2024-2025学年上海市青浦区名校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

2024-2025学年上海市青浦区名校九年级数学第一学期开学综合测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）正方形ABCD 的边长为2，以AD 为边作等边△ADE ，则点E 到BC 的距离是（）A ．B ．C ．，D ．2、（4分）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＜0，b ＜0；③当x=3时，y 1=y 2；④不等式kx b x a +>+的解集是x ＜3，其中正确的结论个数是()A ．0B ．1C ．2D ．33、（4分）若分式4x x +有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．0x ≠B ．0x =C ．4x ≠-D ．4x ≠4、（4分）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A ．至少有一个内角是直角B ．至少有两个内角是直角
C ．至多有一个内角是直角
D ．至多有两个内角是直角
5、（4分）甲、乙两车从A 地出发，沿同一路线驶向B 地．甲车先出发匀速驶向B 地，40min 后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km /h ，结果与甲车同时到达B 地．甲乙两车距A 地的路程y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有（）
① 4.5a =；②甲的速度是60km /h ；③乙出发80min 追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B 地180km ．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、（4分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，如图是购买甲、乙两家商场该商品的实际金额1y 、2y （元）与原价x （元）的函数图象，下列说法正确的是（）A ．当0600x <<时，选甲更省钱B ．当200x =时，甲、乙实际金额一样C ．当600x =时，选乙更省钱D ．当x 600>时，选甲更省钱7、（4分）下列四个选项中，关于一次函数的图象或性质说法错误的是A ．随的增大而增大B ．经过第一，三，四象限C ．与轴交于D ．与轴交于
8、（4分）对于反比例函数2
y x =-，下列说法中不正确的是（）
A ．x >0时，y 随x 增大而增大
B ．图像分布在第二第四象限
C ．图像经过点（1.-2）
D ．若点A （11,x y ）B （22,x y ）在图像上，若12<x x ,则12
<y y
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B 两点之间的距离是____cm.10、（4分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是AC 延长线上的一点，24AD =，点E 是BC 上一点，10BE =，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN =__________.11、（4分）方程4232x =的根是__________.12、（4分）当x ＝______时，分式2x-4x-1的值为0.13、（4分）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，则根据图象可得，关于y ax b y kx =+⎧=⎨⎩的二元一次方程组的解是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，点E 是AD 的中点，过点A 作
AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF.(1)四边形AFCD 是什么特殊的四边形?请说明理由.(2)填空:①若AB=AC ，则四边形AFCD 是_______形.②当△ABC 满足条件______时，四边形AFCD 是正方形.15、（8分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S 甲2＝0.8、S 乙2＝0.4、S 丙2＝0.8）
16、（8分）已知△ABC 是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF 按如图所示放置，让三角尺在BC 所在的直线上向右平移．如图①，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角尺的斜边DF 上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE 是否始终成立(假定AB，AC 与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．17、（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，试确定获利最大的方案以及最大利润．18、（10分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在▱ABCD 中，∠ADO ＝30°，AB ＝8，点A 的坐标为（﹣3，0），则
点C 的坐标为_____．
20、（4分）如图，在ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，
现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.21、（4分）如图，菱形ABCD 中，30ABC ∠=︒，点E 是直线BC 上的一点．已知ADE ∆的面积为6，则线段AB 的长是_____．22、（4分）=____．23、（4分）如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似比为2:3，已知4AB =，则DE 的长为________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）（定义学习）定义:如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
（判断尝试）
在①梯形;②矩形:③菱形中，是“对直四边形”的是哪一个.(填序号)
（操作探究）
在菱形ABCD 中，2,60,AB B AE BC ︒=∠=⊥于点E,请在边AD 和CD 上各找一点F,使得以点A 、E 、C 、F 组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF 的长，
（实践应用）某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB=3米，AD=1米，4590C A B ︒︒∠=∠=∠=.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形"板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.求分割后得到的等腰三角形的腰长，25、（10分）先化简、再求值．(6⎛- ⎝，其中32x =，27y =．26、（12分）在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上任意一点（点E 不与B 、C 重合），点F 在线段AE 上，过点F 的直线MN ⊥AE ，分别交AB 、CD 于点M 、N .此时，有结论AE=MN ，请进行证明；（2）如图2：当点F 为AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD ，MN 与BD 交于点G ，连接BF ，此时有结论：BF=FG ，请利用图2做出证明.
（3）如图3：当点E 为直线BC 上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，请你直接写出线段AE 与MN 之间的数量关系、线段BF 与FG 之间的数量关系.
