概率论与数理统计+武汉大学(齐民友版)课后答案

第一章 随机事件与概率
（一）基本题答案
1、（1）}3,2,1,0{1=Ω
（2）n n /{},2,1{2== Ω是正整数} （3）
（4）}1|),{(223<+=y x y x Ω}20{4≤≤=Ωx x （5）}21,,4,3,2{5 =Ω
（7）},2,1,0{7 =Ω
（6）}0,0,0,1|),,{(6>>>=++=Ωz y x z y x z y x 2、（1）C AB （2） （3）
)(C B A ∪C B A ∪∪（4）C B A C B A C B A ∪∪ （5） （6）AC BC AB ∪∪C B A ∪∪（或ABC ） 3、 z AB P AB P B A P −=−==1)(1)()(∪
z y AB P B P AB B P B A P −=−=−=)()()()(
()()()()1()1P A B P A P B P AB x y y z x z =+−=−+−−=−+∪
()()1()1[()()()]1P AB P A B P A B P A P B P AB x y z ==−=−+−=−−∪∪+
4、()()()(P AB P A AB P A P AB =−=−)
()[()()()]
()()0.60.30.3
P A P A P B P A B P A B P B =−+−=−=−=∪∪
5、))((1)(1)(B A A P AB P AB P −−−=−=
6.03.0
7.01)()(1=+−=−+−=B A P A P 6、)(1)()(C B A P C B A P C B A P ∪∪∪∪−==
1[()()()()()()()]
1111117
1(00)4449936
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =−++−−−+=−++−−−+=
7、)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +−−−++=∪∪ 8
500810414141=+−−−++= 8、因))()()((B A B A B A B A ∪∪∪∪φ===B B B A A B A A ))((∪∪
所以0)()})()()({(==φP B A B A B A B A P ∪∪∪∪
9、七个字母任意排有7！种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问题，
而排成SCIENCE 有41112121=××××××种排法，故所求概率为1260
1
!74=
10、12件产品按不放回方式抽两次时有1112×种抽取法，且每一种取法的概率相等，这
是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有211×种，故所求事件概率为6
1
1112211=××
11、这可看成是条件概率问题
方法一 设A 表示第一次取到不合格品，B 表示第二次取到不合格品，所求概率是，按条件概率的定义有
)|(B A AB P ∪)
()
()())(()|(B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ∪∪∪∪=
= 因91034)(××=
AB P ，9
103
46464)(××+×+×=B A P ∪，故所求概率为 5
1
34646434)|(=×+×+××=B A AB P ∪
方法二 如果是同时从中任取2件 产品，此时有一件是不合格时共有种取法，而已知有一件是不合格品时，另一件也是不合格共有种取法，故所求概率为 161424
C C C +2
4
C
5
1
16
142424=
+C C C C 注：此种方法是在缩减的样本空间中考虑条件概率的计算。

12、设点的坐标为，则样本空间
),(y x }20|),{(2x ax y y x −<
<=Ω
由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与轴的夹角小于
x 04
π
的事件A 为
},20|),{(2x y x ax y y x A <−<
<=
Ω的面积22
1a S πΩ=，A 的面积222141a a S A +=π，故所求概率为
ππππ222
12
141)(22
2+=+=a a a A P
13、设两艘船到达的时刻分别是x 和，则样本空间为y }
240,240|),{(≤≤≤≤=y x y x Ω由实际意义可知这是一个几何概型问题，且有一艘需等待一段时间的事件A 为
}),(,12|),{(Ω∈≤−≤−=y x y x y x A
因Ω的面积，A 的面积224=ΩS )2223(21
24222+−=A S ，故所求概率为
121.0)(==Ω
S S A P A
14、不妨设是单位圆，三点A 、B 、C 将单位圆周分成y x y x −−π2,,三段，于是样本空间Ω为
}2)(20,20,20|),{(ππππ<+−<<<<<=Ωy x y x y x
由实际意义知这是几何概型问题，当且仅当三段弧长都小于π时，三角形ABC 为锐角三角形，即三角形ABC 为锐角三角形的事件A 为
}),(,)(20,0,20|),{(Ω∈<+−<<<<<=y x y x y x y x A ππππ
因Ω的面积2)2(21πΩ=S ，A 的面积22
1
π=A S ，故所求概率为
41)2(2
12
1)(22==ππ
A P
15、（1）用全概率公式得他迟到的概率为 15.004.0121
1.031
2.041
3.0=×+×+×+×
（2）用贝叶斯公式得所求概率是
2
115.0413.0=×
16、用A ，B ，C 分别表示取出的是一，二，三等品三个事件，则所求概率为
32
1.016.0)(1)()(1)()
()()|(=−=−=−−==C P A P C P AC A P C P C A P C A P
其中利用到φ=AC ，即A 与C 互斥。

17、由贝叶斯公式所求概率为
7
3
4.002.06.001.06.001.0=×+××
18、由条件及加法公式有
