2019-2020学年广州市名校数学高二第二学期期末监测试题含解析

2019-2020学年广州市名校数学高二第二学期期末监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（ ）
A ．24种
B ．16种
C ．12种
D ．10种 【答案】C
【解析】
【分析】
根据每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口，
故该十字路口行车路线共有3412⨯=（种）
故选：C
【点睛】
本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.
2．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-
B ．(1,2]-
C ．[1,2]-
D ．[2,5]
【答案】C
【解析】
【分析】
函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.
【详解】
二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.
结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．
故选:C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.
3．已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）
A ．i
B ．i -
C ．455i -
D ．455
i + 【答案】A
【解析】
【分析】
利用等式把复数z 计算出来，然后计算z 的共轭复数得到答案.
【详解】 122i z i i
-==-+，则z i =.故选A 【点睛】
本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.
4．已知13
2a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
【答案】C
【解析】 试题分析：因为132
12
112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小 5．命题“2
1,3,204
x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．9a ≥
B ．8a ≤
C ．6a ≥
D ．7a ≤ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可. 【详解】
因为21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立， 所以21,3,24
x a x ⎡⎤∀∈≥-⎢⎥⎣⎦，成立， 所以7a ≥，
命题“2
1,3,204
x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥. 故选：A 【点睛】
本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．已知函数12
21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且102f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则不等式()f x m >的解集为 A ．20,2⎛ ⎝⎭
B ．20,4⎛ ⎝⎭
C ．21,4⎛- ⎝⎭
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 由1()02
f m -=，可分别考虑分段函数的每一段取值为0的情况，即可求解出m 的值；然后再分别利用每一段函数去考虑()f x m >的情况.
【详解】 函数12
21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，可知0x ≤时，()1f x >， 所以102m ->，可得121log 02m ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭解得32m =． 不等式()f x m >即不等式3()2f x >
，
可得：
3 21
2 x
x
≤
⎧
⎪
⎨
+>
⎪⎩
或
1
2
3
log
2
x
x
>
⎧
⎪
⎨>
⎪
⎩
，
解得：(1,0]
x∈-或
2
0,
4
x
⎛⎫
∈ ⎪
⎪
⎝⎭
，即
2
1,
4
x
⎛⎫
∈- ⎪
⎪
⎝⎭
故选：C．
【点睛】
利用分段函数求解参数取值时，需要对分段函数的每一段都进行考虑；并且在考虑每一段分段函数的时候，注意定义域.
7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
【分析】
观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.
【详解】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
【点睛】
本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
8．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【答案】A
【解析】
试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．
考点：本题主要考查分类计数原理的应用．
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．
9．对任意的n *∈N ，不等式1(1)(
)1n a n e n n +≤+（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．ln21-
B ．11ln 2-
C ．ln31-
D ．11ln 3
- 【答案】B
【解析】
【分析】 问题首先转化为+11n a e n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，取自然对数只需1()ln 11n a n ⎛
⎫++≤ ⎪⎝⎭恒成立，分离参数只需1
1ln(1)a n n ≤-+恒成立，构造(]11(),0,1ln(1)m x x x x
=-∈+，只要求得()m x 的最小值即可。

这可利用导数求得，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导（对函数式中不易确定正负的部分设为新函数）来研究函数（导函数）的单调性。

【详解】
对任意的n ∈N *，不等式11()1n a n e n n ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需+11n a e n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，只需1()ln 11n a n ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭恒成立，只需11ln(1)a n n
≤-+恒成立，构造(]11(),0,1ln(1)m x x x x =-∈+，(]22
22(1)ln (1)'(),0,1(1)ln (1)
x x x m x x x x x ++-=∈++. 下证(]2
2
ln (1),0,11+x x x x +≤∈，再构造函数()()]2
2
=ln 1+,(0,11+x h x x x x -∈()()]222(1)ln 12'=,(0,1(1)x x x x h x x x ++--∈+，设()()2=2(1)ln 12F x x x x x ++--()()]'2ln 12,(0,1F x x x x =+-∈，令
()]2ln(1)2,(0,1G x x x x =+-∈，()]2',(0,11x G x x x
=-∈+，在](0,1x ∈时，()'0G x <，()G x 单调
递减，()0G x <即()F'0x <，所以()F x 递减，()0F x <，即()'0h x <，所以()h x 递减，并且()0=0h ，
所以有()]2
2
ln 1,(0,11+x x x x +<∈，所以'()0m x <，所以()m x 在(]0,1x ∈上递减，所以最小值为1(1)1ln 2m =-.∴11ln 2
a ≤-，即a 的最大值为11ln 2-。