图1图2图3
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】由等边三角形的性质可得点E 到AD ，分两种情况可求点E 到BC 的距离．【详解】解：∵等边△ADE 的边长为2∴点E 到AD 上的距离EG 当△ADE 在正方形外面，∴点E 到BC 的距离当△ADE 在正方形里面∴点E 到BC 的距离故选：C ．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
2、D
【解析】
解：根据一次函数的图象可得：a ＜0，b ＞0，k ＜0，则①正确，②错误；根据一次函数和方程以及不等式的关系可得：③和④是正确的
故选：D.
本题考查一次函数的图象及一次函数与不等式.
3、C 【解析】根据分式有意义的条件即可解答.【详解】∵分式4x x +有意义，∴x+4≠0，∴4x ≠-.故选C.本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件（分式有意义，分母不为0）是解决问题的关键.
4、B 【解析】本题只需根据在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行分析，得出答案.【详解】根据反证法的步骤,则可假设为三角形中有两个或三个角是直角.故选B.本题考查的知识点是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤是：1.假设结论不成立；2.从假设出发推出矛盾；3.假设不成立，则结论成立.
5、A 【解析】由线段DE 所代表的意思，结合装货半小时，可得出a 的值，从而判断出①成立；结合路程=速度×时间，能得出甲车的速度，从而判断出②成立；设出乙车刚出发时的速度为x 千米/时，则装满货后的速度为（x -50）千米/时，由路程=速度×时间列出关于x 的一元一次方程，
解出方程即可得知乙车的初始速度，由甲车先跑的路程÷两车速度差即可得出乙车追上甲车的时间，从而得出③成立；由乙车刚到达货站的时间，可以得出甲车行驶的总路程，结合A 、B 两地的距离即可判断④也成立．综上可知①②③④皆成立．
【详解】
∵线段DE 代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴a=4+0.5=4.5(小时)，即①成立；
40分钟=23小时，甲车的速度为460÷(7+23)=60(千米/时)，即②成立；设乙车刚出发时的速度为x 千米/时,则装满货后的速度为(x −50)千米/时，根据题意可知：4x +(7−4.5)(x −50)=460，解得：x =90.乙车发车时,甲车行驶的路程为60×23=40(千米)，乙车追上甲车的时间为40÷(90−60)=43(小时),43小时=80分钟，即③成立；乙车刚到达货站时,甲车行驶的时间为(4+23)小时，此时甲车离B 地的距离为460−60×(4+23)=180(千米)，即④成立.综上可知正确的有：①②③④.故选：A.本题考查一次函数的应用——行程问题，解决此类题的关键是，要读懂图象，看清横纵坐标所代表的数学量，及每段图象所代表的情况.6、D 【解析】根据函数图象和图象中的数据可知原价0600x <<时，函数1y 在上方，花费较贵，故2y 乙商场较划算；当x=600时1y =2y =480，甲乙商场花费一样；当x 600>时函数2y 在上方，花费较贵，故1y 甲商场较划算【详解】
据函数图象和图象中的数据可知原价0600x <<时，函数1y 在上方，花费较贵，故2y 乙商场较划算；当x=600时1y =2y =480，甲乙商场花费一样；当x 600>时函数2y 在上方，花费较贵，故1y 甲商场较划算
A.当0600x <<时，选乙更省钱，故A 选项错误；
B.当200
x=时，选乙更省钱，故B选项错误；
C.当600
x=时，甲、乙实际金额一样，故C选项错误；
D.当x600
>时，选甲更省钱，故D选项正确；
故答案为：D
本题考查了一次函数与方案选择问题，能够正确看懂函数图像，进行选择方案是解题的关键.
7、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质，判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】
解：∵y＝x−2，k＝1，
∴该函数y随x的增大而增大，故选项A正确，
该函数图象经过第一、三、四象限，故选项B正确，
与x轴的交点为（2，0），故选项C错误，
与y轴的交点为（0，−2），故选项D正确，
故选：C．
本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8、D
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．
【详解】
A.把点（1，-2）代入
2
y
x
=-得：-2=-2，故该选项正确，不符合题意，
B.∵k=-2<0，
∴函数图像分布在第二第四象限，故该选项正确，不符合题意，C.∵k=-2<0，
∴x>0时，y随x增大而增大，故该选项正确，不符合题意，
D.∵反比例函数
2
y
x
=-的图象在二、四象限，
∴x<0时，y>0，x>0时，y<0，
∴x 1<0<x 2时，y 1>y 2，故该选项错误，符合题意，故选D.本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于反比例函数k y x =，当k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、18【解析】解：∵OA=OB ，∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=OB=18cm 本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．10、13【解析】根据题意连接AE ，取AE 的中点O ，连接OM ，ON ，利用三角形中位线定理得到5OM =，12ON =，再根据勾股定理即可解答.【详解】连接AE ，取AE 的中点O ，连接OM ，ON ，∵M 、N 分别是AB 、DE 的中点，∴OM=12BE,ON=12AD,∴5OM =，12ON =，∵M 、N 分别是AB 、DE 的中点，AE 的中点O ，
∴OM ∥EB,ON ∥AD,且90ACB ∠=︒，
∴∠MON=90°，
由勾股定理，MN =.