)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +−−−++=∪∪
16
9)]([3)(32=
−=A P A P 即 ，得03)(16)]([162=+−A P A P 41)(=A P 或4
3
)(=A P （舍） 故 4
1
)(=
A P 19、由条件知9
1
)(=
B A P ，且)()(B A P B A P = 由)()(B A P B A P =得：)()(AB B P AB A P −=−即)()()()(AB P B P AB P A P −=−推得：
)()(B P A P =由独立性，有91)()()(=
=B P A P B A P ，从而得3
1
)(=A P ，故 32
)(1)(=−=A P A P
20、设射手的命中率为P ，则由题意得：
81
80)1(14=
−−P 解之得 3
2=
P 21、设，则由题意得
P A P =)(5904.0)1(14=−−P
解之得，在三次独立试验中，事件A 出现一次的概率是
2.0=P 384.08.2.03)1(2213=××=−0P P C
（二）补充题答案
1、（1）类似于本章第11题，这里不妨认为是同时取出两件产品，此时取出产品中有一件
是不合格品有种取法，而已知两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格品有种取法，故所求概率为 1
12m
M m m C C C −+2
m
C 1
21
1122
−−−=
+−m M m C C C C m
M m
m m
（2）取出产品中有一件是合格品有种取法，而已知两件中有一件是合格品，另一件是不合格品有种取法，故所求概率为 11
2m
M m m M C C C −−+1
1m m
M C C −1
21
1211−+=
+−−−m M m
C C C C C m
M m m M m
m M
注：这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法，且题中“有一件”其意应在“至少有一件”而不能理解为“只有一件”，这是因为对另一件是否是不合格还不知道。

2、（1）这是条件概率，下面考虑在缩减的样本空间中去求，第一、第二次取到正品有种取法，在此条件下第三次取到次品有181415××51415××种取法，故所求概率为
18
5
181********=××××
注：上述是将样本空间中的元素看成是三次取完后的结果，更简单的也可只考虑以第三次取的结果作为样本空间中的元素，即在第一、第二次取到正品时，第三次取时有18种取法，
而在第一次、第二次取到正品时，第三次取次品有5种取法，故所求概率为18
5
（2）此问是要求事件“第一、第二次取到正品，且第三次取到次品”的概率（与（1）不同的在于这里没有将第一、第二次取到正品作为已知条件，而是同时发生），按题意，三次取产品共有种取法，而第三次才取到次品共有181920××51415××种取法，故所求概率为
228
35
181********=××××
（3）三次取产品共有种取法，第三次取到次品有181920××18195××种取法，故所求概率为
4
1
181********=××××
注：此问也可用类似于（1）中注的方法去解决，即只考虑以第三次取得的结果作为样本
空间的元素，也可很快求得答案是
4
1205=。

3、令A 表示挑选出的是第一箱，)2,1(=i B i 表示第i 次取到的零件是一等品，则 （1）由全概率公式，有
)()|()()|()(111A P A B P A P A B P B P +=4.02
1
3018211510=×+×=
（2）用全概率公式有
)()|()()|()(212121A P A B B P A P A B B P B B P +=2
1
29301718214950910×××+×××=
于是所求条件概率是
4856.04
.02
1
29301718214950910)()()|(12112=×
××+×××==
B P B B P B B P 4、用A 表示第一次取到1号球，B 表示第二次取到2号球，则由全概率公式有
)
1()1(11111)
()|()()|()(22
−−+=−×+×−=+=n n n n n n n n n A P A B P A P A B P B P
5、以表示有个孩子，B 表示所有孩子均为同一性别，由全概率公式有
k A k ()∑∑∑∑∞
=∞
=∞=∞
=+=++=+==
10101
00
5.02)5.0()5.0()()|()
()|()(k k
k k k
k k k k k k k k
P P P
P A P A B P P A P A B P B P
6、以A 表示患有癌症，B 表示试验呈阳性，则由贝叶斯公式得
3231.001.0995.095.0005.095
.0005.0)
|()()|()()|()()|(=×+××=+=A B P A P A B P A P B A P A P B A P
7、用D 表示失业率上升，此题要求，根据题意有
)|(),|(),|(D C P D B P D A P 2.0)|(,2.0)|(,8.0)|(===C D P B D P A D P ，则由贝叶斯公式得
94212.0312.0618.061
8.0)|(=×
+×+××
=D A P
同理 92
)|(=D B P
3
1
)|(=D C P
故总统对三个顾问的理论正确性应分别调整成3
1
,92,94。

8、以分别表示甲、乙、丙击中飞机，)3,2,1(=i A i )3,2,1,0(=i B i 表示有i 个人击中飞机，C 表示飞机被击落，则
09.03.05.06.0)()()()()(3213210=××===A P A P A P A A A P B P
36
.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)
()()()(3213213211=××+××+××=++=A A A P A A A P A A A P B P
41
.07.05.06.07.05.04.03.05.04.0)