故选：B 。

【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化为研究函数的最值。

本题中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。

10．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e=2,圆A 的圆心是抛物线218
y x =的焦点，且截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，则圆A 的方程为
A ．22165()3264x y +-=
B ．22165()3264
x y ++= C ．22(2)2x y +-=
D ．22(2)4x y +-=
【答案】C
【解析】
【分析】 运用离心率公式和基本量,,a b c 的关系可得,a b 的关系，即可得到双曲线的渐近线的方程，求得抛物线的焦点坐标，可得A 点的坐标，求得A 到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径为r ，进而得到所求圆的方程.
【详解】
由题意2c e a
=
=，即2,c a b ===，
可得双曲线的渐近线方程为b y x a
=±，即为y =， 圆A 的圆心是抛物线218y x =的焦点，可得(0,2)A ， 圆A 截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，
由圆心到直线y =的距离为1
d ==，
可得2=，解得r =
22(2)2x y +-=，故选C.
【点睛】 本题主要考查了双曲线的方程和几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求法，圆的标准方程的求法，以及运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能
力.
11．已知一列数按如下规律排列：1,3.?2,5,7,12,?19,31,...
---,则第9个数是( )
A．-50 B．50 C．42 D．—42
【答案】A
【解析】
分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.
详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是193150
--=-，
选A.
点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
12．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形
.则它的体积为()
A．160
3
B．160C．
256
3
D．64
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.
详解：
由三视图可知该刍甍是一个组合体，
它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，
根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可， 11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33
，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．每次试验的成功率为()01p p <<，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________. 【答案】()6
41p p -
【解析】
每次试验的成功率为(01)p p <<，
重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，
所以所求的概率为64(1)p p -⋅. 故答案为：()641p p -.
14．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5
CAD ∠=
，则tan B 为______.
【答案】
53
【解析】
【分析】 延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,由1tan 5CAD ∠=,则15
CE AE =,设CE x =,则5AE x =,可证明~CDE BDA V V ,则
12
DE CD AD BD ==,从而求得tan DCE ∠,即tanB 的值. 【详解】
解:如图,延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,
1tan 5CAD ∠=Q ,15
CE AE ∴=, 设CE x =,则5AE x =,
CDE BDA ∠=∠Q , CED BAD ∠=∠,
~CDE BDA ∴V V ,则DE CD AD BD
=, 2BD CD =Q ,12
DE CD AD BD ∴==, 53DE x ∴=,53
DE x ∴=, 5tan 3
B ∴=. 故答案为:53
. 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,基础知识要熟练掌握. 15．若()12n
x +展开式的二项式系数之和为128，则n =________ 【答案】7
【解析】
【分析】
根据二项展开式二项式系数和为2n 可构造方程求得结果.
【详解】
()12n x +展开式的二项式系数和为：012128n n n n
n C C C ++⋅⋅⋅+==，解得：7n = 本题正确结果：7
【点睛】
本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.
16．若2
11(2)3ln 2mx dx x
+=+⎰，则实数m 的值为____________. 【答案】1
【解析】
【分析】
先求12mx x
+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可. 【详解】 易得12mx x
+的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰, 即ln 243ln 2m m +-=+,故1m =
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知函数()2221222a f x x ax a x x
=+--+． （Ⅰ）若函数f （x ）的最小值为8，求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数g （x ）＝|f （x ）|+f （x ）﹣16有4个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）()1,1-．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；
（Ⅱ）先求()g x 的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a 的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）函数()22222121122()222a f x x ax a x a x a x x x x ⎛⎫=+--+=+-++- ⎪⎝
⎭， 令1t x x
=+，易知t ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h （t ）＝t 2﹣2at+2a 2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h （t ）的对称轴为t ＝a ，
①当a≥2时，()2
()28min h t h a a ==-=，此时a =；
②当a≤﹣2时，()2
()28min h t h a a ==-=，此时a =； ③当﹣2＜a ＜0时，()2
()22428min h t h a a =-=++=，此时无解； ④当0≤a ＜2时，()min h t ＝h （2）＝2a 2﹣4a +2＝8，此时无解；
故实数a 的值为（Ⅱ）令g （x ）＝0，则f （x ）＝8，
则由题意，方程t 2﹣2at+2a 2﹣2＝8，即t 2﹣2at+2a 2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，
则()
2222
22442100(2)42100242100a a a a a a ⎧=--⎪⎪-++-⎨⎪-+-<⎪⎩
V ＞＜，解得﹣1＜a ＜1． 故实数a 的取值范围为()1,1-． 【点睛】
本题主要考查分类讨论求解最值问题和根的分布，二次函数一般是从对称轴与区间的位置关系进行讨论，侧重考查分类讨论的数学思想. 18．已知f(x)＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M ＝{m|使方程f(x)＝m 有四个不相等的实根}. 【答案】 (1)见解析. (2)见解析. (3) M ＝{m|0<m<1}. 【解析】 【分析】
（1）借助对称性作f （x ）=|x 2﹣4x+3|的图象即可， （2）由图象写出函数f （x ）的单调区间即可；
（3）作f （x ）=|x 2﹣4x+3|与y=m 的图象，由二者的交点个数确定出集合M ． 【详解】
(1)当x 2－4x ＋3≥0时，x≤1或x≥3， ∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m|0<m<1}. 【点睛】
（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。

