广东省潮州市归湖中学高二数学文下学期期末试题含解析

广东省潮州市归湖中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B．C．3 D．
参考答案：
D
【考点】余弦定理．
【专题】计算题．
【分析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．
【解答】解：∵cos（A+B）=，
∴cosC=﹣，
在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，
∴c=．
故选：D．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．
2. 复数(i为虚数单位)等于（）
A. 2
B. －2
C. 2i
D. －2i
参考答案：
B
【分析】
由复数的乘法运算法则求解.
【详解】故选．
【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 3. 设P:两条不重合直线斜率相等,q:两条直线平行.那么( )
A.P是q的充分但不必要条件
B.p是q的必要但不充分条件
C.p是q的充分且必要条件
D.p是q的既不充分也不必要条件
参考答案：
A
4. 过坐标原点且与圆x2+(y-2)2=3相切的直线的斜率为
A．± B．±l C．± D．±2
参考答案：
A
略
5. 已知数列满足，且，则数列的值为（）A． 2011 B．2012 C．
D．
参考答案：
D
6. 复数对应的点在虚轴上，则（）
Ａ．或Ｂ．且Ｃ．Ｄ．或
参考答案：
D
略
7. 设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则以下命题正确的有（）
①；②；③；④．
A、①②
B、①②③
C、②③④
D、①②④
参考答案：
D
略
8. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B.
C. D. 1
参考答案：
9. （）A． B． C． D．
参考答案：B
10. 设，，，则a,b,c的大小关系是（）A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，则AD与面B1DC所成角的正弦值为；点E是BC中点，则过A，D，E三点的截面面积是．
参考答案：
．
【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．
【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与面B1DC所成角的正弦值和过A，D，E三点的截面面积．
【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，
∴以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），D（0，2，3），B1（2，2，3），C（0，4，0），E（，3，0），=（0，2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣3），=（），
设平面B1DC的法向量=（x，y，z），
则，取z=2，得=（0，3，2），
设AD与面B1DC所成角为θ，
则sinθ===．
∴AD与面B1DC所成角的正弦值为；
过D作DF∥AE，交B1C1于F，则梯形AEFD就是过A，D，E三点的截面，
∴AE=，DF=，
DF到AE的距离d=||?=?=，
∴过A，D，E三点的截面面积是S梯形AEFD=（）×=．
故答案为：．
12. 在空间直角坐标系中，点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0）的距离是．
参考答案：
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用．
【分析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式，代入数据写出两点的距离公式，做出最简结果，不能再化简为止．
【解答】解：∵点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0），
∴|MN|==，
故答案为：．
【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用，是一个基础题，这种题目在计算时只要不把数据代入出现位置错误，就可以做出正确结果．
13. 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BD1所成角的余弦值．
【解答】解：建立如图坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，
∴D1（0，0，5），B（3，4，0），
A（3，0，0），C（0，4，0），
∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．
∴cos＜，＞==﹣．
∴AC与BD1所成角的余弦值．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
14. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：
(1)在[m，n]上是单调函数；(2) 在[m，n]上的值域为[2m，2n]，
则称区间[m，n]为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的
有_________________________. （填上所有正确的序号）
①②
③④
参考答案：
①③④
略
15. 已知的外接圆的圆心为，则
．参考答案：
略
16. 如果复数，则=________，=________.参考答案：
略
17. 椭圆的离心率为______.
参考答案：
【分析】
由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率。

【详解】根据椭圆的方程可得：，，故，所以椭圆的离心率。

【点睛】本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)
如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值. 参考答案：
（1）证明：∵是的中点，且，
∴ .
∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴ ，.
∵ ，平面，平面，∴ 平面.
∵ 平面，
∴ .
∵ 四边形是正方形，
∴ .
∵ ，平面，
平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ .
∵ ，平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴
.
………6′
（2）解法1：作于，连接，
∵ ⊥平面，平面
∴ .
∵ ，平面，平面，
∴ ⊥平面.
∵ 平面，
∴ .
∴∠为二面角的平面角.
设正方形的边长为，则，，
在Rt△中，，
在Rt△中，，，在Rt△中，
.
∴ 二面角的平面角的正弦值为
. …………15′
解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，设，
则，，,.
∴，.
设平面的法向量为，
由得
令，得，∴ 为平面的一个法向量.
∵ 平面，平面，
∴ 平面平面.
连接，则.
∵ 平面平面，平面，
∴ 平面.
∴ 平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则.
∴.
∴ 二面角的平面角的正弦值为
. …………15′
19. 已知向量，，函数，
（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，
求的值．
参考答案：
解析：
(1)
(2)
20. （本题满分12分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，
（Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？（Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？
参考答案：
21. 已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：．
参考答案：
（1）在上是单调递减；在上是单调递增. （2）详见解析【分析】
（1）由可得，利用导数可求的单调区间. （2）由可得，，令，则且
，构建新函数，利用导数可以证明即
【详解】（1）函数的定义域：，
，解得，
，
令，解得，故在上是单调递减；
令，解得，故在上是单调递增.
（2）由为函数的两个零点，得
两式相减，可得
即，，
因此，
令，由，得.
则，
构造函数，
则
所以函数在上单调递增，故，
即，可知故命题得证.
【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则
．
（2）函数有两个不同的零点，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设，再利用得到、与的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．22. （本题满分10分）某公司在统计2013年的经营状况时发现，若不考虑其他因素，该公司每月获得的利润（万元）与月份之间满足函数关系式：
（Ⅰ）求该公司5月份获得的利润为多少万元？
（Ⅱ）2013年该公司哪个月的月利润最大？最大值是多少万元？
参考答案：
（1）88万元; (2)7月，102万元.。