2014中考数学圆综合题(含答案)_1

（3）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2
推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即①AB 是直径 ②AB
CD ⊥
③CE
DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =
弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵
AB ∥
CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的
1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；
②
AB DE =；③OC OF =；④
弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB
∠是弧
AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵
AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△
ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙
O
中，∵四边形
A B C D
是内接四边形 ∴
180C BAD ∠+∠=︒
180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN
OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

B
A
B
A
O
十、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA
PB =PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦
AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径
AB CD ⊥，∴2CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2
PA
PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆
中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：::2OD BD OB =；
（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA = 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=；（2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
=
D
B
A
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
数学中考圆综合题
1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；
（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =
32，tan ∠AEC =3
5
，求圆的直径．
1T
2T
2如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，
连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；
(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
3. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.
3T
4
4．（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ． (1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形； (2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．
6.（11金华）如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 的两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA//PE （1）求证：AP =AO ；（2）若tan ∠OPB =
1
2
，求弦AB 的长；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、
D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ▲ ，能构成等腰梯形的四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .
7．如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧AB ⌒
上一点，过点M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点．1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4，P A ＝ 3
2
AO ，过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长．
8T 8．如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2
＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
9．如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ，60BOE ∠=°，1
cos 2
C
=
，
BC =1）求A ∠的度数；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；3）求MD 的长度．
9T
10. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC 是⊙O 的
切线； （2）求证：BC=21
AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值.
11如图（1），两半径为r 的等圆1O 和2O 相交于M N ，两点，且2O 过点1O ．过M
点作直线
AB 垂直于MN ，分别交1
O 和
2O 于A B ，两点，连结NA NB ，（1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB △的形状，并给出证
明；3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M
的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请
给出证明．
11
12．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形
ABCD 中，P 为边CD 的中点，直线AP 交圆于E 点．
（1）求弦DE 的长．（2）若Q 是线段BC 上一动点，当BQ 长为何值时，三角形
ADP 与以Q C P ，，为顶点的三角形相似．
12 13
13.．（本小题满分10分）如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ， (1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =2
1
3-，求证△DCE ≌△OCB ． 14
如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．
（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若1
tan 2
CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．
5 ⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ．（1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ； （3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．
6 如图，直角坐标系中，已知两点O(0,0) A(2,0)，点B 在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB 的外接圆交y
轴的正半轴于点C ，过点
C 的圆的切线交X 轴于点
D ．（1）求B C ，两点的坐标；（2）求直线CD 的函数解析式；（3）设
E
F ，分别是线段AB AD ，上的两
个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？
7 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边
AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，
，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根．（1）求m 、n 的值；
（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式；（3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN
+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
8 如图，在ABC △中90
ACB
∠=，
D 是AB 的中点，以DC
为直径的
O 交ABC △的三边，交点分别是G F E
，，
点．GE CD ，的交点为M ，且ME =:2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠．（2）求O 的直径CD 的长．。