烟台栖霞市2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

高二数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设0b a <<，0d c <<，则下列各不等式中恒成立的是（ )
A ．ac bd >
B ．a b c
d
> C ．a c b d +>+ D ．a c b d ->-
2。

已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，1
7a
=，对任意的*n N ∈都有12n n a a +=-+,
则使n
S 最大的n 的值为（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ．6 3。

不等式1x x
>的解集为( )
A ． (1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(1,1)-
4。

一海伦从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔,海伦在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65，那么,B C 两点间的距离是（ ）
A ．102海里
B ．103 C. 203 D ．20
2
海里
5。

已知0,0a b >>33a 与3b 的等比中项，则ab 的最大值为（
)
A ．12
B ．13
C. 14
D ．18
6。

等比数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，若32n n
S
k =•+（*n N ∈，k 为常数）
，则k 值为（ ）
A ． —3
B ． 3 C. -1 D ．1
7.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2
b B a A a C -=,
则cos B 为（ ) A
B ．34 C.
D ．13
8.若1c >,01b a <<<，则（ ) A ．c
c a
b <
B ．c
c ba
ab < C. log log b a a c b c <
D ．log
log a
b c c <
9.设,x y 满足不等式组60
210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩
，则z x y =-+的最大值为（
）
A ． 0
B ．43
C. 2 D ．3
10。

设{}n
a 是正数组成的等比数列，公比2q =,且33123
332a a a
a =，
则36933a a a a =
（ ）
A ．11
2 B ．15
2 C 。

202 D ．22
2
11。

在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,2
1cos 222A b
c
=+，则ABC ∆形状为( ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C 。

等腰直角三角形
D ．等腰三角形
12.若数列2
{}n
a 是等差数列,则称数列{}n
a 为“等方差数列”，给出以下判
断:
①常数列是等方差数列；
②若数列{}n
a 是等方差数列，则数列2{}n a 是等差数列;
③若数列{}n
a 是等方差数列，则数列2{}n
a 是等方差数列;
④若数列{}n
a 是等方差数列，则数列2{}n
a 也是等方差数列，其中正确
的序号有( )
A ．①②③
B ．①②④
C 。

①③④
D ．②③④
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上) 13.已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若32014
OB a OA a
OC =+，且,,A B C 三点共
线(O 为该直线外一点）,则2016
S = ． 14.若锐角ABC ∆
的面积为且8AB =,5AC =，则BC 等于 ．
15。

若3a >，则1
3
a a +
-的最小值是 ．
16.已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且满足1
2a =，121n n a S +=+，则数列{}n a 的
通项公式为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17. （本小题满分12分)
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且三角形的面积为1cos 2
S bc A =．
(1）求角A 的大小;
（2）若8c =，点D 在AC 边上，且2CD =，1cos 3
ADB ∠=-,求a 的值．
18. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且2
3a
=，525S =．
（1)求数列{}n
a 的通项公式n
a ；
(2)设数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和为n T ，是否存在*k N ∈，使得等式1223k k
T -=成
立,若存在,求出k 的值；若不存在，说明理由． 19。

（本小题满分12分）
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、
小岛C 相距都为5n mile ，与小岛D 相距为35n mile ，
小岛A 对小岛B 与D 的视角为钝角，且3sin 5
A =．
（1）求小岛A 与小岛D 之间的距离；
（2）记小岛D 对小岛B 与C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与D 的视角为
β,求sin(2)αβ+的值．
20. （本小题满分12分） 设2
()(1)1f x ax
a x =-++．
(1)解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若对任意的[1,1]a ∈-，不等式()0f x >恒成立,求x 的取值范围． 21. （本小题满分12分） 已知函数
()22
x
x
f x =+
(1）求()(1)f x f x +-的值; （2)若数列{}n
a 满足12
1
(0)()()(
)(1)n
n a
f f f f f n n
n
-=+++
++*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式；
（3）若数列{}n
b 满足2n n
n b
a =，n S 是数列{}n
b 的前n 项和，是否存在正实
数k ，使不等式3n
n knS
b >对于一切的*n N ∈恒成立？若存在，请求出k 的
取值范围；若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分10分）
设函数()|||5|f x x a x =-+-．
(1)当1a =时，求()f x 的最小值；
（2）如果对任意的实数x ,都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
试卷答案
一.
选择题：CBAAC ABDCD BB
二. 填空题 13。

