立体几何初步空间几何与点线面考前冲刺专题练习(二)带答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,
∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△
ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥
的外接球的体积为（ C ）
P
E
D
C
O
(A)2734π (B)26π (C)86π (D)24
6π
(2020山东理)
2．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=A B=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是
DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）
D 1
C 1B 1
A 1
G
E D C
B F
A
A ．5
15arccos
B ．
4
π C ．5
10arccos
D ．
2
π
(2020福建理) 3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)
33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3
3
π3416cm (2020江苏) 4．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30︒
B. 45︒
C. 60︒
D. 75︒(2020北京春季理)（4）
5．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）
A ．
2
6
B ．
6
C ．
6
6 D ．
3
6
（2020全国4文3）
6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，
m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．
那么（ ）
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题(2020浙江文) 7．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线
1BA 与1AC 所成的角等于
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°(2020全国1文) 8．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题 ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α
②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线 ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β
⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l
其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）. （2020全国19）
9．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是 A ①和② B ②和③ C
③
和
④
D ①和④
10．已知a b 、是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b --------------------------------（ ）
(A)一定是异面直线 (B )一定是相交直线 (C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，AB ，CC 1的中点，给出下列3对线段所在直线：①D 1E 与BG ；②D 1E 与C 1F ；③A 1C 与C 1F ．其中，是异面直线的对数共有 ▲ 对．
B
C D
A 1 A
B 1
C 1
D 1
（第5题）
E
G
F
12．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长 为 cm ．
13．圆锥的侧面积是其全面积的3
2
，则侧面积展开图的扇形圆心角的大小为____________。

（用弧度表示）
14．已知一圆柱的侧面展开图是一长和宽分别为π3和π的矩形，则该圆柱的体积是 。

15．如图，已知长方体中1111D C B A ABCD -，
1236AB BC AA =
==
，，，
则异面直线11AB BC 与所成的角是 ．
16．如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，过BC 的平面与平面PAD 交于EF ，那么四边形EFBC 的形状一定是__________
D 1
C 1
A 1
A
B C
D B 1
第11题图
评卷人
得分
三、解答题
17．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点． 求证：（1）EF ∥平面PBC ；
（2）平面BEF ⊥平面PAB ．
18．如图5,在直棱柱
1111//ABCD
A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.
(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值. （2020年高考湖南卷（理））
19．在如图所示的多面体中，11//AA BB ，ACB ∠为二面角1A CC B --的平面角． （1）求证：1CC AB ⊥；（2）求证：11//CC AA ．
E A
B C
P
F
20．如图①三棱柱111C B A A B C
-中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，1BB BC AB ==，M ,N 分别是C A AB 1,的中点.
(1) 求证：11//B BCC MN 平面; (2)
求
证
：
C B A MN 11平面⊥.
① ②
证明：(1)如图②,连接11,AC BC ,显然AC 1过点N.
M ,N 分别是C A AB 1,的中点，
∴1//BC MN 又11B BCC MN 平面⊄ ,111B BCC BC 平面⊂,
∴11//B BCC MN 平面.
(2) 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1BB BC =,
∴11B BCC 四边形是正方形
∴111//1
BC MN C B BC ），由（⊥ ∴C B MN 1⊥.
.
,
90.,,,11111BMC AMA MAA MBC AA BB BC MB AM CM M A ∆≅∆∴=∠=∠===
由连接
CM M A =∴1,又C A N 1是的中点,
∴C A MN 1⊥.
C C A C B 相交于点与11， ∴C B A MN 11平面⊥.
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评卷人
得分
一、选择题
1．C
解析：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为
6
4
，外接球的体积为
3466()348
ππ=，选C
2．D
3．C
4．C
5．A
6．D
7．C
8．①④
9．A；
10．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
11．2
12．
13．
14．或；
π
15．
4
16．梯形
评卷人得分
三、解答题
17．证明：⑴在APC
PA AC的中点，
∆中，因为,E F分别是,
所以EF∥PC，………………3分
又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
所以EF ∥平面PBC ； ………………6分
⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ； ………………9分 又PA PC ⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥， ………………12分 因为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ，
所以平面PAB ⊥平面BEF . ………………14分 18
．
解
:
(Ⅰ)
AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱
D
B A
C BDB
D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。

面且又 .
(证毕) (Ⅱ)。

的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴
轴正半轴。

为轴正半轴，为点，量解题。

设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A
()BD
AC y BD y AC y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设
).
3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC ）
，，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0
,111==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅AD n ACD AD n AC n n ACD
721
3
733|,cos |sin 003,313-1=⋅=
><=⇒==∴AD n AD n ACD θ），，（），，（的一个法向量平面
7
21
11夹角的正弦值为
与平面所以ACD BD . 19．证明：（1）因为ACB ∠为二面角1A CC B --的平面角， 所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥，
又AC BC C =I ，AC BC ⊂、平面ABC ， 所以1CC ⊥平面ABC ， 而AB ⊂平面ABC ， 所以1CC AB ⊥；
（2）因为11//AA BB ，
又1AA ⊄平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， 所以1//AA 平面11BB C C ，
而1AA ⊂平面11ACC A ，平面11BB C C I 平面111ACC A CC =， 所以11//CC AA ． 20．。