高中物理万有引力定律的应用各地方试卷集合汇编及解析

高中物理万有引力定律的应用各地方试卷集合汇编及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就
h=1．0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为R s和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
【答案】（1）①0.98，②
23 2
2 0
4
1
F R F GMT
π
=-
（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【解析】
试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值的表达式，并求出具体的数值．
在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值的表达式
（2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
①
②
由公式①②可以得出：
=0.98．
③
由①和③可得：
（2）根据万有引力定律，有
又因为
，
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变． 答： （1）
=0.98．比值
（2）地球公转周期不变．仍然为1年．
【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
2．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ．卫星B 沿半径为r （r <h ）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
（1）卫星B 做圆周运动的周期；
（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．
【答案】（1）3/2()r T h （2）3/23/23/2
π()r h r -(arcsin R h
+arcsin R
r )T 【解析】
试题分析：（1）设卫星B 绕地心转动的周期为T′，地球质量为M ，卫星A 、B 的质量分别为m 、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：
2Mm G h ＝mh 2
24T π① 2Mm G r '＝m′r 2
24T π'
② 联立①②两式解得：T′＝3/2
()
r
T h
③
（2）设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t ，在时间间隔t 内，卫星A 和B 绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝
t T ×2π，β＝t
T '
×2π ④ 若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．
由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsin R
h
＋arcsin
R
r
）⑤
由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥
由③④⑤⑥式联立解得：t＝
3/2
3/23/2
()
r
h r
π-
（arcsin
R
h
＋arcsin
R
r
）T
考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．
3．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。

请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s的速度传播的
2倍，这个关系对于其他天体也是正确的。

③地球质量m e =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1)
3
22
4
s
Gm
r
Tπ
= (2)
23
2
4d
GT
π
(3) 9×10-3m
【解析】
【详解】
⑴设太阳质量为m s，地球质量为m e，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力
根据万有引力定律和牛顿运动定律
2
224s e e m m G m r r T
π=
解得常量
322
4s
Gm r T π
= ⑵设双星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2 根据万有引力定律及牛顿运动定律
2
1211224m m G m r d T π= 2
1222224m m G m r d T
π= 且有
12+r r d =
双星总质量
23
122
4=d m m m GT
π+=总 ⑶设地球质量为m e ，地球半径为R 。

质量为m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
212e m m v G m R R
=
解得
1v =
逃逸速度
2v =
假如地球变为黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R =9×10-3m
4．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．
(1)求卫星B 的运行周期．
(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)3
2
()
2B R h T gR
+=2
3
()t gR R h ω=
-+ 【解析】 【详解】
（1）由万有引力定律和向心力公式得()
()2
2
24B Mm
G
m R h T R h π=++①，2
Mm G mg R =②
联立①②解得：()
3
2
2B R h T R g
+=
（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()
2
3
B gR R h ω=
+
代入④得
()
203
t R g
R h ω=
-+
5．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小g （2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出． 【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：212
y gt = 由几何关系可知：0
2y gt tan x v θ== 解得：0
2v g tan t
θ=
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2Mm
G
mg R
= 可得：2202v R tan gR M G Gt
θ
==
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
6．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）22
02
2hv R
M GL
= （3）23GT πρ= 【解析】 【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =
12
gt 2 联立可得:20
22hv g L
=
（2）根据万有引力黄金代换式2mM
G
mg R
＝， 可得2220
2
2hv R gR M G GL ==
（3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
2
4R M GT π=，
而星球密度M V ρ=,3
43
V R π= 联立可得2
3GT πρ=
7．在月球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R ，万有引力常量为G ，月球质量分布均匀。

求： (1)月球的密度； (2)月球的第一宇宙速度。

【答案】（1）0
32v RGt ρπ=（2）02v R
v t
=
【解析】 【详解】
(1)根据竖直上抛运动的特点可知：01
02
v gt -= 所以：g=
2v t
设月球的半径为R,月球的质量为M,则：2
GMm
mg R
= 体积与质量的关系：34
·3
M V R ρπρ== 联立得：0
32v RGt
ρπ=
（2）由万有引力提供向心力得
2
2GMm v m R R
= 解得;02v R
v t
=
综上所述本题答案是：（1）0
32v RGt ρπ=（2）02v R
v t
=
【点睛】
会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于v gR = 。

8．我国预计于2022年建成自己的空间站。

假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。

求： (1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)
【解析】 【详解】
(1)卫星在地球表面时
，可知：
空间站做匀速圆周运动时：
其中
联立解得线速度为：
(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T 1和T 2，
则由开普勒第三定律有： 其中：，
解得：
【点睛】
本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。

9．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；
（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。

【答案】（1）g =kx m ，M =2
kxR Gm
； （2）v kxR m 2mR kx 【解析】 【详解】
（1）物体静止时由平衡条件有: mg =kx ，所以火星表明的重力加速度g =
kx
m
；在火星表面重力由万有引力产生：mg =G 2mM R ，解得火星的质量M =2
kxR Gm。

（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg =m 2
v R
，解得卫星的线速度v
近地卫星的周期T =
2R v π=2
10．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。

已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】
对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22
122Mm G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+= 【点睛】
解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．。