湖南省邵阳市2024届高三上学期第一次联考(一模)数学试题 Word版含答案

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷
数学
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
{}4,,3,4,8,9A x
x n n B ==∈=N ∣，则集合A B ⋂的元素个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ） A.2(1i)+ B.2(1i)- C.
1i
1i
-+ D.4(1i)+ 3.命题“2,460x x x ∃∈-+<R ”的否定为（ ） A.2,460x x x ∃∈-+>R B.2,460x x x ∃∈-+R C.2,460x x x ∀∈-+<R D.2,460x x x ∀∈-+R
4.若抛物线22(0)x py p =>上一点(),6M n 到焦点的距离是4p ，则p 的值为（ ） A.
127 B.712 C.67 D.76
5.如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R ，则
2λμ-的值为（ ）
A.
43 B.52 C.23- D.103
6.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ） A.56 B.90 C.110 D.132
7.已知函数()π2sin 36f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在170,72a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1710,π9
9a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A.70,
π17⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.67π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.78π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.8
9π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.设56
e
a b c ===
，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设点(),P x y 为圆22:1C x y +=上一点，已知点()()4,0,5,0A B ，则下列结论正确的有（ ）
A.x y +
B.2244x y x y +--的最小值为8
C.存在点P 使PB PA =
D.过A 点作圆C 10.下列说法正确的有
A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和2
2
12,s s ，且
12x x =，则总体方差()
2
22
1212
s s s =
+
B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1
C.已知随机变量()2
,X N
μσ~，若()()151P x P x ≥+≥=，则3μ=
D.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37，则这组数据的第40百分位数为39
11.如图所示，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2,AA AB E ==为1AA 的中点，则（ ）
A.DE ∥平面1A CA
B.DE ⊥平面11D C E
C.P 为棱11A B 上任一点，则三棱锥C PDE -的体积为定值
D.平面DCE 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
π8
12.已知函数()f x 与其导函数()g x 的定义域均为R ，且()1f x -和()21g x +都是奇函数，且()103
g =，则下列说法正确的有（ ）
A.()g x 关于1x =-对称
B.()f x 关于()1,0对称
C.()g x 是周期函数
D.
12
1
(2)4i ig i ==∑
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.52(1)x x x ⎛⎫
+-
⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数为__________. 14.已知数列{}n a 的首项为(
)*
12,21n n a a n n ++=+∈N ，则10
a
=__________.
15.已知1
ππcos cos2cos4,,8
74θθθθ⎛⎫
=-∈
⎪⎝⎭
，则22cos 4cos θθ-=__________. 16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，点P 为它们的一个交点，且
121cos 2F PF ∠=-.当2212112
e e +取最小值时，2
1e 的值为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为
93%，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%,40%.
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X 的数学期望()E X .
18.（12分）在ABC 中，内角A cos22A A -=. （1）求角A 的大小； （2）若2DC BD =，求
AD BD
的最大值.
19.（12分）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为2cm 和113cm,,AA BB 为圆台的两条不同的母线.
1,O O 分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且OAB 为等边三角形.
（1）求证：11A B ∥AB ；
（2）截面11ABB A 与下底面所成的夹角大小为60， 求异面直线1AA 与11B O 所成角的余弦值. 20.（12分）设数列{}(
)
*
n a n ∈N
满足：22
12
n
a a a n n
+
++
=.等比数列{}n b 的首项11b =，公比为2. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）求数列n n a b n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
21.（12分）已知陏圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图所示，设点A 是椭圆C 的右顶点.过点()3,0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,E F ，且都在x 轴的上方.在x 轴上是否存在点P ，使APE OPF ∠∠=，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
7.C 解析：由ππ2π32π,262k x k k -
++∈Z ，得2ππ,3939
k x k -+∈Z ， ()f x ∴的单调增区间为2π2π2ππ,,3939k k k ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦Z . ()f x 在170,72a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上递增，17π8π0,072917a a ∴<∴<.