19．中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井，若通过1、3、5、7号井计算出的的值（精确到0.01）相比于（Ⅰ）中的值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（参考公式和计算结果：）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.
【答案】（1），；（3）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）因为回归直线必过样本中心点，求得；（2）利用公式求得，再和现有数据进行比较；（3）是古典概型，
由题意列出从这口井中随机选取口井的可能情况，求出概率.
试题解析：因为，，回归只需必过样本中心点，则
，
故回归只需方程为， 当
时，
，即
的预报值为
.………………4分
因为，，所以
.
，
即
，
.
，，均不超过
，因此使用位置最接近的已有旧井
；………………8分
易知原有的出油量不低于的井中，
这口井是优质井，
这口井为非优质井，由题意
从这口井中随机选取口井的可能情况有：
，
，
，
共
种，其中恰有口是优质井的有中，所以所
求概率是
.………………12分
考点：线性回归方程及线性回归分析，古典概型.
20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知直角坐标平面上的点n n S P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，均在函数y x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若已知点()1
0M ，，()2n n A a =，，()21n n B b =-，为直角坐标平面上的点，且有∥n n MA MB ，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若使1
(1)01(1)--⋅+
≤-++-⋅n n n
t
b n n
对于任意*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）21n a n =-； （2）22
21
-=-n n b n ； （3）[1,2]t ∈. 【解析】 【分析】
（1）先根据点在直线上得和项关系式，再根据和项与通项关系求通项；
（2）根据向量平行坐标表示得,n n b a 关系式，代入（1）结论得结果；
（3）分n 奇偶分类讨论，再根据参变分离转化为求对应函数最值，最后根据函数最值得结果. 【详解】
（1）因为点n n S P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在函数y x =，所以2
,n n S n S n n =∴=
当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，121,n n n a S S n -=-=-；
211121n a n ⨯-=∴=-Q
（2）(1,)(1,1)(1)1n n n n n n n n MA MB MA MB a b a b ∴∴-∴-=u u u u r u u u u r
Q ∥∥∥
1122112121
n n n b a n n -∴=-
=-=-- （3）n 为偶数时，1
22(1)
001(1)2121
n n n t n t
b n n n n ---⋅+
≤∴-+≤-++-⋅--Q
22t n ∴≤-，22222n n t ≥∴-≥∴≤Q
n 为奇数时，122
(1)001(1)21
n n n
t n b t n n n ---⋅+
≤∴-≤-++-⋅-Q 11
1111012121
t n n n ∴≥-
≥∴-<-=--Q ， 1t ∴≥ 因此12t ≤≤ 【点睛】
本题考查由和项求通项、向量平行坐标表示以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()()1ln a
f x a x x x
=++-，其中.a R ∈ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得()00f x <成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）()()1,1,.1e e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪-⎝
⎭
【解析】
试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为()()()2
1'x x a f x x ++=
，故可以根
据a 的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式()0f x < 在[]1,e 上有解，那么在[]1,e 上，()min 0f x <.但()f x 在[]1,e 上的单调性不确定，故需分1,1,a e a a e ≥--<<-≤- 三种情
况讨论.