()()()(3213213212=××+××+××=++=A A A P A A A P A A A P B P
14.041.036.009.01)()()(1)(2103=−−−=−−−=B P B P B P B P
则由全概率公式有
458
.014.0141.06.036.02.009.00)
()|()(3
0=×+×+×+×==∑=i i i B P B C P C P
注：在这里不构成样本空间的划分，因为它们不是两两互斥，可同时发生。

321,,A A A 9、（1）次成功之前已经失败了次，表示进行了n m n m +次，第n m +次试验一定成功，而前面的-1次试验中有次失败，-1次成功，从而所求概率为
n m +m n m n n m p p m n m p p p m n m )1(1)1(11
−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⋅−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+− （2）令A 表示n 次成功之前已有+1次失败，m ),,2,1(n i A i =表示次成功之前已有
+1次失败且第+1次（即最后一次）失败在第n m m i m +次试验中发生，则可知有
1
)1(1)(+−⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=m n p p m n m A P 且两两互斥，对事件，它表示在n i n
i A A A A ,,,11 ∪==i A 1++n m 次试验中，从第次试
验至第试验都成功，第次试验是失败（最后一次失败），而前面的-1次试验
中有m 次失败，次成功，于是
1++i m 1++n m i m +i m +1−i n i p p m i m p p p p m i m A p m n
i n m i i ,,2,1,)1(1)1()1(1)(11
1
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−+=⋅−⋅−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−+=++−−
由于)()()()(21n A P A P A P A P +++= ，即
1111)1(1)1(1)1()1(1++++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++m n m n m n m n p p m n m p p m m p p m m p p m n m 消去立得结论成立。

1)1(+−m n p p 10、由全概率公式，每台仪器能出厂的概率94.03.08.07.01=×+×=p
将每台仪器能否出厂看成是一次试验，则台仪器就是次试验，由于每次试验只有两个结果：出厂或不出厂，且各次试验相互独立，则这是一个重伯努利概型问题，于是有
n n n （1）
n 94.0=α（2） 222
06.094.0−=n n
C β（3） 06.094.094.011⋅⋅−−=−n n n θ
第二章 随机变量及其概率分布
（一）基本题解答
1.样本空间}{)6,6(,),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =V .这里，例如(6,1)表示掷第一次得6点，掷第二次得1点.其余类推.
以X
2.；A i 1，A 2，A 3相互独立，且.3,2,1,2/1)()(===i A P A P i i 于是
{}{}{};
2/1)(2;2/1)(1;2/1)(033212211=========A A A P X P A A P
X P A P X P {}33212/1)(3===A A A P X P . ∴ X 的分布律为：
3.设“ξ=k ”表示前k
).,,1,0()
()1()
)(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =−−−+−−==ξ
4.（1）.3,135151515)(515
1
5
1=∴==×====∑
∑
∑
===c c
c c c k X P k k k ∵
（2）{}.53
51313
1
∑===
≤≤k X P （3）{}.52
515.25.02
1
∑
===<<k X P 5.设进行了次试验，其中有k 次试验成功之事件设为A ，则此事件包含有两层意思：它意
味着第i 次（）成功，且次试验中成功i k i ≥1−i 1−k 次，设这两个事件分别为A 1，A 2，
p,)P(A ),A )(A )P(A P(A )A P(A P(A),A A 1A 12121212====而独立与且则k
i k k i k i k k i q p C q p C A P −−−−−−−−−−⋅=⋅=111)1(11112)(. 于是，所需试验次数X 的分布律为
{}).1;,1,(11111p q k k i q
p c q p c p i X P k
i k k i k i k k i −=+==⋅==−−−−−−− 6.设ξ为该种商品每月销售数，则 ξ～π（7）， x 为该种商品每月进货数，则999.0)(≥≤x P ξ.查普哇松分布的数值表，得x ≥13.
7.设X=｛该外国人在5个选择题中答对的题数｝，则X~B （5，）.又设A=｛答对题数
不少于两题｝，则依题设知 4/1{}∑
∑
==−==
==
5
3
5
3
55.1035.0)43()41()(k k k
k k C k X P A P
8.设X=｛180台同类设备中同时发生故障的设备的台数｝，则X~B （180，0.01）.又设配备
N 个维修人员，则所求概率为
，而{}{}{∑+===
+≥=>180
1
1N k k X P N X P N X P }
{}k k k
C k X P −==180180)99.0()01.0(，故
{}∑
∑+=∞
+=−−≈=
>180
1
1
8
.1180180
!)8.1()
99.0()01.0(N k N k k k
k
k
e
k c N X P ，这里
λ==×=8.101.0180np .
