一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结
知识结构梳理
（1）含有个未知数。

（2
）未知数的最高次数是 1、概念（3）是方程（4）一元二次方程的一般形式是。

(1）法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 (2）法，即把方程变形为ab=0的形式, 2、解法(a,b 为两个因式）, 则a=0或
（3)法 （4)法,其中求根公式是 根的判别式
当时，方程有两个不相等的实数根。

（5）当时,方程有两个相等的实数根。

当时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值（1) 一元二次方程的应用（2） （3）
可用于解决实际问题的步骤（4) （5） （6） 知识点归类
知识点一一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点:①方程是整式方程.②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是
一
元
二次方程
2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于的方程，哪些是一元二次方程?
⑴35
2
2=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x
知识点二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax (a ，b ，c 是已知数,0≠a ）。

其中a,b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意:(1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

(2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3)形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程,当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1已知关于的方程()()02112
2=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m
知识点三一元二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以
2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2)设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例如图（1)，有一个面积为150㎡的长方形鸡场， 鸡场一边靠墙（墙长18m ）,另三边用竹篱笆围成, 若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场
因式分解法、直接开平方法
知识点一因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为0；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积. （3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程. （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0;（2）熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式)等。

例用因式分解法解下列方程：
（1）x x 452=；（2）025)32(2=--x ；（3）()2
22596x x x -=+-。

知识点二直接开平方法解一元二次方程
若()02≥=a a x ,则叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

(1）()02≥=a a x 的解是a x ±=;(2）()()02
≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）
()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m
n
c x -±
=。

例用直接开平方法解下列一元二次方程
（1)01692=-x ;（2）()01652
=-+x ；（3）()()2
2
135+=-x x （因式分解)
知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如()()002
≥=-+k k b ax 的方程,既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）()036542=--x ;（2）()03212
=--x
知识点四用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时,则p=0或q=0"来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：0201.02=-t t ,将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出
200,0020.0021===-=t t t t ，即或
注意：在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法.
对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++"的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即
b x a x -=-=21,。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。

例解下列方程：(1）0652=+-x x ；（2)0122=--x x
配方法
知识点一配方法
解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：
（1）0562=-+x x ；（2）022
7
2=--x x
知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为()n m x =+2
的形式。

（3） 若0≥n ,用直接开平方法求出的值,若n ﹤0,原方程无解。

例解下列方程：0342=+-x x
知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时,用配方法解一元二次方程的步骤:
（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数;
(2） 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2
的形式；
（3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解下列方程：
（1）02932=+-x x ；（2)0342=+--x x 公式法
知识点一一元二次方程的求根公式
一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的求根公式是：a
ac
b b x 242-±-=
用求根公式法解一元二次方程的步骤是:（1)把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号)；（2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值
代人求根公式a
ac b b x 242-±-=，求出21,x x 。

例用公式法解下列方程
(1）01322=--x x ；（2）(
)
0122=++x x ;（3）0252=++x x
知识点二选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的
平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。

注意:一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时,再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）()()2
2
32932+=-x x ；（2）0682=+-x x ;（3）()0)1(2=-+x x
知识点三一元二次方程根的判别式
一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式△=ac b 42-
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
（1） △=ac b 42-﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=ac b 42-=0方程有两个相等的实数根； （3） △=ac b 42-﹤0方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。

例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1）05322=--x x ；(2)253092-=x x ；（3）01062=++x x
知识点四根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，
（1）方程有两个不相等的实数根ac b 42-﹥0 （2)方程有两个相等的实数根ac b 42-=0
(3）方程没有实数根ac b 42-﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况: （1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根；
知识点五一元二次方程的根与系数的关系
若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21,a
b x x =21
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）()212
212
22
12x x x x x x -+=+（2）
2
121
211
1x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x ++++=++； (4)│21x x -│=
()2
21x x -=
()2
12214x x x x -+
例已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。

（1）2
22
1x x +；（2）()2
21x x -.
知识点六根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程)，然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例当取什么值时，代数式062=--x x 与代数式23-x 的值相等？
一元二次方程的应用
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，(4）解方程，（5）检验,（6）作答. 关键点：找出题中的等量关系。

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a ，增长率为,则一次增长后的值为()x a +1,两次增长后的值为()2
1x a +；(2)若基数为a ，降低率为,则一次降低后的值为
()x a -1，两次降低后的值为()21x a -。

例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为
知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题：如:营销问题、水电问题、水利问题等。

与利润相关的常用关系式有：（1)每件利润=销售价-成本价；(2)利润率=（销售价-进货价）÷进货价×100%;(3）销售额=售价×销售量
例某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出,每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件.
（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

易错知识辨析：
(1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，
注意一元二次方程一般形式中0≠a 。

（2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式。

（3）用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.
一元二次方程测试题
一、选择题
1、若关于x 的一元二次方程（m —1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0,则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0
2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为( )
A ．45250x +=
B ．245(1)50x +=
C ．250(1)45x -=
D ．45(12)50x +=
3、已知a b ，是关于的一元二次方程210x nx +-=的两实数根,则式子b a
a b
+的值是( )
A ．22n +
B ．22n -+
C ．22n -
D ．22n --
4、 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,则方程（a + b ）x 2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况
是（ ）
A ．没有实数根
B ．可能有且只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
5、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则的值等于 （ ）
A ．－5 B.5 C 。

—9 D.9
6、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A ．
B ．a b
C ．a b +
D ．a b - 7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）
A ．121-<<-x
B ．011<<-x
C ．101<<x
D ．211<<x
8、关于的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则
212()x x -的值是( ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A 、2450)1(=-x x
B 、2450)1(=+x x
C 、2450)1(2=+x x
D 、
24502)1(=-x x 10、若关于的一元二次方程()0122=-+-k x x k 的一个根为1，则的值为( ）
A ．－1
B ．
C ．1
D ．或
11、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为(）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
12、对于一元二次方程ax 2+bx+c=O （a≠0），下列说法:
①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=O 必有实数根;
②若b2+4ac<0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有实数根；
③若a —b+c=0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有两个不等实数根；
④若方程ax 2+bx+c=O 有两个实数根，则方程cx 2+bx+a=0一定有两个实数根．
其中正确的是（ )
A ．①② B．①③ C．②③ D．①③④
二、填空题
1、若一元二次方程－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ．
2、设21,x x 是一元二次方程+4x －3=0的两个根，则2221x x += ．
3、方程(x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是
4、已知关于x 的一元二次方程
)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222
-+-b a ab 的值为__________．
5、在等腰△ABC 中，三边分别为、、，其中5a =，若关于的方程()2260x b x b +++-=有
两个相等的实数根，则△ABC 的周长为__________．
6、已知关于的一元二次方程2260x x k --=（为常数）． 设21,x x 为方程的两个实数根，
且12214x x +=，则K 的值为__________．
7、已知m 、n 是方程2200320040x x -+=的两根,则
2(20042005)n n -+与2(20042005)m m -+的积是.。