2020年广东省湛江市麻章中学高二数学理下学期期末试题含解析

2020年广东省湛江市麻章中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A．y=x2﹣2x B．C．y=x2+2x D．
参考答案：
B
【考点】导数的运算．
【分析】首先观察函数的图象，y=f′（x）与x轴的交点即为f（x）的极值点，然后可得导函数解析式，从而求出函数f（x）的解析式，得到正确选项．
【解答】解：由图可以看出函数y=f′（x）在x=0和﹣2点为0，
故可设y=f′（x）=ax（x+2）=ax2+2ax
∴f（x）=ax3+ax2+b
取a=1，b=0即为选项B，满足条件，其它选项不满足条件．
故选：B．
2. 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．0
参考答案：D
略
3. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于( )
A．原点对称B．x轴对称
C．y轴对称D．直线y＝x对称
参考答案：
C
4. 函数的图象大致是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用函数奇偶性的定义求得函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；利用时，
的符号可排除，从而得到结果.
【详解】由题意可得：定义域为：
由得：为偶函数，图象关于轴对称，可排除
当时，，，可排除
本题正确选项：C
【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进行排除，属于常考题型.
5. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
6. 不等式对于一切实数都成立，
则（）
A B C D 或
参考答案：
B
略
7. 曲线y=2x2﹣x在点（1，1）处的切线方程为（）
A．x﹣y+2=0 B．3x﹣y+2=0 C．x﹣3y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0
参考答案：
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求曲线y=2x2﹣x在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=f（x）=2x2﹣x，
∴f'（x）=4x﹣1，当x=1时，f'（1）=3得切线的斜率为3，所以k=3；
所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：
y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
故选D．
8. 现有4个人分乘两辆不同的出租车，每车至少一人，则不同的乘法方法
有（）
A．10种 B．14种 C．20
种 D．48种
参考答案：
B 9. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，
则实数的值为（）
A. B. 2 C. D. 4
参考答案：
D
略
10. 若，，，则的形状是（）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角
形 D．等边三角形
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点,若直线过原点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
________________.
参考答案：
12. 已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（﹣，0）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f （x ）＜0成立，∴
，
即
，解得﹣＜m ＜0，
故答案为：（﹣
，0）．
13. 方程x 2
+y 2
+ax+2ay+2a 2
+a ﹣1=0表示圆，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣2，）
【考点】圆的一般方程．
【分析】利用圆的一般式方程，D 2+E 2﹣4F ＞0即可求出a 的范围． 【解答】解：方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a ﹣1=0表示圆，所以D 2+E 2﹣4F ＞0
即a 2+（2a ）2﹣4（2a 2+a ﹣1）＞0，∴3a 2+4a ﹣4＜0，解得a 的取值范围是（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．
14. 已知函数，则 .
参考答案：
2
15. 已知x ，y ，a ，b 为均实数，且满足x 2+y 2=4，a 2+b 2=9，则ax+by 的最大值m 与最小值n 的乘积mn= ．
参考答案：
﹣36
【考点】二维形式的柯西不等式．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式．
【分析】先根据柯西不等式可知（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax+by ）2，求得（ax+by ）2的最大值，进而求得ax+by 的最大值和最小值，则答案可求． 【解答】解：∵a 2+b 2=9，x 2+y 2=4，
由柯西不等式（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax+by ）2
，
得36≥（ax+by ）2，当且仅当ay=bx 时取等号， ∴ax+by 的最大值为6，最小值为﹣6， 即m=6，n=﹣6，
∴mn=﹣36． 故答案为：﹣36．
【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用．解题的关键是利用了柯西不等式，达到解决问题的目的，属于基础题．
16. 已知点
分别是椭圆
：
（
）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是
和
，点
是线段
上的动点,如果
的最大值是，最小值是
，那么，椭圆的
的
标准方程是 ▲ .
参考答案：
17. 已知复数z 满足
，则= .
参考答案：
或
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆G ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l
与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△PAB 的面积．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a 的值，再根
据b 2=a 2﹣c 2求出b 的值，即可求出椭圆G 的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=，又b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0==﹣，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
19. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的
距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出
△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．
【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0
由题意得=，①
∵②
a2=b2+c2③
解得
∴椭圆的方程为
（2）设PQ：x=ty+代入
并整理得
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则
，
∴
=
=
当即t2=1时，
∴
又∴
∴
20. 已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
参考答案：
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得，解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．略
21. 某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：
（Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？
（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
参考答案：
【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得：，，，即可得出结论；
（Ⅱ）求出所有基本事件，其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件，即可求出甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可得：，，，
所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差
异…
（Ⅱ）依题意，共有9个基本事件：
其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件．
所以，所求概率为．…
【点评】本题考查概率的计算，考查茎叶图，确定基本事件的个数是关键．
22. 如图，长方体中，，点E是AB的中点.（1）求三棱锥的体积
（2）证明：
（3）求二面角的正切值
参考答案：
（1）解：在三棱锥D1－DCE中，D1D⊥平面DCE，D1D=1
在△DCE中，，
CD＝2，CD2=CE2+DE2∴CE⊥DE.
∴∴三棱锥D1－DCE的体积. …………………………4分（2）证明：连结AD1，由题可知：四边形ADD1A1是正方形
∴A1D⊥AD1又∵AE⊥平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1
∴AB⊥AD1又∵AB平面AD1E，AD1平面A D1E AB AD1＝A
∴A1D⊥平面AD1E 又∵D1E平面AD1E
∴A1D⊥D1E ……………………………………8分
（3）根据题意可得：D1D⊥平面ABCD
又因为CE平面ABCD，所以D1D⊥CE。

又由（1）中知，DE⊥CE，D1D平面D1DE，DE平面D1DE，D1D DE=D，∴CE⊥平面D1DE，又∵D1E平面D1DE ∴CE⊥D1E.
∴∠D1ED即为二面角D1―EC―D的一个平面角.
在Rt△D1DE中，∠D1DE=90°,D1D=1, DE=
∴
∴二面角D1―ED―D的正切值是……12分。