高考数学复习素材：第六章第5课时知能演练轻松闯关

一、填空题
1．(2012·高考天津卷)集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．
解析：不等式|x －2|≤5等价于－5≤x －2≤5，解得－3≤x ≤7，所以集合A ＝{x ∈R |－3≤x ≤7}，集合A 中的最小整数为－3.
答案：－3
2．(2012·高考江西卷)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为___________．
解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－121－2x －2x －1≤6
或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤121－2x ＋2x ＋1≤6或⎩
⎪⎨⎪⎧ x >122x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－32
≤x ≤32. 答案：⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 3．(2012·高考湖南卷)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．
解析：原不等式即|2x ＋1|>2|x －1|，两端平方后解得12x >3，即x >14
. 答案：⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x >14 4．若不等式⎪⎪⎪
⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.
答案：(1,3)
5．(2012·高考陕西卷)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.
答案：[－2,4]
二、解答题
6．求不等式1<|x ＋1|<3的解集．
解：由1<|x ＋1|<3，得
1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1，
∴0<x <2或－4<x <－2，
∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
7．求不等式1－3|x |x
>0的解集． 解：本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的不等式组，即⎩⎨⎧
x >0
(1－3x )x >0或
⎩
⎨⎧
x <0(1＋3x )x >0， 分别解之然后取并集即得不等式的解集为
⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝
⎛⎭⎫－∞，－13. 8．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值．
解：∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.
又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，
从而－6≤－2y ≤－2.
由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，
∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.
9．(2013·洛阳模拟)已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.
(1)作出函数y ＝f (x )的图象；
(2)解不等式|x －4|－|x －2|>1.
解：(1)依题意可知 f (x )＝⎩⎨⎧ －2
x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，2 x <2.
则函数y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由函数y ＝f (x )的图象容易求得原不等式的解集为⎝
⎛⎭⎫－∞，52. 10．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .
解：|x ＋3|＋|x －4|≤9，
当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；
当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；
当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.
综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．
又∵x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12
时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．
11．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .
(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；
(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．
解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0.
当a ＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a >1时，不等式的解集是R ；
当a <1时，即|x －2|>1－a ，即x －2<a －1或x －2>1－a ，即x <a ＋1或x >3－a ，解集为(－∞，1＋a )∪(3－a ，＋∞)．
(2)函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，
即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，
即|x －2|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立．
由于|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，故只要m <5.
所以m 的取值范围是(－∞，5)．
12．(2012·高考辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若|f (x )－2f (x 2
)|≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.
又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，
所以当a ≤0时，不合题意．
当a >0时，－4a ≤x ≤2a
，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f (x 2
)＝|2x ＋1|－2|x ＋1|， 则h (x )＝⎩⎨⎧ 1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12
，－1， x ≥－12，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
13．已知一次函数f (x )＝ax －2.
(1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|<4；
(2)解关于x 的不等式|f (x )|<4；
(3)若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝3时，则f (x )＝3x －2，
∴|f (x )|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4
⇔－2<3x <6⇔－23
<x <2， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <2. (2)|f (x )|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4
⇔－2<ax <6，
当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫－2a <x <6a
； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫6a <x <－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3
⇔－1≤ax ≤5⇔⎩
⎨⎧
ax ≤5
ax ≥－1. ∵x ∈[0,1]，∴当x ＝0时，不等式组恒成立； 当x ≠0时，不等式组转化为⎩⎨⎧ a ≤5x a ≥－1x .
又∵5x ≥5，－1x
≤－1，∴－1≤a ≤5且a ≠0. 故实数a 的取值范围是[－1,0)∪(0,5]．
14．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1.
(1)证明：|c |≤1；
(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2；
(3)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．
解：(1)证明：∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，
∴取x ＝0，有|c |＝|f (0)|≤1，即|c |≤1.
(2)证明：∵g (x )＝ax ＋b 的图象是一条直线，
∴只需证明|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2.
由已知|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，又由(1)知|c |≤1，
∴|g (－1)|＝|－a ＋b |＝|－f (－1)＋c |≤|f (－1)|＋|c |≤1＋1＝2.
∴|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2.
∴当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.
(3)∵a >0，∴g (x )在(－1,1)上是增函数．
又∵当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，
∴g (1)＝2.∴a ＋b ＝f (1)－c ＝2.
∵－1≤c ＝f (1)－2≤1－2＝－1，
∴c ＝f (0)＝－1.
∵当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，
即f (x )≥f (0)，
∴由二次函数的性质得直线x ＝0为二次函数f (x )的图象的对称轴．
∴－b 2a
＝0，即b ＝0，∴a ＝2. ∴f (x )＝2x 2－1.
15．设0＜a ≤54，如果满足不等式|x －a |＜b 的一切实数x 也满足|x －a 2|＜12
，求b 的取值范围．
解：不等式|x －a |＜b ，即a －b ＜x ＜a ＋b ，
|x －a 2|＜12为a 2－12＜x ＜a 2＋12
， 根据题意有a 2－12≤a －b ，a ＋b ≤a 2＋12
， 即a 2－a －12≤－b ，b ≤a 2－a ＋12在条件0＜a ≤54
之下恒成立．
b ≤－a 2＋a ＋12＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋34⎝⎛⎭⎫0＜a ≤54， 此时316
≤－⎝⎛⎭⎫a －122＋34≤34， 只要b ≤[－⎝⎛⎭⎫a －122＋34]min ＝316； 同理，0＜a ≤54
时， b ≤a 2－a ＋12＝⎝⎛⎭⎫a －122＋14
， 14≤⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1316
， 仍需b ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋14min ＝14
， 所以，正数b 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，316.。