欲使∑
∞
+=−=−≤1
8
.101.099.01!8.1N k k e k ，查泊松分布表，可知N+1=7，因而至少应配备6名工人.
9.设={（=1,2,3），则
i A }需要调整部件i i ,20.0)(,10.0)(21==A P A P .30.0)(3=A P 由于A 1，A 2，A 3相互独立，因此，有
{},504.0)3.01()2.01()1.01()()()()(0321321=−×−×−====A P A P A P A A A P X P {})()()(1321321321A A A P A A A P A A A P X P ++==
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398,
{})()()(2321321321A A A P A A A P A A A P X P ++===0.092，
{})()()()(3321321A P A P A P A A A P X P ====0.1×0.2×0.3=0.006. 因此，X 的概率分布为
X 0 1 2 3 P 0.5040.3980.0920.006
10. F(x)为一阶梯状函数，则X 可能取得值为F(x)的跳跃点：1−，1，3
即有
,2.08.01)03()3()3(,
4.04.08.0)01()1()1(,4.0)01()1()1(=−=−−===−=−−===−−−−=−=F F X P F F X P F F X P
X 1−
1 3 P 0.4 0.4 0.2
11.（1）由于，所以有1)(lim =+∞
→x F x {}
,1)2/exp (lim 2==−++∞
→a x b a x 即=1，又由于X 为连
续型随机变量，F(x)应为x 的连续函数，应有
a {}
b a x b a x F x F x x x +=−+===++−→→→)2/exp (lim )(lim 0)(lim 20
所以.1,0−=−==+a b b a
代入之值，得
b a ,{}
⎩⎨⎧≤>−−=.0,
0,
0,2/exp 1)(2x x x x F （2）对函数F(x)求导，得X 的概率密度{}
⎩
⎨⎧<≥−=.0,0,
0,2/exp )(2x x x x x P
12.当x ≤0, ∫
∞−==
x x t e dt e x F ;2
1
21)(当x ＞0时， )(21)(00∫∫
∞
−−+=x t t
dt e dt e x F x x e e −−−=−+=211)]1(1[21，所以，我们有
⎩
⎨⎧>−≤=−.0,2/1,
0,2/)(x e x e x F x
x 13由{}32=≥k X P 得{}31
=<k X P ，即应选k ，使∫∞−=k dx x f 3
1)(.注意，
∫
∞−=00)(dx x f ∫=1031)(dx x f ，，∫=310)(dx x f ∫
=6332
)(dx x f ，可见当1≤k ≤3时， ∫
∫∫∫
∞−∞−=++=k k dx x f dx x f dx x f dx x f 01013
1)()()()(，所以k 的取值范围应为1≤k ≤3. 14. . .
{}272.0)1(128.021
8
.0=−=
>∫
dx x x X P {}037.0)1(129.021
9
.0=−=
>∫
dx x x X P 15. ),200
1
(~E X （1）200100
1)100()100(−−==≤e F X P =21
1−−e ； （2）300200
1
)300(×−
=>e
X P =5.12
3−−
=e e
.
16.解法1 用随机变量法：令表示第i 次掷骰子出现的点数，i =1,2. 显然x i x 1和x 2独立同
分布，，则方程变为.它有重根的充要条件
是，有实根的充要条件是，故 {})2,1;6,,2,1(,6/1====i j j x P i 0212=++x x x x 04221
=−x x 0422
1≥−x x {}
{}{})4,42,1(041212221======−=x x U x x P x x P q {}{4,42,11212==+}===x x P x x P
={}{}{}{}44211212==+==x P x P x P x P =.18/16/16/16/16/1=×+× 由全概率公式可
得{{
}
P x x P
P =≥−=04221
4
21
2x x ≤}={{}∑
===
6
1
1i P j x P j x x x =≤1
21
24}
{}P x P 11=={41
2≤x }+{{}P x P 21=4222≤x }+{}P x P 31={4322≤x }+{{}P x P 41=4
422≤x }
{{}P x P 51=+4522<x }+P {4622≤x }36
19
161161646162616161061=×+×+×+×+×+×=
解法2 用枚举法：一枚骰子掷2次，其基本事件总数为36.方程有实根和重根的充要条件
分别为和.
042≥−C B 042=−C B B 的取值
1 2 3 4 5 6 使的基本事件个数
042≥−C B 0 1 2 4 6 6
使的基本事件个数
042=−C B 0 1 0 1 0 0 故使方程有实根的基本事件总数为1+2+4+6+6=19，有重根的基本事件总数1+1=2， 因此
.18/136/2,36/19===q P 17.本题关键是理解随机变量N(t)的意义.事件{}k t N =)(表示设备在任何长为t 的时间内发生k 次地震，其概率为{}),2,1,0(!
