关于线性相关和线性无关的练习

关于线性相关和线性无关的练习
一. 判断, 如果错误,请改正.
1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.
2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.
3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关.
4. n R 中任意n+2个必线性相关.
5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.
6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.
7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.
若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.
8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.
9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则
r s ≤.
10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0.
二. 填空题
1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= .
2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 当且仅当 当且仅当 .
3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则 .
4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 .
5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα .
6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 .
7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 .
8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是 . 9. 齐次线性方程组
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=+++=+++=+++0
00221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 . 三. 计算
1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321--==--==αααα.
2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------=111111*********
11
11
1A . 四. 证明题
1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.
2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.
3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.
4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.
5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.
6. 设3
321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明
321,,ααα线性无关.
7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明
(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).
8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.
关于线性相关和线性无关的练习---参考答案
一.判断, 如果错误,请改正.
1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.(F) 正确的命题应该为:
若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则向量组中至少有一个)1(s i i ≤≤α可由其余的向量线性表出.
2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.(F) 正确的命题应为:
若当s k k k === 21≠0时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 或为:
若s k k k ,,,21 不全为零, 使得02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关. 或为:
若02211=+++s s k k k ααα 可推知s k k k === 21=0, 则s ααα,...,,21线性无关. 4. n R 中任意n+2个必线性相关. (T)
5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.(F) 正确命题应为:
设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关则r s ≤. 或为:
设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则
(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).
6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.(F) 正确命题应为:
方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有无穷多个解.
7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.
若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.(F) 正确命题应为:
若s ααα,...,,21线性无关, 则s βββ,...,,21也线性无关.
8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.(T) 这是应为04321=-+-ββββ
9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则
r s ≤.(F)
正确命题应为:
设线性无关的向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤. 10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0. 三. 填空题
1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= -3 .
解: 321,,ααα线性相关的充要条件是01
1
334
2
21
||=--=k
A , 解之得k= -3. 2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 A 的列向量线性无关 当且仅当 R(A)=n 当且仅当 以A 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解 . 3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则
R(s ααα,...,,21)≤R(r βββ,...,,21).
4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 r ≤ s.
5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα 线性无关 .
6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 β 可由s ααα,...,,21 线性表出.
7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 ir i i ααα,...,,21 是向量组s ααα,...,,21 的一个极大无关组 .
8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是: 这两个向量组等价 . 9. 齐次线性方程组
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=+++=+++=+++0
00221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 只有零解 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 方程组有非零解 . 三. 计算
1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321-==--==αααα. 解
:
.
0000100001000
100001000013
010*********
0000
010
113201301103202210
113
131
2313
12
31
11312⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛−→−−−−→−-+⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=r r r r r r r r r A
得极大无关组为421,,ααα, 2133
131ααα+=.
2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------=1111
11111111112
11
111
A . 解
:
.11000011003311011
111022002020033110111111111111111111121111
11413122⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛------=---r r r r r r A
得R(A)=4. 四. 证明题
1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.
证明: 因为04321=-+-ββββ, 所以4321,,,ββββ线性相关.
2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价. 证明, 一方面, 由条件321,,βββ可由321,,ααα线性表出. 另一方面,
)(212311βββα-+=, )(213212βββα-+=, )(2
11323βββα-+=.
所以两个向量组可由彼此线性表出, 从而它们等价.
3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.
4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.
证法 1. 由3题的证明结果, 向量组321,,ααα与321,,βββ等价, 有相同的秩, 再由条件
321,,ααα线性无关, 所以R(321,,ααα)=3, 因而R(321,,βββ) =3, 这样321,,βββ线性无关.
证法 2. 设0332211=++βββk k k , 则0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k , 由于
321,,ααα线性无关, 所以0322131=+=+=+k k k k k k , 解之得0321===k k k , 所以321,,βββ线性无关.
5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.
证明: 设A 的列向量为n ααα,...,,21, 其极大无关组为ir i i ααα,...,,21; B 的列向量为n βββ,...,,21, 其极大无关组为js j j βββ,...,,21. 则
A+B 的列向量为n n βαβαβα+++,...,,2211, 且这组向量可由向量组ir i i ααα,...,,21,线性表出, 所以
R(A+B)=R(n n βαβαβα+++,...,,2211)≤R(ir i i ααα,...,,21,js j j βββ,...,,21)≤r+s=R(A)+R(B).
6. 设3
321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明
321,,ααα线性无关.
证明: 因为321,,εεε可由321,,ααα线性表出, 所以3=R(321,,εεε)≤R(321,,ααα)≤3, 得R(321,,ααα)=3, 从而321,,ααα线性无关.
7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明
(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).
证明: 取s ααα,...,,21的极大无关组it i i ααα,...,,21, 再取r βββ,...,,21的极大无关组
jp j j βββ,...,,21, 则it i i ααα,...,,21可由jp j j βββ,...,,21线性表出, 由定理2的推理1知, t ≤p
即(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).
8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.
证明: 由于向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 设β=s s l l l ααα+++ 2211. 必要性. 设02211=+++s s k k k ααα , 若s k k k ,...,,21不全为零, 则
β=s s l l l ααα+++ 2211;
β=s s s l k l k l k ααα)()()(222111++++++ .
由于s k k k ,...,,21不全为零, 所以s l l l ,...,,21和s s l k l k l k +++,,,2211 是两组不同的数, 与表示法唯一矛盾, 所以s k k k ,...,,21全为零, s ααα,...,,21线性无关.
充分性. 设s ααα,...,,21线性无关, 若β=s s l l l ααα+++ 2211=s s k k k ααα+++ 2211, 则0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα , 由于s ααα,...,,21线性无关, 所以
02211=-==-=-s s l k l k l k , 即s s l k l k l k === ,,2211, 表示法唯一.。