由ππ32π32ππ,262k x k k +
++∈Z ，得()2ππ2π4
π,,3939
k k x k f x ++∈∴Z 的单调减区间为2ππ2π47π17107π10
,π,.π,π39399991717
k k k a a ⎡⎤
++∈∴<∴⎢⎥⎣⎦
Z . 综上，
7π8π
1717
a . 8.D 解析：11
7
7
11
88187171
8
e e a b e e ==，设()()()()21,01,,0x x e x e
f x x f x f x x x '==∴'-<<<，
()f x ∴在()0,1上单调递减.又11
11,,78
78f
f a b ⎛⎫⎛⎫>∴<∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.又17
187e a c e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
设()(),,1x
x
g x e ex g x e e x '=-=-<时，()()0,g x g x <∴'在(),1∞
-单调递减.
()110,7g g a c ⎛⎫
∴>=∴> ⎪⎝⎭
.综上c a b <<.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11.BC 解析：A 错.B.
11C D ⊥平面1111,AA D D C D DE ∴⊥.又1,DE D E DE ⊥∴⊥平面
11D C E ，B 对.11.C A B ∥11,CD A B ∴∥平面.p CDE CDE V -∴为定值，C 对.D .设外接球球心为O ，即为
对角线1A C 中点.O 到平面DCE 距离为1A 到平面DCE 距离的一半，1A 到平面CDE
O 到平面
CDE
距离为
2
∴
截面圆半径211ππ.D 22r S r ==∴==∴错.
12.ACD 解析：因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x -=---，所以()()11f x f x '-=--'，即
()()11g x g x -=--，所以()g x 的图象关于直线1x =-对称.因为()21g x +为奇函数，所以函数()g x 的
图象关于点()1,0对称，所以8是函数()g x 的一个周期.因为()1
03
g =
，所以()()()111
2,4,6333
g g g =-=-=，所以
12
1
1(2)(123456789101112)43k kg k ==--++--++--++⨯=∑.故选ACD. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.25 14.9 15.1 16.7
8
15.1 解析：2sin cos cos2cos4sin2cos2cos42sin2cos2cos4cos cos2cos42sin 2sin 4sin θθθθθθθθθθ
θθθθθθ
===，所
以2sin4cos4sin81
8sin 8sin 8
θθθθθ=
==-sin8sin θθ=-，即sin sin80,θθ+=；故()()8π2πk k θθ+-=+∈Z 或()()82πk k θθ--=∈Z ，因为ππ0,74⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以2π9θ=，故
22
8π2π16π2π
2cos 4cos 2cos cos cos 1cos 19999
θθ-=-=+-=. 16.7
8 解析：设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为：()2222222210,0x y a b a b -=>>.
不妨设点P 为第一象限的交点，由题意知：1211222,2.PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩则1122
12,
.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩ 由余弦定理得：2
2
2222
12121212
42cos 43c PF PF PF PF F PF c a a ∠=+-⋅⋅⇒=+. 2212
31
4e e ∴=
+.
222222*********
211131*********e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+
=+⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222122121311111233.412412e e e e ⎛⎛⎫
⨯ ⎪ =⋅+++⋅++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
当且仅当442114e e =时取等号，2
2
212
e e ∴=
. 2122211131774,228
e e e e ∴=
+=∴=. 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）
解：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为5%，第2台加工零件的次品率为7%. 记事件A 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件1B 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i 台车床加工的”，1,2i =. 则()()()
220.40.0714
0.60.050.40.0729
P AB P B A P A ⨯=
=
=⨯+⨯∣.
（2）X 的可能取值为0,1,2,3,
,10，且X 服从二项分布.
由（1）知，()0.60.050.40.070.058P A =⨯+⨯=.
()()10,0.058.100.0580.58X B E X ∴~∴=⨯=.
18.（12分）
解：（1）由已知ππ2sin 22,sin 2166A A ⎛⎫⎛⎫-
=∴-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. ππ11
0π,2π666
A A <<∴-
<-<. πππ
2,623
A A ∴-=∴=.
（2）()
11
2,33DC BD BD BC AC AB =∴==
-. 又21
33AD AB BD AB AC =+=+，
24
AD AB AC c
BD AC AB
+
∴=
==
-
.
令0
b
t
c
=>，
2
AD t
BD t
∴===
3
11
23
3
=+==
.