)()( ===−k e k t k t N P t
k λλ. 由于T 表示两次地震之间的时间
间隔，故当t<0时，；当t ≥0时，事件{}0=≤t T P {}t T ≤与事件{}t T >是互逆事件，且表示在长为t 的时间内无地震发生，故它等价于事件{}
t T >{}0)(=t N .
（1）由于T 是非负随机变量，可见当t<0时，{}0)(=≤=t T P t F . 设t ≥0，则事件{}与{等价. 因此，当t ≥0时，有
t T >}0)(=t N {}{}{}t e t N P t T P t T P t F λ−−==−=>−=≤=10)(11)(.
于是，T 服从参数为λ的指数分布.
（2）{}{}{}{}{}t t t
e e
e T P T P T P T T P T T P Q 551051055,10510−−−==≥≥=≥≥≥=≥≥=.
18.设X 为考生的外语成绩，由题设知),(~σµN X ，其中μ=72.现在求σ2.由题设
{},977.0)24(,023.0)24(17296,023.096=Φ∴=Φ−=⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧−≥−=≥σσσσ
µX P X P 由的数值表，可见
)(x Φσ
24
=2，因此12=σ.这样X~N(72, 122). 所求概率为
{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−≤
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−≤−≤−=≤≤1112728412
72608460σµσµX P X P x P 682.01841.021)1(2)1()1(=−×=−Φ=−Φ−Φ=. 19.（1）;9236.0)43.1()35
300
25035
300
(
)250(≈Φ=−>
−=>ξξp p （2）)353530035()(x
x p x x p <−<−
=+<<−ξµξµ9.01)35
(2)35()35(≥−Φ=−Φ−Φ=x x x ， 即，所以，即.
95.0)35/(≥x 65.135/≥x 75.57≥x 20.引进下列事件：A 1=｛电压不超过200伏｝，A 2=｛电压在200~240伏｝，A 3=｛电压超过
240伏｝；B=｛电子元件损坏｝.由题设，知X~N(220,252
)，因此
{}212.0)8.0(2522020025220200)(1=−Φ=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧−≤−=≤=X P X P A P ；
{}576.0)8.0()8.0(240200)(2=−Φ−Φ=≤≤=X P A P ；
{}212.0576.0212.01240)(3=−−=>=X P A P .
（1）由题设条件，知()1.01=A B P ，，. 于是，由全概
001.0)|(2=A B P 2.0)|(3=A B P
率公式，有.
∑===
=3
1
0642.0)|()()(i i
i
A B P A P B P α（2）由条件概率定义（或贝叶斯公式），知009.0)
()
|()()|(222≈=
=B P A B P A P B A P β.
21.由题设，Y ～其中),3(P B ,412)(2121
21
0∫∫∞−===⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≤=xdx dx x f X P P
故
{}.64/9)4/3()4/1(2122
3===C Y P 22. ∴
2)2(π−X
2π 2
4−π P 0.2 0.7 0.1
)2cos(π−X
1−
1
1 P 0.7 0.3
23.因为 ).,2,1(34,1,2,02sin
=⎪
⎩⎪
⎨⎧−===n n k n k k π
所以，)2
sin(
X Y π
=只有3个可能取值1−，0，1，而取这些值的概率分别为
{}{}{}{},15216/111812121211173111
73=−⋅=
+++=
+=+=+==−= X P X P X P Y P {}{}{}{}{}{}{}{}.
158
16/111212
121219511,
31
4/111412
12121642095642=−⋅=+++=+=+=+====−⋅=++=+=+=+=== X P X P X P Y P X P X P X P Y P
于是，)2sin(X Y π
=的分布列为⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡−158********.
24. ①),2,0(~U X ∵∴0)(0=≤y F y Y 时，; ②当 ,40<<y ;2)()()()()(2y y F y X P y X P y Y P y F X Y =
=≤=≤=≤=
③. 1)(,4=≥y F y y 时 故 ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<=,,010,41
)(其它y y
y f Y 25.应先求出F Y (y)，再对y 求导即得f Y (y) 因
{}{}
{}⎩
⎨⎧≥<<=<=<=.1,,1,
0)(y Iny X p y y e p y Y p y F X Y 故当 而
{}∫
−=<=≥y x Y dx e y X p y F y ln 0
,ln )(,1时./1)()(2y y F y f Y Y =′=因此 ⎩⎨⎧≥<=.
11,1,
0)(2
y y
y y f Y
26.假设随机变量X 具有连续的分布函数，证明:))(x F (X F Y =在区间（0,1）上服从均匀分布.
解 先求Y 的分布函数. 因1)(0≤≤x F ，单调非降. 连续，故)(x F y =的反函数存在. 当时，0≤y 0)())(()(==≤=φP y X F P y F Y ，
当时, 10<<y y y F F y F X P y X F P y F Y ==≤=≤=−−)]([))(())(()(11当时.