故答案为：13.
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
11、2
x=±
【解析】
解1x4=31得x1=4或x1=-4（舍），再解x1=4可得．
【详解】
解：1x4=31，
x4=16，
x1=4或x1=-4（舍），
∴x=±1，
故答案为：x=±1．
本题考查解高次方程的能力，利用平方根的定义降幂、求解是解题的关键．12、1.
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【详解】
解：∵分式2x-4
x-1的值为0，
∴1x-4=0且x-1≠0，
解得：x=1．
故答案为：1．
本题考查分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
13、11x y =⎧⎨=⎩【解析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（1，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：∵函数y=ax+b 和y=kx 的图象的交点P 的坐标为（1，1），∴关于y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩．故答案为11x y =⎧⎨=⎩．本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，学生们认真认真分校即可.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)平行四边形，理由见解析；(2)①矩形，②AB=AC ，∠BAC=1．【解析】（1）由“AAS”可证△AEF ≌△DEB ，可得AF=BD=CD ，由平行四边形的判定可得四边形AFCD 是平行四边形；（2）①由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，可证平行四边形AFCD 是矩形；②由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD ，AD ⊥BC ，可证平行四边形AFCD 是正方形．【详解】解：(1)平行四边形理由如下:∵AF ∥BC ∴∠AFE=∠DBE ，
在ΔAFE 与△DBE 中
AFE DBE
AEF DEB AE DE
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ΔAFE ≌ΔDBE
∴AF=BD ，
又BD=CD
∴AF=CD
又AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，且四边形AFCD是平行四边形
∴四边形AFCD是矩形；
②当△ABC满足AB=AC，∠BAC=1°条件时，四边形AFCD是正方形．
理由为：∵AB=AC，∠BAC=1°，AD是BC边上的中线
∴AD=CD=BD，AD⊥BC
∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC
∴四边形AFCD是矩形，且AD=CD
∴四边形AFCD是正方形．
故答案为：(1)平行四边形，理由见解析；(2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=1．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
15、（1）众数是7，中位数是7；（2）乙，理由见解析
【解析】
（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分；
（2）易知x甲＝7，x乙＝7，x丙＝6.3，方差越小，成绩越稳定．根据方差的意义不难判断．【详解】
（1）甲运动员测试成绩中7出现最多，故甲的众数为7；
甲成绩重新排列为：5、6、7、7、7、7、7、8、8、8，
∴甲的中位数为7+7
2＝7，
∴甲测试成绩的众数和中位数都是7分；
（2）x甲＝1
10×（7+6+8+7+7+5+8+7+8+7）＝7，
x乙＝1
10×（6+6+7+7+7+7+7+7+8+8）＝7，
x 丙＝110×（5×2+6×4+7×3+8×1）＝6.3，∵x 甲＝x 乙，S 甲2＞S 乙2，∴选乙运动员更合适．本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．16、（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．【解析】（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB =60°，AC =BC ．结合三角形外角的性质，得∠CAF =30°，则CF =AC ，从而证明结论；（2）根据（1）中的证明方法，得到CH =CF ．根据（1）中的结论，知BE +CF =AC ，从而证明结论．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．∵∠F =30°，∴∠CAF =60°－30°=30°，∴∠CAF =∠F ，∴CF =AC ，∴CF =AC =BC ，∴EF =2BC ．（2）成立．证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．∵∠F =30°，∴∠CHF =60°－30°=30°，∴∠CHF =∠F ，∴CH =CF ．∵EF =2BC ，∴BE ＋CF =BC ．又∵AH ＋CH =AC ，AC =BC ，∴AH =BE ．本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF =2BC 是解题的关键．17、（1）每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元；（2）当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
【解析】
（1）设每台空调的进价为m 元，每台电冰箱的进价为()400m +元，根据题意可列出分式方程，故可求解；
