广东省东莞市中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析

广东省东莞市中学2021-2022学年高一数学理下学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC中，，，为AB边上的中点，则
( )
A. 0
B. 25
C. 50
D. 100
参考答案：
C
【分析】
三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.
【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以
，
原式=.
故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
2. 设D为△ABC所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【详解】∵
∴?=3(?)；
∴=?.
故选：A.
3. 在△ABC中，a=2，b=，c=1，则最小角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】HR：余弦定理．
【分析】由题意，C最小，根据余弦定理cosC=，可得结论．
【解答】解：由题意，C最小，根据余弦定理可得cosC===，∵0＜C＜π，
∴C=．
故选B．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．
4. 函数的图象是
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
5. 设集合集合，则A∩B=
A、(－1,2)
B、(－1,2]
C、{－1,2}
D、{0,1,2}
参考答案：
D
由已知得，则. 故选D.
6. 已知函数的图象是连续不断的一条曲线，且满足，若
．则在下列区间内必有零点的是
（A)（1，3) (B)(3,5) (C)(2,4) (D)(3,4)参考答案：
B
7. 函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
要求函数的定义域，则
，即
则,
故选
8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()
参考答案：
D
9. 下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？
(1) y=()2 ; (2) y= ; (3) y=; (4)y=.
参考答案：
C
略
10. 直线的倾斜角是（）.
A. B. C. D .
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为
参考答案：
10
12. 已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．
参考答案：
（3，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．
【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
13. 已知向量，，若，则．
参考答案：
14. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是
参考答案：
略
15. 若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值
为
参考答案：
16. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则a4= ．
参考答案：
13
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．
解答：解：∵a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；
∴a2=a1+2=3，a3=a2+2?2=3+4=7，
a4=a3+2?3=7+6=13，
故答案为：13．
点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．
17. 若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f （）=f（）即可得答案．
【解答】解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f （）
∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．
∴f（）=
即f（）的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的周期性的运用和计算，比较基础．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y 元．
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）对x讨论，若0＜x≤50，若50＜x≤100，若x＞100，求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）对自变量的范围考虑，选择第二段，代入计算即可得到托运费．
【解答】解：（Ⅰ）（1）若0＜x≤50，
则y=0.25x；
（2）若50＜x≤100，则y=12.5+0.35（x﹣50）=0.35x﹣5；
（3），则y=30+0.45（x﹣100）=0.45x﹣15．
综上可得，y=；
（Ⅱ）因为50kg＜56kg≤100kg，
所以y=12.5+6×0.35=14.6（元）．
则托运费为14.6元．
【点评】本题考查分段函数及运用，主要考查分段函数的解析式的求法和运用，属于基础题．
19. 已知集合，
(1)若A中只有一个元素，求的值，并求出这个元素；
(2)若A∩B＝A，求的取值范围．
参考答案：
(1)当a＝0时，A＝｛x｜2x＋3＝0，x∈R｝＝｛－｝，适合题意；
当a≠0时，△＝4－12a＝0，得a＝，A＝｛－3｝．故所求a的值为0或．(2) B＝｛－1，3｝，由A∩B＝A得A B，
当△＝4－12a＜0，即a＞时，A＝，A∩B＝A成立；
当A中只有一个元素时，由(1)可知A B不成立；
当A中只有二个元素时， A＝B＝｛－1，3｝，故－1＋3＝－，解得a＝－1.
综上所述，所求a的值为a＞或a＝－1
20. 如图在四棱锥中，底面是菱形，是AC，BD的交点，PA=PC，PB=PD，是上一点．
求证：（1）；（2）．平面平面．
参考答案：
21. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】（1）要求x＜0时的函数解析式，先设x＜0，则﹣x＞0，﹣x就满足函数解析式f（x）=x2﹣x，用﹣x代替x，可得，x＜0时，f（﹣x）的表达式，再根据函数的奇偶性，求出此时的f（x）即可．
（2）分类讨论，即可求不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣x，∴f（﹣x）=x2+x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣x，
∴当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，
综上所述，f（x）=；
（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣x＜0，∴0＜x＜1；
当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x＜0，∴x＜﹣1或x＞0，∴x＜﹣1，
综上所述，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或0＜x＜1}．
22. 如图，已知圆F1的半径为，,P是圆F1上的一个动点，PF2的中垂线l 交PF1于点Q，以直线F1F2为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。

（Ⅰ）若点Q的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；
（Ⅱ）设点T为圆上任意一点，过T作圆的切线与曲线E交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标。

参考答案：
Word文档下载后（可任意编辑）
（Ⅰ）因为是线段中垂线上的点，所以
所以：
所以：点的轨迹是以为焦点的椭圆
于是：，于是
所以：曲线的方程是
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，
取,则,此时圆的方程是
取，则，此时圆的方程是
两圆相交于原点，下面证明原点满足题目条件，即证：
当直线斜率不存在时，设直线方程为
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即①由可得：
设，则
于是：
所以：
将①代入可得：
综上所述：以为直径的圆经过定点
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