1≥y 1)())(()(=Ω=≤=P y X F P y F Y 于是 从而Y 的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=,
1,110,0,0)(y y y y y F Y ⎩⎨⎧<≤=.
,
01
0,
1)(其他y y f Y 即Y= F （X ）服从(0，1)上的均匀分布.
27.（1）Y=e X 的分布函数 .当y )()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=0≤ 时，F Y (y)=0;
当y>0时，{},}2exp{21
ln }{)(2
ln 0
dx x y X P y e
P y F y X
Y −=
≤=≤=∫
π 于是，Y 的概
率密度函数为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>−≤=.0],
)(ln 21exp[21;0,
0)(2y y y y y f Y π
（2）Y=2X 2+1的分布函数{}
1;0)(,1.12)(2>=≤≤+=y y F y y X P y F Y Y 当时当时，
{}
,22
21212
1
12)(21
2
1210
2
2
222∫
∫
−−−
−−
−
=
=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧−≤≤−−
=≤+=y y y x x Y dx e
dx e
y X y P y X p y F ππ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤>−=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤=−−−−∫
.1,0,1,)1(21
)(.1,22,
1,0)(41210
22y y e y y f Y y dx e y y F y Y y x
Y ππ的概率密度为故即（3）X Y =的分布函数 {}{}
.)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= ,0;0)(,0时当时当>=≤y y F y Y {}{}∫
∫
−−−
−
=
=
≤≤−=≤=y y
y
y
x x Y dx e
dx e
y X y P y X P y F .22
21)(2
2
22ππ
于是，Y 的概率密度函数为 ⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=′=−.
0,2,0,0)()(2
21
y e
y y F y f y Y Y π
（二）补充题答案
1.（1）由条件可知，当时，1−<x 0)(=x F ；,81)1(=−F {}.8
5
4181111=−−=<<−X P
易见，在X 的值属于的条件下，事件)1,1(−{})11(1<<−≤<−x x X 的条件概率为
{}.2/)1(111+=<<−≤<−x X x X P 于是，对于,11<<−x 有
{}{}{}{}16
5521851111111,11+=+×=<<−≤<−⋅<<−=<<−≤<−=≤<−x x X x X P X P X x X P x X P {}{}16
7
516558111)(+=++=≤<−+−≤=x x x X P X P x F .
对于有F （x ）=1. 从而 ,1≥x ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤−+−<=.
111116
/)75(10)(x x x x x F 若若若
（2）X 取负值的概率 {}{}.16/7)0(0)0(0===−=≤=F X P F X P p 2．用A 表示有效，由题设知
.,2,1,0,!
5)(,!3)(,41)(,43)(5
3 =======−−k e k A k X P e k A k X P A P A P k k
应用贝叶斯公式，得
.8887.00842.025.02240.075.02240
.075.0)2()()2()()2()()2(≈×+××==+====A X P A P A X P A P A X P A P X A P
3.（1）按第一种方式：记为“第个人承包的20台机器不能及时维修”，，则所求概率为 易知
i A i )4,3,2,1(=i ).(4321A A A A P ∪∪∪()0175.0)99.0()
01.0()()(2020
2
20
14321==
≥−=∑k k
k K A P A A A A P ∪∪∪
（2）按第二种方式：以X 表示这80台机器中需要维修的机器的台数，则不能及时维修的概率为 .
()0091.0)
99.0()01.0()4(8080
4
80==
≥−=∑k
k
k K
X P 从上述计算结果可以看出，还是以第二种方式为好. 因按第二种方式3个人共同维修80台机器不能及时维修的概率较小.
4. ① ②;0)(,0=≤x F x 20<<x ,
);3(4
1)3(38410
)
3(0)
3()2()2()(3232
2232
20202
20
20
20
22x x x x x x x x
x x dx x x dx x x dx
dy dx
x F x
x x x x x −=−−=−−=−−=
=
∫
∫
∫
∫
∫∫
−− ③1)(,2=≥x F X . ⎪⎩
⎪⎨⎧<<−=.,0;
20),2(43)(2
其它故x x x x f
5. X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤≤<<=1,11
0),0(0,0)(x x x X P x x F 设,2.1),1,0[),1,0[,21=∈∆+∈i x x x x i 且由题设得
).()()()()()(22221111x x X x P x F x x F x x X x P x F x x F ∆+≤<=−∆+=∆+≤<=−∆+ 令 ，得 0→∆x ).()
()(lim
)()(lim
)(22201101x F x x F x x F x
x F x x F x F x x ′=∆−∆+=∆−∆+=′→∆→∆ 从而, 对任意，有，当)1.0(∈x C x F ≡′)(]1,0[∈x 时，显然0)(=′x F ; 另一方面
.