1008
14。

7 15。

5 16.
2
2, 1
53, 2
n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 三。

解答题
17.解：（1)在ABC ∆中,1sin 2
S bc A =，1cos 2
S bc A =，
∴11sin cos 2
2
bc A bc A = (2)
分
∴tan 1A =,∵0A π<<,∴4
A π=. …………………………4分
（2)在ABD ∆中，∵1cos 3
ADB ∠=-，∴22sin 3
ADB ∠=， …………5分
∴由正弦定理得2
8sin 26sin 22
3
AB A BD ADB ⨯
∠===∠, (8)
分
∴在BDC ∆中,由余弦定理得
2222cos 32BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠=,
……………11分
∴
42a =。

…………………………………………………………………
12分
（2)由（1）得111111
()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+，………………6分
所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和
11111111(1)2335572121n T n n =
-+-+-++--+ 11(1)22121
n n n =-=++。

…………………………………………8分
因为2122212121k
k T
k k -=-
=+++，而121k ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
单调递减,
所以141221213
k T k <-=+≤+， (10)
分
又110,33k
⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，
……………………………………………………………11分
所以不存在k *
∈N ，使得等式1
223k
k
T
-=
成立. ………………………12分
19。

解: (1）
3
sin 5A =
，且角A 为钝角，4cos 5
A ∴==-.…………2分
在ABD ∆中,由余弦定理得，2
222cos AD
AB AD AB A BD +-⋅⋅=，……4分
2224
525()5
AD AD ∴+-⋅⋅-=，28200AD AD ∴+-=，
解得2AD =或10AD =-（舍），
∴
小岛
A
与小岛
D
之间的距离为
2n mile …………………………………………6分
（2)在BCD ∆中，由正弦定理,sin sin BC BD
C α=，即5sin 5
α
= 解
得
sin α=
…………………………………………………………………8分
222,DC DB BC α+>∴为锐角,cos α∴=
又3
sin()sin(180)sin 5
C C αβ+=-==
，………………………………………10分
4
cos()cos(180)cos 5
C C αβ+=-=-=-
，
sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()25
αβααβααβααβ∴+=++=+++=.…12分
20。

解:（1)0<a 时,不等式的解集为}11|{<<x a
x
0=a 时，不等式的解集为}1|{<x x 10<<a 时，不等式的解集为}1x 1
|{<>
或a
x x 1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x
1>a 时，不等式的解集为}1
x 1|{a
x x <>或
……………………………5分
(2）令()2
()1g a x x a x =--+， (7)
分
因为对任意的]1,1[-∈a ,不等式()0f x >恒成立,也即()0g a >恒成立。

所以只需(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，即22210
10
x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，
解
得
11x -<<,
…………………………………………………………
11分 所
以
，
x
的
取
值
范
围
是
1,1x ∈-（）.
…………………………………………12分
21.解：（1
）
1()(1)x x x f x f x -+-=+=
1x ===；…………………………………………3分
（2）121
(0)()()...()(1)n
n a
f f f f f n n n
-=+++++
①
)0()1(...)2()1(
)1(f n
f n n f n n f f a n +++-+-+=∴ ②
由（1)，知1)1()(=-+x f x f ∴①+②，得2(1),n
a n =+ 1
2
n n a +∴=
； (6)
分
（3）因为12(1)2n n n
n b
a n -==+，
0121223242...(1)2n n S n -∴=⋅+⋅+⋅+++⋅
①
=n S 21231223242...2(1)2n n n n -⋅+⋅+⋅++⋅++⋅,
②
①－②得，2312222...2(1)2n n n
S n --=+++++-+⋅
即
2n n S n =⋅，
…………………………………………………………
…8分
要使得不等式3n
n knS b >恒成立,
即2
23(1)kn n >+对于一切的*∈N n 恒成立，
即2
3(1)2n k n
+>对一切的*
∈N n 恒成立，………………………………………
9分
令22
3(1)3
13
()122(1)2(1)12[(1)2]1
n n f n n n n n n ++===+-++++-+， 因为1(1)1
t n n =+++在*∈N n 是单调递增的，
1
(1)1
t n n ∴=++
+的最小值为25212=+， max 3
()3,5
2(2)2
f n ∴=
=- 3k ∴>。

………………………………………12分
22。

解： （1）根据题意将绝对值符号去掉得分段函数：
62,1()4,1526,5x x f x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
作出函数的图象如图，
由图象可知,函数)(x f 的最小值为4。

…………………………5分
（2)∵对R x ∈∀，1)(≥x f ,∴|||5|1x a x -+-≥对一切实数x 恒成立． ∵|||5||||5||5|x a x a x x a -+-=-+-≥-∴|5|1a -≥， ∴6a ≥或4a ≤，
∴a 的取值范围为(][),46,-∞+∞．……………………………………10分。