常耀师---不等式恒成立问题(高一)20130125

不等式恒成立问题
【知识网络·知识点梳理】
什么叫不等式的恒成立？
这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。

关于x 的不等式f(x)≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内
恒成立。

常见的有：
2(1)0,;(2)0,;0,0x x x R a x R x ≥∈>∈≥≥ 等等。

其形式与函数的最值关系如下：
m in m ax 1.()();2.()()f x m f x m f x m f x m
≥∀∈⇔≥≤∀∈⇔≤对x D 恒成立对x D 恒成立变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。

其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方
【典型例题】
练习：1.下列哪些关系是恒成立的？ （1）当x R ∈时2
6100x x -+>， （2）当0x ≤时，21x
≤
（3）当1x >时log a x >0(0,1)a a >≠
（4）若2()log f x x x =+对任意的12x x >>0，都有12()()f x f x >。

例题一：
1.已知函数2
()23f x x x =+-，求证当(],2x ∈-∞-时，f(x)的最小值为f(-2) ；说明()(2)f x f ≥-是否恒成立？
[]2
1,3∈->2.对x ,不等式x +2x+1p 恒成立.求p 的取值范
变式：2,R ∈>0对x 不等式x +px+1恒成立.求p 的取值范
【小结归纳】
[]1.1,2x ax ∈>当时,不等式-20恒成立.求a 的取值范围。

变式：若函数()f x =在区间 [)1,+∞上有意义，求常数m 的取值范围。

思考：变式与“()f x =[)1,+∞，求常数m 的取值”有什么不同？
2..已知函数1y x x
=-
（1）判断函数在()0x ∈+∞上的单调性。

（2）若不等式2
x +≤ax-10对任意的1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，求常数a 的取值范围。

3．若函数2
y kx =图像恒在函数1y kx =-图像的下方，求常数k 的取值范围。

变式：二次函数的图像顶点为A (1,16),且图像在x 轴上截得的线段长8. （1）求这个二次函数的解析式；（16)
1()(2
+--=x x f ）
（2）在区间[－1，1]上，)(x f y =的图象恒在一次函数m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围。

（14<m ）
【小结归纳】
1．求证：当0a ≤<4时，不等式2
10ax ax -+>对于一切的实数x 恒成立。

2．不等式21(3)x m x ->-对2m ≤恒成立，求x 的取值范围。

3．已知函数y =。

①若函数的定义域为[)1,+∞，求k 的值。

②若函数在区间[)1,+∞上有意义，求k 的取值范围。

4. 已知函数2
()2,()2x
f x
g x x x a ==+-对任意的[]12,1,1x x ∈-恒有12()(),g x f x >求a 的取值范围。

5.若函数2
(),(>0)f x x ax a =+对区间1(
,1)2
内任意两个相异的实数12x x 、恒有
1212()()>2f x f x x x --，求常数a 的取值范围.
★20．(本小题满分10分)11-12南京市高一期末调研
设函数f (x )＝x 2－2tx ＋2，其中t ∈R ．
(1)若t ＝1，求函数f (x )在区间[0，4]上的取值范围；
(2)若t ＝1，且对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f (x )≤5，求实数a 的取值范围． (3)若对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤8，求t 的取值范围．
★★2、定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()
f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f
x 的上界.
已知函数()11124x
x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
（1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；。