1)()10()1(10
∫
===
≤<=C dx x f X P F 所以，X 的密度函数为 因此X 服从[0，1]上的均匀分布.
⎩⎨⎧≤<=,
,01
0,1)(其他x x f 6.设],1,0[~.0),1ln(1
U X X Y ∵>−−=λλ
;0)(,0=≤∴y F y Y .1)1()1(])1ln(1
[)()(,0y y X y Y e e F e X F y X P y Y P y F y λλλλ
−−−−=−=−≤=≤−−
=≤=>
第三章 多维随机向量及其概率分布
(一)基本题答案
1、设X 和Y 的可能取值分别为
.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有
j i 与ٛ且 ,42≤+≤j i ./),(4742
23C C C C j Y i X p j i j i
−−===因而 或0),(===j Y i X P 2(<+j i ).2,1,0;3,2,1,0,4==>+j i j i
于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p
.35/1/)0,0(4
72212033113=======C C C C y Y x X P p
即 2、X 和
. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210
~X ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为
3、Y 的分布函数为显知
有四个可能值：
).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y )
,(21X X }{{}{},112,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−−=≤=≤≤===e Y P Y Y P X X P 易知
{}{}{}{}{},212,10,1,02,11,0212121−−−=≤<=≤>====>≤===e e Y P Y Y P X X P Y Y P X X P {}{}{
},212,10,12121−−−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}{}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P
于是，可将X 1和X 2
4、∑====
=n
m m n P n X P 0
),()(ηζ∑
=−−−−=n
m m
n m n e m n m p p 0
)!
(!)1(λλ
()[]).
,2,1,0(!1!)1()!(!!!
==−+=−−=
−−−=−∑
n n e p p n e p p m n m n n e n n n m
n m n
m n λλλ
λλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.
∑
∑
∞
=−−∞
=−−−−−=
−−=
=m
n m
n m n m
n m m m
n m n m n p m e p e
m n m p p m Y P )!
()1(!
)!
(!)1()(λλλλ
λ
).,2,1,0(,!
)(!
)()1( ==
⋅=
−−−−m m e
p e e m e
p p
m
p m
λλλλ
λλ即Y 是服从参数为λp 的泊
松分布.
5、由定义F （y x ,）=P {}
∫∫
∞
−∞
−=
≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,），必须对积分区域进行适当分块：
等5个部分.
10,1;10,1;1,1;10,10;00≤≤>≤≤>>>≤≤≤≤<<x y y x y x y x y x 或（1）对于 有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于 有 ;
,10,10≤≤≤≤y x 220
4
),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫
（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于 有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .
故X 和Y 的联合分布函数
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,
0),(222
2y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =
∫∫
+−x y t s dsdt ze
)
2()
)(())(
(
20020
2y
t x s y t x s
e e dt e ds e
−−−−−−==∫
∫
=
)1)(1(2y x e e −−−−即
⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,
0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()(
)∫
∫
∫
∫
∞+−−<∞+−−−==
=
≤0
20
22
2,)(dx e e dy e dx
dxdy y x f X Y x y
x x
y x y x
∫
∫
∞+−−−∞+−−=−−=0
3220
)(2
)1(2
dx e e dx e e x x x x .3
1
)2131(2)
21
31(20
23=−−=−=∞
+−−x x e e
7、（1）时，
0>x ,0)(,0;)(=≤==
∫
∞+−−x f x e dy e x f X X
x y X 时 即 ⎩⎨
⎧≤>=−.
0,0,
0,)(x x e x f x X （2）{}2/111
210
121),(1−−≤+−−−+==
=
≤+∫∫
∫
∫
e e dy e dx
dxdy y x f Y X P y x x x
y
8、（1）（i ）,时，
;),()(计算根据公式∫
∞+∞
−=
dy y x f x f X 0≤x 当时10;0)(<<=x x f X 当()();24.224.2)2(8.4)(20
2
x x x y dy x y x f x
x X −=−=−=
∫
0)(,1=≥x f x X 时当
即
⎩⎨⎧<<−=.,0;
10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ） 利用公式计算. 当∫
∞+∞
−=
dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y
11
2)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫
−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2
223
(8.422y y y y y y +−=+−=当时，
1≥y .0)(=y f Y 即 ⎩⎨
⎧<<+−=.0
;
10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y .8
5211),(1)21,21(1)21()21()2(1
2
122
1
2
1=−
=−=≥≥−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<<∫
∫
∫∞+dxdy dx dxdy y x f Y X P Y X P ∪9、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的
面积为)2(X f ,212
1==∫
dx x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,
0;
),(,21),(其它D y x y x f
易知，X 的概率密度为∫
∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,
0,
1,21),()(2其它e x x
dy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能
机会，即为 k {}).9,,1,0(10
1
====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）
数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,;(0 =====k i k i k Y i X P
（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非）的机会为，知)90(≤≤k k k 9/1{}.)9,,1,0,;(9/1 =≠===k i k i k Y i X P 11、（1）因
∫
−=−=
12,)1(12)1(24)(y
y y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨
⎧≤≤−−=;
01
)1/()1(2)(2
其它x y y x y x f ηξ
因
()∫
−=−=
x y x ydy x x f 0
22,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩
⎨⎧≤≤=.0,
0/2)(2其它x y x y x y f ξη
（2）因;1,121)(2
/12∞≤≤==
∫
x x nx
dy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ 故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪
⎨⎧<<=.
