2016届高三数学(理科)一轮课时作业(人教A版)11-3《二项式定理》

第3讲 二项式定理
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项 ( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 (1－x )9展开式中第r ＋1项的系数为C r 9(－1)r
，
易知当r ＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B. 答案 B
2．(2013·辽宁卷)使⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析
T r ＋1＝C r n
(3x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x n －52r
，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r
＝2，n ＝5时成立． 答案 B
3．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为
( )
A ．10
B ．－10
C ．2
D ．－2
解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个
因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 1
4(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C 03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2.
答案 C
4．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为
( )
A ．1或3
B ．－3
C ．1
D ．1或－3
解析 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1，令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6，
又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3. 答案 D
5．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝ ( )
A ．－180
B ．180
C ．45
D ．－45
解析 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－
x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8
＝180.
答案 B 二、填空题
6．(2014·新课标全国Ⅱ卷)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答)．
解析 T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7，得r ＝3，∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15，∴a 3
＝18，∴a ＝12.
答案 1
2
7．(2015·皖南八校三联)⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，
则第四项为________．
解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12x 9展开
式的第四项为T 4＝C 39·(
x )6
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＝21
2.
答案 21
2
8．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________． 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋1
2. 令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋1
2－1＝364. 答案 364 三、解答题
9．已知二项式(3
x＋
1
x)
n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
解(1)由题意得C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝256，∴2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
T r＋1＝C r8(3
x)8－r·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
x
r
＝C r8·x
8－4r
3，
令8－4r
3＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C
2
8
＝28.
10．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
解(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，
偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为1＋510
2；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为1－510
2.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，
0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝ ( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n
的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，
所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 答案 C
12．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析 由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m
2m ＋1，∴
13·（2m ）！
m ！·m ！
＝
7·（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！，∴7（2m ＋1）
m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选
B. 答案 B
13．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．
解析 原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案 10
14．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明 ∵1＋2＋22
＋…＋2
5n －1
＝25n －1
2－1
＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1
＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n
n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，
∴原式能被31整除.。