跃峰奥数PPT8组合构造1-2(特例归纳之穷举构造)

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经典原创
组合构造1-2（特例归纳之穷举构造）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第8板块（组合构造）第1专题（特例归纳）的第2小节
（穷举构造），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。

这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。

按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。

提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。

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经典原创
【组合构造（特例归纳）】
所谓特例归纳，就是先研究n取一些特殊数值的情况下的构造，由此迁移到一般情形n的构造。

通常有以下3种方式：
三种归纳
方式（1）逐一试验
尝试多个特例：n=1，2，…
发掘相邻构造的关系。

（2）穷举构造
对某个特例n=n
，考察所有可
能的构造，优选其“好的”。

（3）换元改造
先构造一个合乎要求的特例，
然后将某些元素更换表现形式，
使之具有一般性。

本小节介绍“穷举构造”
的相关例子。

【构造1-2】一根长为L的木棒（L为整数）可适当锯成长为整数的两段，然后其中的一段又可适当锯成长为整数的两段，但要求任何时刻任意两段的比都小于2。

例如，长为4的木棒只能锯成长为2的两段：4=2+2，然后不能再锯；长为7的木棒能锯成长
为3、4的两段：7=3+4，然后长为4的木棒又能锯成长为2的两段7=3+4=3+2+2，此时不能再锯。

问：长为30的木棒至多能锯成多少段？（2010清华大学自主招生试题）
，讨论“长为30的木棒至多能锯成多少
【题感】从目标看
【1】
，自然想到穷举各种可能的分割，从中段”，其中数据30较小
【1】
发现段数最多的分割。

当然，要发现最长分割，未必要完全穷举所有可能，只需对一部分类型的分割进行穷举即可，我们称为“部分穷举”。

，“任意两段的比都小于2”，只需最长段与最短段从规则看
【1】
的比小于2。

所以每次分割后，观察最长者与最短者是否满足要求即可
■
【部分穷举】先将长为30的线段分割成两段，有以下情形。

（1）30=15+15。

此时无法继续分割，否则，设15=a+b （a≤b ），必有a≤7<15/2≤b/2，矛盾。

（2）30=14+16。

继续分割，只能是16=8+8，得到30=14+16=14+8+8。

否则，设14=a+b （a≤b ），必有a≤7<16/2【1】，矛盾。

由此你发现怎样的结论？【发掘性质】每次只能将各线段中最长的一条线段分割。

实际上，对于a 、b （a≤b ），若将a 分割，则最小的一段a 分割为x+y （x≤y ），则x≤a/2≤b/2（其中b 仍然存在），矛盾。

【穷举构造】接下来【1】，只能对14分割【1】：14=7+7=6+8=5+9，共得3种方式：30=14+16=14+8+8=7+7+8+8；30=14+16=14+8+8=6+8+8+8；
30=14+16=14+8+8=5+9+8+8。

此时都无法再分割，因为最大长度是8或9【1】，分割后必有一段不大于4，但还有一段为8，其比至少是2，矛盾。

（以上分割最多段数为4，应该还有更长的分割）
（3）30=13+17。

【穷举构造】继续分割，共有如下2种方式：
（i）30=13+17=13+8+9；（ii）30=13+17=13+7+10。

对于（i），继续分割，有
30=13+17=13+8+9=6+7+8+9；30=13+17=13+8+9=5+8+8+9。

此时都无法继续分割（理由同上）。

对于（ii），继续分割，只能是30=13+17=13+7+10=6+7+7+10。

再继续分割，只能是
30=13+17=13+7+10=6+7+7+10=6+7+7+5+5；
30=13+17=13+7+10=6+7+7+10=6+7+7+4+6。

此时都无法继续分割。

（以上分割都不超过5段）
（4）30=12+18。

此时，我们发现：30=12+18=12+8+10=6+6+8+10=6+6+8+5+5=6+6+4+4+5+5。

这表明，分割为6段是可能的。

当然，还有其它形式的分割，但分割的段数都不多于6。

由于完全穷举，其分类太多，过程很繁。

下面用反证法证明：不能按要求锯成7段。

其基本思路是，列举分割成的7段的所有可能情形，然后逆推，说明这些情形都不可能。

【反面思考】假定锯成了7段，设长度分别为a 1，a 2，…，a 7，a 1+a 2+…+a 7=30。

为了利用分割条件：“最长段与最短段的比小于2”，可优化假设：将各段的大小排序【1】。

【优化假设】不妨设a 1≤a 2≤…≤a 7，则a 7<2a 1。

为列举（a 1，a 2，…，a 7）的各种可能，注意到优化后的条件为我们提
供了放缩工具，想到先将所有字母放大到a 7【1】，得到a 7的估计进，进而
利用a 7<2a 1【1】得到a 1的估计。

【统一放缩】将各数统一放大到a 7，有30=a 1+a 2+…+a 7≤7a 7，得a 7≥5（下界）。

【反面剔除】此外，易知a 7≤6（上界）。

否则，a 7≥7，从而a 1≥4，于是30=a 1+a 2+…+a 7≥4·6+7=31，矛盾。

所以a 7=5或6。

至此，只需对a 7的两种取值，分别得出a 1的估计，即可得到各种可
能的长为7的分割。

下面采用逆推的策略，即对任何一个分割状态，都有它的前
一分割状态，如此逆推下去，直至产生矛盾■。

【逆推】若长为7的分割（a 1，a 2，…，a 7）=（3，3，4，5，5，5，5），则由此逆推，必定将其中的两段合并为1段。

但要使任何两段之比小于2，从而前一时刻只能是最小的2段相加【1】：3+3=6，得到（6，4，5，5，5，5）。

否则，另两段a 、b 相加：a+b≥3+4=7，但此时至少还有一个段为3，矛盾。

再逆推【1】，同上理由【1】，得到（6，9，5，5，5），但此时不能再逆推【1】，是因2条长度最小的段相加【1】大于另一个长度最小的段的2倍，矛盾。

若长为7的分割（a 1，a 2，…，a 7）=（3，4，4，4，5，5，5），则由此逆推，必定将其中最小的两段合并为1段【1】，得到（7，4，4，5，5，5）。

再逆推【1】，得到（7，8，5，5，5），但此时不能再逆推【1】，是因最短的2条线段相加【1】大于另一段的2倍，无法达到初值，矛盾。

若长为7的分割（a 1，a 2，…，a 7）=（4，4，4，4，4，5，5），此时不能逆推【1】，是因2条长度最小的段相加【1】大于另一个长度最小的段的2倍，矛盾。

下面讨论a 7=6的情形■。

所以不能锯成7段，当然更不能锯成多于7段，否则必须先锯成7段，但这是不可能的。

综上所述，长为30的木棒至多能锯成6段。

■
【部分穷举构造】【反面思考，优化假设】
【统一放缩】
【穷举构造】
■
【逆转程序】
【平行推理】
【解决遗留】
■■跃峰奥数。