吉林省长春市三道沟中学2018-2019学年高一数学理测试题含解析

吉林省长春市三道沟中学2018-2019学年高一数学理测
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=cosxtanx的值域是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．[﹣1，1] C．（﹣1，1）D．[﹣1，0）∪（0，1]
参考答案：
C
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【分析】先确定函数函数y=cosxtanx的定义域，再由正弦函数的值域从而可确定答案．
【解答】解：∵x≠时，y=cosxtanx=sinx
∴y=sinx∈（﹣1，1）
函数y=cosxtanx的值域是（﹣1，1）
故选C．
2. 若tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
参考答案：
C
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β=tan[（α+β）﹣（α
﹣β）]= = =﹣，
故选：C．
3. 已知是第一象限的角，那么是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第二象限角
D.第一或第三象限角参考答案：
D
略
4. 设，，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
由对数函数的性质可得，，由指数函数的可得，
，故选D.
5. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
6. 设a=log34，b=log0.43，c=0.43，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
参考答案：
B
【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．
【分析】通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案．
【解答】解：∵log0.43＜log0.41=0，∴b＜0
∵log34＞log33=1，∴a＞1，
∵0＜0.43＜0.40=1．∴0＜c＜1，
∴a＞c＞b．
故选：B．
7. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．5 B．4 C．1 D．－5
参考答案：
B
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由，得，故，
∴．
故选B．
8. 函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )
A.(－3,－1]
B.(－∞,－1)
C.(－∞,－3)
D.(－1，＋∞)
参考答案：
A
9. 设数列是首项为50，公差为2的等差数列，是首项为10，公差为4的等差数列，
以为相邻两边的矩形内的最大圆面积记为若
则（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
10. 在中，，则的形状一定是（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在上的函数则的值为．
参考答案：
12. 函数的值域为 .
参考答案：
13. 如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．、、分别是小正方形的顶点，则扇形的弧长等于．
(结果保留根号及)．
参考答案：
14. 直线恒经过定点，则点的坐标为
参考答案：
略
15. 设奇函数的定义域为[－5,5]，在上是减函数，又
则不等式 x＜0的解集
是．
参考答案：
16. 下列几个命题
①方程有一个正实根，一个负实根，则；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③命题“若，则”的否命题为“若，则”；
④命题“，使得”的否定是“，都有”；
⑤“”是“”的充分不必要条件．
正确的是__________．
参考答案：
①④⑤
对于①，若方程有一个正实根，一个负实根，则，解得，故①正确；
对于②，要使函数有意义，则，，解得，因此，所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；
对于③，命题“若，则”的否命题为“若，则”．故③错误；
对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是
“，都有”，故④正确．
对于⑤，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故⑤正确．
综上所述，正确的命题是①④⑤．
17. 用“二分法”求方程在区间内有实根，取区间中点为，那么下一个有根的闭区间是 .
参考答案：
[1,1.5]
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，，求及的值.
参考答案：
，.
【分析】
计算出的取值范围，判断出的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出的值，然后利用半角公式计算出的值.
【详解】，所以，，且
，
，，
由，得.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，以及利用半角公式求值，在计算时，首先要考查角的象限，确定所求函数值的符号，再利用相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
19. （12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=﹣2t+200（1≤t≤50，t∈N），前30天价格为g（x）
=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值．
参考答案：
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）由题意，S=f（t）?g（t）
=；
（2）分别求当1≤t≤30时与当31≤t≤50时的最值，从而求最值．解答：（1）由题意，
S=f（t）g（t）=；（2）当1≤t≤30时，
S=（﹣2t+200）（12t+30）
=﹣24（t2﹣97.5t﹣250）；
故对称轴为x=＞40；
故S在上是增函数，
故S max=S（30）=54600；
当31≤t≤50时，
S=45（﹣2t+200）是上的减函数，
故S max=S（31）=6210；
故日销售额S的最大值为54600元．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．
20. （12分）已知函数y=f（x）满足：f（x+1）=x2+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间上的最大值与最小值．
参考答案：
考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用换元法直接求出结果
（2）首先不函数变形成顶点式，进一步利用对称轴和定义域的关系求的结果．
解答：（1）由 f（x+1）=（x+1）2﹣x=（x+1）2﹣（x+1）﹣1
得f（x）=x2﹣x+1
（2）
∵x∈，∴f（x）在上是减函数，在上是增函数
又f（2）=3＞f（0）=1
∴．
点评：本题考查的知识要点：用换元法求函数的解析式，根据二次函数的对称轴与定义域的关系求最值．
21. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意的实数，都有成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若，的最大值是0，求实数a的取值范围．参考答案：
（Ⅰ）和；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．
【分析】
（Ⅰ）求得解析式后，根据解析式可画出图象，利用图象确定所求单调区间；（Ⅱ）通过分离变量的方式整理为：；根据对号函数的单调性可求得
的最小值，从而得到，进而解得范围；（Ⅲ）得到解析时候，根据二次函数图象和性质，分别在、、、四种情况下构造关于最值的方程，从而解得结果.
【详解】（Ⅰ）由题意得：
令，解得：或
可得函数图象如下图所示：
由图象可知，单调递增区间为：和
（Ⅱ）对任意的实数，都有成立
得：，即：
，
令
则在上单调递减，在上单调递增
即
（Ⅲ）由题意得：
对称轴为：
①当，即时
，解得：（舍）
②当，即时
，解得：，符合题意
③当，即时
，解得：
④当，即时
，解得：（舍）
综上可知：或
【点睛】本题考查二次函数图象和性质的综合应用问题，涉及到函数图象、单调性求解、
恒成立问题的求解、二次函数最值与图象之间的关系，考查学生对于二次函数知识的掌握情况.
22. （12分）已知是定义在(－4,4)上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若满足：
，求实数的取值范围．
参考答案：
∵函数f(x)为奇函数，
∴f(1－a)<－f(2a－3)＝f(3－2a)．
又f(x)为(－4,4)上的减函数，
∴，解得2<a<，
∴a的取值范围是{a|2<a<}．。