右半平面内是收敛的。

Gamma 函数具有下面的性质：
(2.3)
其中由以上中前两个可以推导出下面一个：
Γ(2)=1*Γ(1)=1
Γ(3)=2*Γ(2)=2*1!=2!
Γ(4)=3*Γ(3)=3*2!=3!
所以，以此类推，可以得到如下式子：
Γ(n+1)=n*Γ(n)=n*(n -1)! =n! (2.4) 记为Γ(n) =n!,这个性质在以后的推导是会经常用到，在这里应该了解它的推导过程。

Gamma 函数还有非常重要的一个性质，即为在z=-n(n=0，1，2…)时是单极点，可以用下面的式子表示：
()()1011!
1k t z k z dt k k z e t ∞∞--=Γ=++-∑⎰ (2.5) 这其中，积分形式
11t z dt e t ∞--⎰可以表示一个广义范围内的积分。

2.1.2 Bata 函数
Bata 函数也是常用的数学基本函数之一，其可以看成是Gamma 函数的特殊形式，在许多情况下，使用Bata 函数来代替Gamma 函数可以收获更加方便快捷的运算效果。

Bata 函数的数学定义形式如下：
()()()1
110,1z B z d ωωτττ--=-⎰ (2.6)
其中式子中的Re(z)>0， Re(ω)>0。

可以用拉式变换在Bata 函数和Gamma 函数的之间来建立特定的联系，用积分形式表示如下所示：
()()()()1
11,01z z w
t d h ωτττ--=-⎰ (2.7)
其中式子中的Re(z)>0， Re(ω)>0。

由以上两个式子我们可以得到
()()(
)()()()1111,021!,z z z z z z N ⎧Γ+=Γ⎪⎪⎛⎫Γ=Γ=Γ=±∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪Γ=-∈⎩
()(),z w
t h =(),B z ω (2.8) 由拉式变换在Bata 函数和Gamma 函数的之间来建立特定的联系如下：
()()()()
,z B z z ωωωΓΓ=Γ+ (2.9) 而且在这里根据式子还可以得到改变参数顺序不改变结果。

根据Bata 函数以及Gamma 函数在这里还可以得到以下两个非常重要的关系表达式如下：
()()()
1sin z z z ππΓΓ-= (2.10) 在这个式子中如果让z=1/2的话，那么在这里就可以得到Gamma 函数的一个特殊的定值形式，即为：
1
2⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭
(2.11) 另外一个为：
()()211
22z z z z -⎛⎫ΓΓ+=Γ ⎪⎝
⎭ (2.12) 其中2z ≠0，-1，-2，…
如果对于以上式子中令z=n+1/2的话，那么在这里可以得到
22!12!2n
n n n ⎛⎫Γ+= ⎪⎝
⎭ (2.13)
2.1.3 Mittag-Leffler 函数
无论是在整数阶的微分方程还是在分数阶的微分方程中，指数函数都在扮演着非常重要的角色，Mittag-Leffler 函数是一种非常特殊的数学指数函数类型，在分数阶微分方程之中同样也扮演着相当重要的角色，指数函数可以看成是由Mittag-Leffler 函数在特殊情况下的特殊形式。