（2）先表示出y ，再求出x 的取值，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）设每台空调的进价为m 元，每台电冰箱的进价为()400m +元．根据题意得8000064000400m m =+，解得1600m =，4002000m +=，故每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元．（2）设购进电冰箱x 台，则进购空调（100-x ）台，∴()()()21002000175016001005015000y x x x =-+--=-+，∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，∴100-x≤2x 解得1333x ≥，∵x 为正整数，5015000y x =-+，500-<，∴y 随x 的增大而减小，∴当34x =时，y 的值最大，即最大利润，50341500013300-⨯+=（元），故当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．此题主要考查一次函数与分式方程的求解，解题的关键是根据题意得到方程或函数进行求解．18、（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元．【解析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x ）；三月份的销售量为：320（1+x ）（1+x ），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x 的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可．
【详解】
（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x ，根据题意得：320（1+x ）2=500
解得：x 1=0.25，x 2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．
（2）解：设每件降价y 元，根据题意得：（500+10×5y ）（150-y -80）=12000整理得：y 2+180y -11500=0解得：y 1=50，y 2=-230（不合，舍去）．答：每件降价50元，四月份可获利12000元．本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（8，3）【解析】根据30度直角三角形的性质得到AD ，由勾股定理得到DO ，再根据平行线的性质即可得到答案.【详解】∵点A 坐标为（﹣3，0）∴AO ＝3∵∠ADO ＝30°，AO ⊥DO ∴AD ＝2AO ＝6，∵DO ＝∴DO ＝3∴D （0，3）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ＝8，AB ∥CD
∴点C 坐标（8，3）
故答案为（8，3）
本题考查30度直角三角形的性质、勾股定理和平行线的性质，解题的关键是掌握30度直角三角形的性质、勾股定理和平行线的性质.
20、2；22
x ≤≤
【解析】（1）根据折叠的性质可得4AB BE ==，由此即可解决问题；（2）作AH ⊥DE 于H ．解直角三角形求出AH 、HB′、DH ，再证明6DE AD ==，求出EB′即可解决问题；【详解】解：（1）∵折叠，∴'BAE B AE ∠=∠.∵AD BC ∥，∴'B AE AEB ∠=∠，∴BAE AEB ∠=∠，∴4AB BE ==，∴2CE BC BE =-=.（2）当'B 落在DE 上时，过点A 作AH DE ⊥于点H .∵'60AB H B ∠=∠=︒，'4==AB AB ，∴1''22HB AB ==，∴AH =.在Rt ADH ∆中，DH ==，∴''2DB DH HB =-=.∵AD BC ∥，∴DAE AEB AED ∠=∠=∠，∴6DE AD ==.∴()'628EB BE ==-=-，
∴(682EC BC BE =-=--=，
∴22x ≤≤.
本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21、【解析】作AF BC ⊥于F ，由菱形的性质得出AB AD =，//AD BC ，由直角三角形的性质得出1122AF AB AD ==，由ADE ∆的面积162AD AF =⨯=，即2162AB =，解得：AB =可．【详解】解：作AF BC ⊥于F ，如图所示：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，//AD BC ，30ABC =︒∠，1122AF AB AD ∴==，ADE ∆的面积162AD AF =⨯=，即21
62AB =，
解得：AB =
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证出AF 与AB 的关系是解题的关键．
22、1
根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】⨯=．故答案为：1．本题考查了二次根式的乘法运算，掌握基本运算法则是解题的关键．23、1【解析】由△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2：3，可得AB ：DE=2：3，继而可求得DE 的长．【详解】∵△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2：3，∴AB ：DE=2：3，∴DE=1．故答案为：1．本题考查了位似图形的性质．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、【判断尝试】②；【操作探究】EF 的长为2，EF 【实践应用】方案1：两个等腰三角形的腰长都为2米．理由见解析，方案2：两个等腰三角形的腰长都为2米．理由见解析，方案34：两个等腰三
角形的腰长都为2
2米，理由见解析．
【解析】
[判断尝试]根据“对直四边形”定义和①梯形;②矩形:③菱形的性质逐一分析即可解答.
[操作探究]由菱形性质和30°直角三角形性质即可求得EF 的长.
[实践应用]先作出“对直四边形”，容易得到另两个等腰三角形，再利用等腰三角形性质和勾股定理即可求出腰长.