,
1
121
)(其它x y x
nx
y x y f ξη
因 ⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧∞<<=≤<==∫
∫∞∞,0
021211021
21)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011
)(2
其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪
⎨⎧∞<<=.0
)(2其它x y x y
x y f ξη
（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫
∞−−x x f x e dy e x f x x
y ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0
,)(其它x y e x y f y x ξη
;0,)(0
>==∫
−−y ye dx e y f y y
y η 故在y>0时，.0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.
0,01)(其它y x y y x f ηξ
12、1
(1)(2)2
(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−=
=+++∫
>，故
12(1)(2)0,(/1)0
.
n n
Y X n y y f y −⎧−+>=⎨
⎩其它
13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.
方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩
⎨
⎧<≥−=+∞=−,000
1),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.
000
1),()(5.0y y e y F y F y Y 由于独立.
Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1
.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X α方法二：以的概率密度，可知 Y X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(⎩
⎨
⎧≥≥=∂∂∂=+−.00
,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫
∞+∞−−⎩
⎨
⎧<≥==.
00,
05.0),()(5.0y y e dx y x f y f y
Y ∫∫
∞+∞+−+−==
>>==1
.01
.01.0)(5.0.
25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====)3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .24
18161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有
),(61
)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得4
1)(==i x X P ,从而有 12
1
8124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得
),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 8
3
8121),(22=−===y Y x X P . 类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(41
1213y Y P ==得3
1)(3==y Y P ,
从而,.
111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3
. 将上述数值填入表中有
1x
1/24 1/8 1/12 1/4 2x
1/8 3/8 1/4 3/4 {
}
j P y X P j ⋅==
1/6 1/2 1/3
1
15、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.
(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见
易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P
12121216、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=−.
0,
0,021)(2
y y e
y f y
Y 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()(y x f y f x f Y X =⋅⎪⎩
⎪
⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y
（2）二次方程 有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2
X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P y
x y x 2
1
2
2
22
1),(}{−≤∫∫
∫∫
=
=
≤∫
−
−=10
2
2)
(dx e
x y
=
dx e
dx e
dx x x x 2
101
0102
222
21211)2
1(−
−
∫
∫
∫
−=−=−π
π
π21−=［
∫
∫
∞
−∞
−−
−
−
102
2
2
2
2121dx e
dx e
x
x π
π
］
.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ
17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .
⎩⎨⎧>>==+−.,0,
0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλµ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}
∫∫
∫∫∞+∞−+−≥==
)(),(x
y x x
y dydx e dydx y x f µλλµ∫
∫
∞+∞+−−=
)(
dx dy e e x
y x µλµλ ),0
u dx e e x
x +=⋅=
∫
∞+−−λλλµλ
{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,
1,10,,0,0)(z z z z F Z µλµ
18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，
∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4， 故
{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 322411,X X Y X X Y ==记1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：
{}{}{}{}.84.016.01}0{016.01,111213221=−===========Y P Y P X X P Y P Y P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 43
21X X X X X =
~ ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件
互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有
∑∑==−===−===
=i k i
k k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00
}
{}{},{}{∑∑
=−−+=+−−−−−=−−=i
k k i n k n i
n n i
i
k k
i n k
i k i n
k
n k
k n C C
p P p p
C P p c 0
02
12122
11
)
1()
1()
1(
,,1,0,)1(21212
1n n i p p C i n n i i n n
+=−=
−++
).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式 并,0=r
n
C .1
2
121∑=+−=i
k i n n k i n k n C C C
21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(2
2σσ
πy x x f X −−=
);
(+∞<<−∞x ⎩
⎨
⎧≤≤−=.,0,
),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−] 上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为
.221)()()(2
2
2)(dy e
dy y f y z f z f a y z Y X Z ∫
∫
−−−−
∞+∞
−=
−=
π
π
µσ
ππ
令σ
µ
−−=
y z t ,则上式右端等于
.)(
212212
2⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=
∫
−+−−−
σµπσµππ
π
πσ
µ
πσ
µπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1
),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.
∵
),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y
y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M
（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1
()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()
[]
)(11)(11
y F y X P i X i n i −−=>Π−==
故 ⎪⎩
⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧
<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,00),1()1()(11y y n y y n y f n n n N θ
θθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数。