解析：（1）()()()()2
222111'1,0x a x a x x a a a f x x x x x x
++++++=++==>， ①当0a ≥时，在()0,x ∈+∞上()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增；
②当0a <时，在()0,x a ∈-上()'0f x <；在(),x a ∈-+∞上()'0f x >；所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.
综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a <时，()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞.
（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得()0f x 成立，则()f x 在[]1,e 上的最小值小于0.
①当1a -≤，即1a ≥-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()1f ，由()110f a =-<，可得1a >，
②当a e -≥，即a e ≤-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 在[]1,e 上的最小值为()f e ，由()()10a
f e a e e =++-
<，可得()11
e e a e +<-- ； ③当1a e <-<，即1e a -<<-时，由（1）可知()
f x 在()1,a -上单调递减，在(),a e -上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()()()1ln 1f a a a a -=+--+，因为0ln()1a <-<，所以
()()()11ln 0a a a +<+-<，即()()()1ln 1112a a a a a +--+>+-+=，即()2f a ->，不满足题意，
舍去.
综上所述，实数a 的取值范围为()()1,1,1e e e ⎛⎫
+-∞-
⋃+∞ ⎪-⎝
⎭
. 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“()0f x <在[],a b 上有解”可以转化为“在[],a b 上，有()min 0f x <”，而“()0f x <在[],a b 恒成立”可以转化为“在[],a b 上，有()max 0f x <”. 22．已知函数()()()1x
f x x a e
a R =--∈
()1当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； ()2当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的最大值。

【答案】（1）e e 0x y --=（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）当0a =时，()()1x
f x x e =-，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；
（2）求函数的导数()()x
f x x a e '=-，讨论0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况函数的单调性，得到函数
的最大值. 【详解】
解：()1当0a =时，(1)0f =，(1)e f ¢
=， 所以切线方程为0e(1)y x -=-，即e e 0x y --=
()
2()()e x f x x a ¢=-当0a ≤时，当[0,1]x ∈，()0f x '≥，()f x 单调递增，
此时max ()(1)e f x f a ==-，
当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,1)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，此时{}max ()max (0),(1)f x f f =,又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--，所以当1
0e 1
a <?
-时，max ()(1)e f x f a ==-
当
1
11
a e <<-时，max ()(0)1f x f a ==--. 当1a ≥时，当[0,1]x ∈，()0f x '
≤，()f x 单调递减，
此时max ()(0)1f x f a ==-- 综上，当1
1
a e ≤-时，max ()(1)e f x f a ==-， 当1
e 1
a >
-时，max ()(0)1f x f a ==--. 【点睛】
本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当01a <<时，根据函数的单调性可知函数的最大值是()0f 或()1f ，需做差讨论a 得到()0f 和()1f 的大小关系.。