安徽省亳州市第二中学导数及其应用多选题试题含答案

安徽省亳州市第二中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．关于函数()2
ln f x x x
=+，下列判断正确的是（ ）
A ．2x =是()f x 的极大值点
B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()2
2212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以
()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()111
21ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
2．函数()()3
2
0ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正
确的是（ ） A ．230b ac ->
B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减
C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点
D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=
【答案】ACD 【分析】
利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系
可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称，可判断D 选项的正误. 【详解】
()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.
对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()2
3200ax bx c a ++=≠有两个不等的实
根，
则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；
对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间
()12,x x 上单调递增，B 选项错误；
对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.
所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，
此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，
由()10af x <，可得()10f x >，
此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223b
x x a +=-
，123c x x a
=， ()()()()()()()()3232
f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤
-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦
()()()()()(322322
322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣
()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，
取3b
t a
=-
，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3
2
222223333b b b b a b c d f
a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称， 1223b
x x a
+=-
，()()1223b f x f x f a ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
3．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
4．下列说法正确的是（ ） A ．函数(
)2
3sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的
正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22
311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭
， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-⋅
⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴
+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪-
⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-，
()g t ∴在区间(
上单调递减，(
)
()3
2
min 1
g t g
==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-，C 对；
D 选项，(
)2222cos tx x x x
f x x x
⎫+++⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
5．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；
（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）
A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =
B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2
:1C y x =+
C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =
D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】
分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则0
0x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，
当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；
对于B 选项，由()2
1y x =+，可得()21y x '=+，则1
0x y =-'
=，
而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；
对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则0
1x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos x
y x x ==
，可得2
1cos y x
'=，0
1x y ='=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()222
1sin 10cos cos x
g x x x
=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减.
当02
x π
-
<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；
当02
x π
<<
时，()()00g x g <=，即tan x x <.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.
6．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ）
A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
19222
1412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知，
方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
， 则有()()()()()()3
3
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；
对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()2221122121222123
3a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113
327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
7．已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】CD 【分析】
求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】
解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()
12112x
x f x x e a x x e a '=-+-=-+，
①若0a =，那么()()0202x
f x x e x =⇔-=⇔=，
函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，
当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，
由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，
∴()()()()()2
2
2121x f x x e a x x e a x =-+->-+-
()()2
11a x e x e =-+--，
令()()2
110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2
110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；
即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02
e
a -
<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，
()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()(
)
120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()
(1)20x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，
由()()
()()()2
ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦
(){
}
2
ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<
得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2
e
a =-
，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()()
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故函数()f x 在R 上单调递增，
函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若
2
e
a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(
)
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当1x =时，函数取极大值，
由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
8．已知()2
sin x f x x x π
=-
-.（ ）
A ．()f x 的零点个数为4
B ．()f x 的极值点个数为3
C ．x 轴为曲线()y f x =的切线
D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=
【答案】BC 【分析】
首先根据()0f x '=得到21cos x
x π
-
=，分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，从而得
到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
()21cos x
f x x π
'=-
-，令()0f x '=，得到21cos x
x π
-=.
分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，如图所示：
由图知：21cos x
x π
-
=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，
2
π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
->，()f x 为增函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，
(),x π∈+∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
-<，()f x 为减函数.
所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2
x π=时，()f x 取得极小值为
14
π
-，
当x π=时，()f x 取得极大值为0，
所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202
x x π
<<<，且()()12f x f x =，
显然122
x x π
+<，故D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.。