由于参数变量个数的不同情况，Mittag-Leffler 函数可以有单个参数，双参数等这些表现形式[3]。

单个参数变量的Mittag-Leffler 函数的数学表达式为： ()()01j j z j z E αα∞
==Γ+∑
(2.14) 其中ɑ>0。

双参数变量的Mittag-Leffler 函数的数学表达式为：
()(),0j j z j z E αβαβ∞
==Γ+∑
(2.15) 其中ɑ>0,β>0.
当ɑ=1的时候，式子(2.14) 可以表示成为：
()()100!j j z j j z j j z z e E β∞∞=====Γ+∑∑ (2.16)
广义范围内的Mittag-Leffler 函数的数学表达式为
()()()()()(),1111j
j j z j j z
E γαβγβγα∞=Γ+=+ΓΓΓ+Γ+∑
(2.17) 其中式子中的ɑ，β，γ∈C;Re(ɑ)>0.
如果对式子(1.15) 中求其k 阶次的导数，就可以得到以下的式子：
()()()(),0!
!j
k j j k z j j z E αβαβ∞=+=Γ+∑
(2.18) 其中k=0,1,2…
为了更加方便的叙述和表达，在这里引入新的函数：
()()()1
,,;,k k k t y y t t E αβααβαβε+-=
(2.19) 其中k=0,1,2…
在这里可以对这个函数式子进行拉式变换，可以得到：
()()1
!
,;,0k k st t y dt k s
e y s αβ
αβαε-+∞-±=⎰
(2.20) 其中Re(s)>1/||y α。

在这里对函数(),;,k t y αβε来求导可以得到：
()()0,;,,;,k k t y t y t D λαβαβλεε=-
(
2.21) 其中λ和β满足关系式 λ<β。

2.2 分数阶微积分的定义
与整数阶微积分不同的是，分数阶微积分实际上就是，非整数阶形式的微积分形式，或者可以称之为任意阶次的微积分形式，它的阶次可以是整数也可以是分数形式，甚至可以推广到复数形式，数学家和数学研究人员分别从不同角度出发，对分数阶微积分给出了不同的定义，这些定义大多都已经在实践之中得到了验证，一般的情况下，分数阶微积分的一般表达形式为：
()()()()()()
()(),Re 0,Re 0,Re 0t t f t f t f t f d d t D d ααααααατατ-⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<⎪⎩⎰ (2.22) 在上述式子中：t
D αα是所谓的积分或者微分运算的操作算子，参数ɑ是微积分操作算子的上限，参数t 为微积分操作算子的下限，参数ɑ可以是实数也可以是复数。

不同的数学家们和研究人员对微积分定义所给出的形式会有所不同的，本文中我们将着重介绍G -L 定义与Riemann-Liouville 定义及其Caputo 定义这三种定义形式。

2.2.1 Grünwald-Letnikov 定义
分数阶微积分的Grünwald-Letnikov 定义是由Letnikov 在1868年提出的，他把函数传统整数阶次的积分形式推广扩展到
分数形式，下面大致给出这一定义的基本的推导过程：
在这里可以假设一个函数f(t),设函数f(t)可导的，那么通过之前学习到的理论在这里可以比较容易的得到函数的一阶，二阶还有三阶导数的形式：
()()()0
lim h f t h f t f t h →+-'= (2.23) ()()()()2
022lim h f t h f t h f t f t h →+-++''=
(2.24) ()()()()()303323lim h f t h f t h f t h f t f t h →+-+++-'''=
(2.25) 由以上式子以此类推在这里可以得到函数的n 次阶导数的数学表达形式为：
()
()()()
lim 1n
j
n n
h j n
t f t jh j f h -→=⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
-∑
(2.26)
在上面的式子中的n j ⎛⎫
⎪⎝⎭
是一种递推系数的表达式，它的函数形式可以由下面的式子
表示：
()()()11!
!!!n n n n j n j j j n j ++-⎛⎫== ⎪
-⎝⎭
(2.27) 当ɑ为负数形式的时候，就可以得到以下的表达式：
()()
()
()11!!!!
1j
n n n j n j j j n j α------+⎛⎫=
= ⎪-⎝⎭
-
(2.28)
由以上的推导加之根据式子(2.26)，在这里可以得到函数f(t)的n 阶次的积分定义的形式表达式子如下：
()
()()00lim n
n n
h j n t f t jh j f h
-→=⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∑ (2.29)
对于式子(2.26)和 (2.29)，如果将之推广到一般形式，将以上式子中的n 推
广到任意的正实数λ，同时在这里设定参数ɑ是微积分操作算子的下限，参数t 为微积分操作算子的上限。

