2018年天津第五十七中学高一数学理期末试卷含解析

2018年天津第五十七中学高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形参考答案：
D
2. 已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）
A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）
参考答案：
C
【考点】函数单调性的性质；偶函数．
【分析】利用偶函数的性质，f（1）=f（﹣1），在[0，+∞）上是减函数，在（﹣∞，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）
得：﹣1＜lgx＜1，
∴＜x＜10，
故答案选C．
3. 已知△ABC的三边长成等差数列，公差为2，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
A．9 B．12 C．15 D．18
参考答案：
C
【考点】余弦定理．
【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，由于公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若
A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
∵由于公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
∴a﹣b=b﹣c=2，即：a=c+4，b=c+2，
∵sinA=，
∴A=60°或120°．
∵若A=60°，由于三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，
∴A=120°．
∴cosA====﹣．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选：C．
4. 已知，若A，B，C三点共线，则实数k的值为
（）
A．4 B．﹣4 C．D．
参考答案：
C
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】由题意可得与共线，进而可得4k﹣1×（﹣1）=0，解之即可．
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线
又∵，
∴4k﹣1×（﹣1）=0，
解得k=
故选C
5. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2++=，那么△ABC面积是△OBD面积的（）倍．
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
C
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据题意与平面向量的加法法则，得出+=﹣2，再根据D为BC边中点得出+=2，从而得出O是AD的中点，结合图形求出△ABC面积是△OBD面积的4倍．【解答】解：O是△ABC所在平面内一点，且2++=，
∴+=﹣2，
又D为BC边中点，
∴+=2，
∴=﹣，∴O是AD的中点，如图所示；
∴S△ABC=2S△OBC=4S△OBD，
即△ABC面积是△OBD面积的4倍．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量加法法则的应用问题，也考查了三角形一边上中点应用问题，是中档题．
6. 已知锐角，满足，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
，代入求得，即可求得。

【详解】
又，为锐角
故选：B
【点睛】此题考查基本的和差运算公式，熟记公式即可，属于基础题目。

7. 方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于( )
A.21
B.8
C.6
D.7
参考答案：
A
8. （4分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜2}
参考答案：
C
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
分析：解不等式求得集合M、N，根据Venn图阴影表示集合（C u N）∩M，再进行集合运算．
解答：∵M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2} N={x|1＜x＜3}
∵阴影部分表示集合（C u N）∩M，
∴阴影部分表示的集合是（1，2）．
故选C
点评：本题考查Venn图表达集合的关系及集合运算，属于基础题．
9. 设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是（▲ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
10. 下列各组不等式中，同解的一组是（）
A. B．
C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(，
2sinx)(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______.
参考答案：
略
12. 求a、b、c中最大值的算法最多要有___________次赋值过程，才能输出最大值。

参考答案：
3
13. 若，则_______________.
参考答案：
14. 已知锐角ABC中，tanB=2，tanC=3,则角A=_
参考答案：
15. 方程lgx=4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k= ．
参考答案：
3
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】设函数f（x）=lgx+x﹣4，判断解的区间，即可得到结论．
【解答】解：设函数f（x）=lgx+x﹣4，则函数f（x）单调递增，
∵f（4）=lg4+4﹣4=lg4＞0，f（3）=lg3+3﹣4=lg3﹣1＜0，
∴f（3）f（4）＜0，
在区间（3，4）内函数f（x）存在零点，
∵方程lgx=4﹣x的解在区间（k，k+1）（k∈Z），
∴k=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查方程根的存在性，根据方程构造函数，利用函数零点的条件判断，零点所在的区间是解决本题的关键．
16. 若是奇数，则___________；若是偶数，则___________
参考答案：
a,
略
17. ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知f（x）=
（1）作出函数f（x）的图象，并写出单调区间；
（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范用．
参考答案：
【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数f（x）的表达式，求出函数的图象即可；（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象读出即可．
【解答】解：（1）画出函数f（x）的图象，如图示：
，
由图象得：f（x）在（﹣∞，0]，（0，+∞）单调递增；
（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点，
则f（x）和y=m有2个交点，
结合图象得：1＜m≤2．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．
19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：
（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面B1CD．
参考答案：
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；
（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1?平面B1CD，利用线面平行的判定定理
即可得证．
【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1．
（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，
∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，
又∵AC1?平面B1CD，OD?平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD．
20. 设命题
若“的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

参考答案：
解：由：，解得，
∴“”：
．……………………3分
由：，解得：
∴“”：
……………………6分
由“”是“”的充分不必要条件可知：
．………………8分
解得．
∴满足条件的m的取值范围为
．……………………12分
21. 已知函数为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）当x∈（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
【分析】（Ⅰ）根据函数为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案
（Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2
﹣3m，2﹣3n]，x∈，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．
∴f（﹣x）=f（x）
即=
∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }
而====∴λ∈E
（Ⅲ）∵＞0恒成立
∴在上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，
∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n，
又∵，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=，n=
22. 已知二次函数的最小值为1，且．
（1）求的解析式．
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围．
（3）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
参考答案：
见解析．
解：（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，
又的最小值为，
故设，
又，
∴，解得，
∴．
（）要使在区间上不单调，则，
解得：．
故实数的取值范围是．
（）由于在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，
所以在[－1,1]上恒成立，
即在上恒成立．
令，则在区间[－1,1]上单调递减，
∴在区间[－1,1]上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．。