人教A版(旧)高考数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算(文理合卷)

[练案27理][练案26文]
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲 平面向量的概念及其线性运算
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等
B ．模为0的向量与任意向量共线
C ．平行向量不一定是共线向量
D ．任一向量与它的相反向量不相等
2．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB →|＝|CD →
|一定成立 B.AC →＝AB →＋AD →
一定成立 C.AD →＝CB →
一定成立 D.BD →＝AD →－AB →
一定成立
3．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ，B ，C 三点满足BC →＝2AB →
，则这三点在线段上的位置关系是( )
4．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( )
A ．0
B ．BE →
C.AD →
D ．CF →
5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
A.OH →
B ．OG →
C.EO →
D ．FO →
6．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →
＋FC →
＝( )
A.AD →
B ．12AD →
C.BC →
D ．12
BC →
7．(2021·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，则( )
A ．A ，
B ，D 三点共线 B ．A ，B ，
C 三点共线 C ．B ，C ，
D 三点共线
D ．A ，C ，D 三点共线
8．在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，若BP →＝λBA →＋μBC →
(λ，μ∈R )，则λμ＝( )
A.1
16 B ．1
18
C.1
4 D ．12
二、填空题
9．如图所示，下列结论不正确的是____.
①PQ →＝32a ＋32b ；
②PT →
＝－32a －32
b ；
③PS →＝32a －12b ；
④PR →＝3
2
a ＋
b .
10．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于____.
11．(2021·河南三市联考)若AP →＝12
PB →，AB →＝(λ＋1)BP →
，则λ＝ .
12．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA →和OB →
来表示向量OC →，则OC →
＝ 34OA →＋14
OB → .
三、解答题
13．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2. ①求证：A ，B ，D 三点共线；
②若BF →
＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；
(2)已知a 、b 不共线，若向量k a ＋b 与a ＋k b 共线反向，求实数k 的值．
B 组能力提升
1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．菱形
2．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA →
相等的向量有几个( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．(2021·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA
→
＋2EB →＋3FC →
＝( )
A.12AD →
B ．32AD →
C.12
AC →
D ．32
AC →
4.(2020·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( )
A ．点P 在线段A
B 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
5．(2021·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →
＝( ) A.14AB →－34AC →
B ．14AB →＋34A
C →
C.34AB →－14
AC →
D ．34AB →＋14
AC →
[练案27理][练案26文]
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲 平面向量的概念及其线性运算
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( B ) A ．单位向量都相等
B ．模为0的向量与任意向量共线
C ．平行向量不一定是共线向量
D ．任一向量与它的相反向量不相等
[解析] 对于A ，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B 正确；对于C ，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C 不正确；对于D ，零向量与它的相反向量相等，
所以D 错误，故选B 、C 正确．
2．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( C ) A ．|AB →|＝|CD →
|一定成立 B.AC →＝AB →＋AD →
一定成立 C.AD →＝CB
→一定成立
D.BD →＝AD →－AB →
一定成立
[解析] 在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →一定成立，AD →＝CB →一定不成立，BD →
＝AD →－AB →一定成立，但|AB →|＝|CD →
|一定成立，故选C.
3．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ，B ，C 三点满足BC →＝2AB →
，则这三点在线段上的位置关系是( A )
[解析] 根据题意得到BC →和AB →
是共线同向的，且BC ＝2AB ，故选A. 4．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( D )
A ．0
B ．BE →
C.AD →
D ．CF →
[解析] 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →
.
5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( D )
A.OH →
B ．OG →
C.EO →
D ．FO →
[解析] 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →
，故选D.
6．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →
＋FC →
＝( A )
A.AD →
B ．12AD →
C.BC →
D ．12
BC →
[解析] EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12
(AB →＋AC →)＝AD →
，故选A.
7．(2021·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，则( A )
A ．A ，
B ，D 三点共线 B ．A ，B ，
C 三点共线 C ．B ，C ，
D 三点共线
D ．A ，C ，D 三点共线
[解析] ∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b ) ＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB →，∴AD →与AB →
共线，即A ，B ，D 三点共线，故选A.
8．在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，若BP →＝λBA →＋μBC →
(λ，μ∈R )，则λμ＝( A )
A.1
16 B ．1
18
C.1
4
D ．12
[解析] 在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，由平面向量的线性加法运算，可知BP →＝12BD →＝12⎣⎡⎦⎤12(BA →＋BC →)＝14()
BA →＋BC →＝14BA →＋14
BC →，因为BP →＝λBA →＋μBC →
(λ，μ∈R )，所以λ＝14，μ＝14，则λμ＝1
16
.故选A.
二、填空题
9．如图所示，下列结论不正确的是__②④__.
①PQ →＝32a ＋32b ；
②PT →
＝－32a －32b ；
③PS →＝32a －12b ；
④PR →＝3
2
a ＋
b .
[解析] 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT
→
＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →
＋2b ＝32a ＋12
b ，④错误．故正确的为①③.
10．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于__－4__.
[解析] ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →
＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.
11．(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →
，则λ＝ －52
.
[解析] 由AP →＝12PB →可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB →
＝－32BP →，所
以λ＋1＝－32，解得λ＝－5
2
.
12．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA →和OB →
来表示向量OC →，则OC →
＝ 34OA →＋14
OB → .
[解析] 易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →
.
三、解答题
13．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2. ①求证：A ，B ，D 三点共线；
②若BF →
＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；
(2)已知a 、b 不共线，若向量k a ＋b 与a ＋k b 共线反向，求实数k 的值． [解析] (1)①证明：由已知得BD →＝CD →－CB →
＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →，又AB →与BD →
有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． ②由①可知BD →
＝e 1－4e 2，
又BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12， (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线反向， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝λ，kλ＝1.
∴k ＝±1.又λ<0，∴k ＝－1. B 组能力提升
1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( C )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．菱形
[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →
， ∴AD →∥BC →.
又AB →与CD →
不平行，∴四边形ABCD 是梯形．
2．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA →
相等的向量有几个( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →
，EF →
，共3个．
3．(2021·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →
＋2EB →＋3FC →
＝( D )
A.12AD →
B ．32AD →
C.12
AC →
D ．32
AC →
[解析] ∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴DA →＋2EB →＋3FC →＝
1
2(BA →＋CA →
)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋12CA →＋AB →＋CB →＋32AC →＋32BC →＝12AB →＋
12BC →＋AC →＝32
AC →
.
4.(2020·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( B )
A ．点P 在线段A
B 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
[解析] ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →
，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.
5．(2021·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →
＝( B ) A.14AB →－34AC →
B ．14AB →＋34A
C →
C.34AB →－14
AC →
D ．34AB →＋14
AC →
[解析] 解法一：设AD →＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →
，即
－AB →－3AC →＝－4xAB →－4yAC →
，则⎩
⎪⎨⎪⎧
－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得
⎩⎨⎧
x ＝14
，y ＝34，
即AD →＝14AB →＋34
AC →
，故选
B.
解法二：在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14
BC →＝AC
→
－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →
，故选B.。