解：[判断尝试]①梯形不可能一组对角为直角;③菱形中只有正方形的一组对角为直角，②矩形四个角都是直角，故矩形有一组对角为直角，为“对直四边形”，故答案为②，[操作探究]F 在边AD 上时，如图：∴四边形AECF 是矩形，∴AE=CE ，又∵2,60,AB B AE BC ︒=∠=⊥，∴BE=1，AE=，CE=AF=1，∴在Rt △AEF 中，=2EF 的长为2.F 在边CD 上时，AF ⊥CD ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD=2，∠B=∠D=60°，
又∵AE ⊥BC ，
∴∠BAE=∠BAF=30°，
∴，
∵∠BAD=120°，
∴∠EAF=60°，∴△AEF 为等边三角形，∴即：EF 故答案为2.[实践应用]方案1：如图①，作DE BC,EF CD ⊥⊥，则四边形ABCD 分为等腰FED 、等腰FEC 、“对直四边形”ABED ，其中两个等腰三角形的腰长都为2米．理由：∵A B 90︒∠=∠=，∴四边形ABED 为矩形，∴DE AB ==3米，∵C 45︒∠=，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴DE=EC=3米，∴DC=米，∵EF CD ⊥，
∴FD FE FC ===12DC=32
2米．
方案2：如图②，作BE DC,EF BC ⊥⊥，则四边形ABCD 分为等腰△FEB 、等腰△FEC 、“对直四边形”ABED ，其中两个等腰三角形的腰长都为2米．
理由：作DG BC ⊥，由（1）可知DG AB GC ===3米，BG=AD=1米，∴BC=1+3=4米，∵C 45,BE DC ︒∠=⊥，∴△BEC 为等腰直角三角形，∵EF BC ⊥，∴FE FB FC ===12BC=2米．方案3：如图③，作CD 、BC 的垂直平分线交于点E ，连接ED 、EB ，则四边形ABCD 分为等腰△CED 、等腰△CEB 、“对直四边形”ABED 理由：连接CE ，并延长交AB 于点F ，∵CD 、BC 的垂直平分线交于点E ，∴ED EC EB ==，∴12,34∠=∠∠=∠，∴DEB 65123421232(13)
∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠+∠2DCB 24590︒︒=-∠=-⨯=-．
连接DB ，
，
∵ED=EB ，
∴△BED 为等腰直角三角形，
∴∴ED EC EB ===方案4：如图④，作DE DC ⊥，交AB 于点E ，AF DE ⊥，则四边形ABCD 分为等腰△AFE 、等腰△AFD 、“对直四边形”BEDC ，其中两个等腰三角形的腰长都为2米．理由：作DE DC ⊥，交AB 于点E ，可证∠ADE =45°，∵DAE 90︒∠=，∴△ADE 为等腰直角三角形，∴DE 米，作AF DE ⊥，∴FE FD FA ===12DE=2米．此题是四边形综合题，主要考查了新定义“对直四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出图形是解本题的关键．25、；【解析】
根据二次根式混合运算的法则化简，再将x ，y 的值代入计算即可．
【详解】
解：(6⎛+-
⎝((
=-
==当32x =，27y =时==本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AE 与MN 的数量关系是：AE=MN ，BF 与FG 的数量关系是：BF=FG 【解析】（1）作辅助线，构建平行四边形PMND，再证明△ABE≌△DAP，即可得出结论；（2）连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG=EG=CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE=90°，在R△AGE 中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=12AE，FG=12AE，则BF=GF；（3）①AE=MN，证明△AEB≌△NMQ；②BF=FG，同理得出BF 和FG 分别是直角△AEB 和直角△AGF 斜边上的中线，则BF=12AE，FG=12AE，所以BF=FG.证明：
(1)在图1中，过点D 作PD ∥MN 交AB 于P ，则∠APD=∠AMN
∵正方形ABCD
∴AB =AD ，AB ∥DC ，∠DAB =∠B =90°
∴四边形PMND 是平行四边形且PD =MN ∵∠B =90°∴∠BAE ＋∠BEA=90°∵MN ⊥AE 于F ，∴∠BAE ＋∠AMN =90°∴∠BEA =∠AMN =∠APD 又∵AB =AD ，∠B =∠DAP =90°∴△ABE ≌△DAP ∴AE =PD =MN （2）在图2中连接AG 、EG 、CG 由正方形的轴对称性△ABG ≌△CBG ∴AG =CG ，∠GAB=∠GCB ∵MN ⊥AE 于F ，F 为AE 中点∴AG =EG ∴EG =CG ，∠GEC=∠GCE ∴∠GAB=∠GEC 由图可知∠GEB ＋∠GEC=180°∴∠GEB ＋∠GAB =180°又∵四边形ABEG 的内角和为360°，∠ABE=90°∴∠AGE =90°在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AE 为斜边，F 为AE 的中点，∴BF=12AE ，FG=12AE ∴BF=FG （3）AE 与MN 的数量关系是：AE=MN BF 与FG 的数量关系是：BF=FG “点睛”本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质与判定，
在有中点和直角三角形的前提下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.。