由于在之前的章节中对Gamma 函数进行了一些介绍，下面的介绍就直接引用Gamma 函数的一些结论和定义，在这里假定函数f(t)在给定的区域范围内满足存在n+1阶次的导数，那么对于任意给定的实数ɑ的时候，在这里可以很快的推导出函数f(t)的任意λ阶次的微积分的定义形式为以下所示的式子，即为分数阶微积分的Grünwald-Letnikov 定义的数学定义的表达式子：
()()
()0
lim 1t h j
t
h j f t f t jh j h
D
αλ
λα
λ-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦-→=⎛⎫
=- ⎪⎝⎭-∑
(2.30) 在上面的式子中，t h α⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
表示的是这个函数近似大概的递推项个数，而其中的h 表示分数阶积分的时间步长。

当λ大于零时，上述式子表示对函数f(t)求解λ阶次导数；当λ小于零时，上述式子表示对函数f(t)求解λ阶次积分。

如果函数f(t)满足
()0k
f α=这一条件，其中k 为任意的正实数，那么对于任意
的()p t f t D α，()q t f t D α在这里有以下的性质：
()()()()()q p p
q
q p t
t
t
t
t
f t f t f t D D
D D D
α
α
α
α
α
+== (2.31)
2.2.2Riemann-Liouville 定义
R-L 定义和Grünwald-Letnikov 定义在一定程度上有很大的联系，Riemann-Liouville 定义可以在G -L 定义的基础上通过简单的数学推导运算得到，下面在这里就首先给出Riemann-Liouville 定义的分数阶微分定义形式的数学表达式子：
()()()
()
1
1
n
t
n t
f f t d n d D
dt t α
α
αα
ττατ-+=
Γ-⎛⎫⎰
⎪-⎝⎭ (2.32)
上述式子中可以用到在前面章节中介绍的Gamma 函数。

而用R-L 表示的分数阶积分定义的数学表达式子为：
()()()
()
1
1
t
t
f f t d D
t α
α
αα
ττ
ατ+=Γ-⎰-
(2.33)
对于式子(2.31)和式子 (2.32)在这里可以用一个通用的数学表达式子来表示：
()()()
()
1
1n
t
n t
f f t d n d D
dt t αα
αα
ττ
ατ±-+=
Γ-⎛⎫⎰
⎪-⎝⎭
(2.34)
其中在上述式子中ɑ满足：1,n n n N α-≤≤∈。

关于Riemann-Liouville 的分数阶微分积分的定义，其在数学层面的要求要比G -L 定义的分数阶微分积分的定义的要求高得多，它不仅仅要求函数是连续的，而且要求函数必须是可积的，虽然在实际的工程实践运用的过程中，的确可以保证函数的连续性以及可积性，但是，Riemann-Liouville 的定义在工程实际中的运用还面临着很多的无法解决的问题，例如，理论上的实现问题，以及在实际过程中还缺乏在物理意义上的初试值得问题，这些问题的存在限制了Riemann-Liouville 定义在工程实际中的运用。

2.2.3 Caputo 定义
Caputo 分数阶积分定义的形式和Riemann-Liouville 定义的积分定义形式相差不大，但是微分就有一些差别，二者的微分运算顺序是相反的。

Caputo 分数阶的微分形式的数学表达式为：
()()()
()()11
1m t t
f t d f D
t α
α
γ
α
ττγτ+=
Γ-⎰-
(2.35)
在上述式子中，ɑ=λ+m ,m 是整数，且01γ<≤，
Caputo 分数阶的积分形式的数学表达式为：
()()()()11
t t
f t d f D
t α
α
γ
α
ττγτ+=
Γ-⎰-
(2.36) 对于式子(2.35)和 式子(2.36)，在这里可以将二者统一为以下的式子：
()()()()
1
1m
t
m t
f t d m f D t α
αα
α
ττ
ατ-+=Γ-⎰-
(2.37)
在式子中，1m m α-<≤。

通过以上的式子就可以知道，上述定义要求函数的m 阶次导数可积。

通过以上描述的具体的定义可以看出，Caputo 分数阶微积分定义的数学表达式形式和Riemann-Liouville 分数阶微积分定义的数学表达式有一定的相似性，这二者的最主要区别是在于对常数的求导的定义之上，Caputo 定义要求对常数的求导为有界的，但是Riemann-Liouville 定义要求对常数的求导为无界的，所以在这里可以得出前者的定义更适合用于分数阶微积分求解初值的问题。

2.3 分数阶微积分的性质
根据以上分数阶定义式的数学表达式，在这里可以得到分数阶微积分的如下性质：
(1) 整数阶微分只和这一点的函数值有关，而分数阶微，分不仅仅与这一点的函数值有关，还和函数的初始状态及之前时刻的所有状态都有关。

(2)分数阶微积分具有线性性质，由式子表示即为：
()()()()o
o o t
t t af t bg t a f t b g t D
D D ααα
+=+⎡⎤⎣⎦ (2.38)
(3)分数阶微积分满足叠加性质，由式子表示即为：
()()o
o o o o
t
t t
t t
f t f t D
D D
D D
αββααβ+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦
⎣⎦
(2.39)
(4)对于分数阶o t
D α，如果ɑ=n ，n 是整数，那么分数阶微分就和整数阶的n 阶次微分的结果是一样的。

特殊情况下，如果ɑ=0的时候，
()()o
t
f t f t D α
=。

(5)函数f(t)的分数阶微积分形式()0t f t D λ对于λ和t 来说都是可以解析的。

2.4 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是在工程数学中是非常常用常见的一种积分变换形式，是由拉普拉斯在18世纪初提出的，我们一般简称为拉氏变换。

拉氏变换可以看成一个线性变换，可以把一个有着引数实数t(t>0)的函数形式来转换成为一个引数为复数s 的函数形式。

拉普拉斯变换可以在许许多多的工程科学技术方面以及科学技术研究领域的方面都有着非常广泛的应用和体现。

在力学系统研究，电力学系统，自动控制系统研究，可靠性相关系统等这些学科中得以尤其起着非常重要的作用。

同时，在本文中，在对分数阶微积分方程的求解方面，会特别用到拉普拉斯变换方面的知识。

拉普拉斯变换的定义式为：函数f(t)满足：t<0时，f(t)=0; t>0时f(t) 是连续的并且满足()0||st
f t dt e
∞
-<∞⎰时，
函数f(t)的拉普拉斯变换存在，且数学表达式为： ()()()0st
F s L f t f t dt e ∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰ (2.40)
函数分数阶积分数学表达式的拉式变换是：
()()r r
t L f t L f t s D --⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦
(2.41) 函数分数阶微分数学表达式的拉式变换是：
()()1
10100n k k t t t k L f t L f t D D s s ααα---==⎡⎤⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑
(2.42) 特殊情况下，如果函数f(t)和其各阶导数初试的值全是0，那么：
()()0t L f t L f t D s αα⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(2.43) 通过这些变换，以及拉普拉斯变换的一些定义及其性质，本文在后续的研究中可以运用拉普拉斯变换来对一些式子进行变换，已达到比较好的运算效果，来求解和分析系统。

2.5分数阶微积分的仿真实例
由以上章节的具体的讨论，对于分数阶微积分有了大概的了解，在这里可以根据分数阶微积分的定义作出一些简单函数的分数阶导数图像，同时也可以通过这些特殊函数的图像来间接验证分数阶理论的正确性。

本小节在这里就将通过对特殊的三角函数进行仿真实验来间接验证分数阶理论。

对于特定的三角函数sin(t)，在这里可以通过之前的定义来表示函数sin(t)的ɑ阶微分如下：
()()
()001n
j
t
j f t f t jh j h
D α
α
α-=⎛⎫
=- ⎪⎝⎭-∑
(2.44) 其中上述式子中是h 表示图像的步长。

而由之前的一些定义可知系数j α⎛⎫
⎪⎝⎭
的计算式子为：
()()()11!
!!!j j j j j αααααα++-⎛⎫== ⎪
-⎝⎭ (2.45)
所以在这里可以得到三角函数sin(t)的ɑ阶微分的计算MATLAB 程序，见附录程序1，其中的p 即为ɑ。

在程序中，我们令p=1，即为求三角函数sin(t)的一阶微分，即为函数cos(t)。

图2.1 sin(t)函数的1阶微分图像当p从变化时图像也在变化，当p=0.5时，图像为：
图 2.2 sin(t)函数的0.5阶微分图像
由上图可知，图像的幅值降低，
当p分别取0.25，0.5，0.75时函数图像为：
图 2.3 sin(t)函数的各阶微分图像对比
当p取负值时，求出的图像即为函数sin(t)的分数积分曲线取p等于-0.75，-0.5 ，-0.25是，函数sin(t)的分数积分曲线为：
图 2.4 sin(t)函数的各阶积分图像对比
2.6本章小结
分数阶微积分理论研究的就是求解函数的微分和积分，在求解函数的分数阶微积分运算的时候，通常会用到一些基本的数学函数，Mittag-Leffler函数和Bata 函数及其Gamma函数，这三种函数在本章的2.1小结中有详细的介绍，同时还会用到拉普拉斯变换和这种数学中常用的运算工具，这两种变换的定义在本章的2.3中有详细的介绍。

随着数学家们对分数阶微积分的研究，分数阶微积分有着多种的定义，本章介绍了G -L定义与R-L定义及其Caputo定义这三种定义形式，见本章2.2小结，在本章的2.5小结中还对特殊三角函数进行了分数阶微分和积分的仿真实验，通过仿真图像就可以对分数阶微分和积分运算有比较直观的了解。

在本章的讨论中，还可以看到分数级微积分理论是要用到Mittag-Leffler函数和Bata函数及其Gamma函数这三种高等数学的基本函数的，这三种函数是常用到的基本函数的推广，同时也可以看出这三种基本函数的复杂程度要比常用的数学基本函数复杂得多，这也就间接地看出分数阶微积分理论比整数阶微积分理论复杂的多。

3 分数阶控制系统的求解
本章主要内容是分数阶控制系统的求解，现在在工程实际中，有很多系统都是分数阶而不是属于整数阶的，这些系统在近年来的研究中出现在很多种不同的模型，比如实域传递函数的数学描述，频域传递函数的数学描述，状态空间的数学描述，矩阵多项式的数学描述等分数阶控制系统的描述模型。

尽管描述模型的多种多样，但是通常在实际的工程实际及实际操作中，人们总是运用分数阶微分方程来表示描述系统，通过分数阶微分方程表示的分数阶控制系统，可以让人们比较清晰的分析分数阶控制系统的运行及实际操作情况。

分数阶控制系统的求解实际上就是对分数阶微分方程的求解，通过对分数阶微分方程的求解，可以来分析整个系统。

在本章中将着重来介绍分数阶微分方程的求解问题，本章关于分数阶微分方程求解将介绍两种方法，本章的3.2和3.3小结，即为分数阶微分方程的数值解法和解析解法，通过这两种解法，就可以比较方便的求解分数阶微分方程，另外，在这两小结中，还将介绍具体的例子，以便可以更好地理解这两种解法。

3.1 分数阶微分方程
分数阶微分方程是为微分方程在分数阶范围内的推广，分数阶微分方程即为用分数阶来表示的微分方程，近年来随着分数阶微积分在工程实际及研究领域的重要作用，分数阶微分方程的研究也成为人们研究的热点问题。

分数阶微分方程有多种的表达形式，其中在工程实际运用过程中常见的就是线性定常系统，其数学通用表达式如下：
()()()()()()
1
1
10
1
n
n m
m n n m
m y t y t y t u t u t u t a a a D D D b b b D D D λλλβββ----++=++ (3.1)
在上式子中，参数变量λ和β为任意的正实数，当在这里来假设λ和β满足式子10
n n λλλ
->>
以及式子1
m
m β
β
β
->>
，这样的假设同样满足分数阶微分方
程成立的条件，系数a 和b 都是任意的常数，u(t)为此系统的出入函数，y(t)是此系统的输出函数。

对式子(3.1)两边同时求拉普拉斯变换，其中这里假设函数的初始条件都为零，那么在这里可以得到此系统的传递函数如下所示：。