当且仅当1
t=取等号.
AD
BD
∴的最大值为1.
19.（12分）
（1）证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
∴母线
1
AA
与母线1
BB的延长线必交于一点，
11
,,,
A A
B B
∴四点共面.
圆面1
O∥圆面O，且平面
11
ABB A⋂圆面
111
O A B
=，平面
11
ABB A⋂圆面O AB
=.
11
A B
∴∥AB.
（2）解：ABO为等边三角形，
π
3
AOB
∠
∴=，如图建立空间直角坐标系O xyz
-，
设
1
(0)
OO t t
=>.
(
)()133,0,0,,2,0,2A B A t ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭.
(
)131,0,,,22AA t AB ⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面11ABB A 的一个法向量()1,,n x y z =.则有：
0,
30.2
2x tz x y -+=⎧⎪
⎨-+
=⎪⎩
令x =
11,3,1,y z n ⎛==∴= ⎭. 底面的一个法向量(
)20,0,1n =
，
因为截面与下底面所成的夹角大小为60，
所以
121cos60cos ,2n n ︒==
=
=
，
32
t ∴=
， 131,0,2AA ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
，又()
1112,3A B AB
B ==-∴坐标为32⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
()
111,O B
∴=，
111111111
cos ,13AA
O B AA O B AA O B ⋅-=
=
=
. ∴异面直线1AA 与11O B 所成角的余弦是13
.
20.（12分） 解：（1）
22
1,12n a a a n n n +
++=. 212
1(1),22
1
n a
a a n n n -∴+++=--. 22(1)21n
a n n n n
∴
=--=-.即()21,2n a n n n =-. 当1n =时，11a =，满足上式.
()21212,2n n n a n n n n b -∴=-=-=.
（2）由（1）知：()1212n n n a b n n
-=-⋅. ()0111232212n n T n -∴=⋅+⋅+
+-⋅， ()()11212232212n n n T n n -=⋅++-⋅+-⋅.
()1112222212n n n T n -∴-=+⋅++⋅--⋅
()()1
2121221212n n n --=+⋅--⋅-
()
()11421212n n n -=+---⋅
()222123n n n =⋅--⋅-
()3223n n =-⋅-.
()2323n n T n ∴=-+.
21.（12分） 解：（1
）依题意得222
21,2b a c a b c ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩
解得11,,22
a b c ===， ∴椭圆C 的标准方程为2
2134
y x +=.
（2）存在点P ，使APE OPF ∠∠=，点P 的坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.理由如下：
直线l 过点()3,0，与椭圆224:13
C x y +=交于不同的两点,E F .且都在x 轴上方. ∴直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()3,0y k x k =-≠.
联立方程()223,4 1.3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
消去y 可得：
()222234243630k x k x k +-+-=.
设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122224363,3434k k x x x x k k
-+==++. APE OPF ∠∠=，
()()()()()()
122112121233PE PF k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--∴+=+=---- ()()()()()()()
22
221212121272624362363434k k m m x x m x x m k k k k x m x m x m x m --+⋅+-+++++=⋅=⋅---- ()()()
2222
212726722418240.34k k mk m mk k x m x m k ---++=⋅=--⋅+ 11860,3
m m ∴-=∴=. 存在P 点满足条件.
P ∴点坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 22.（12分）
（1）解：()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-+'+-=++==>---. 当2a =-时，()()20,1
f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减. 当20a -<<时，()f x 在21,
2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增. 当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增. 当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减. 综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增. 当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.
当2a -时，()f x 在()1,∞+上单调递减.
（2）证明：1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+. 令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，
则()12cos 1h x x x
=+-'. 令()()()21,2sin h x m x m x x x ==-
-''. i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立， ()h x ∴在(]0,1上单调递增.
又()12sin110h =->，
()
22222sin 0g e e e ---=-+-< ∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =. ii.(]1,πx ∈， ()2
12sin 0m x x x =--<'恒成立， ()m x ∴在(]1,π上单调递减.
又()1π210π
m =--<， ()12cos10m =>.
存在零点0x ，使()00m x =.
()()01,,0x x h x ∈'∴>，
()()0,π,0x x h x ∈'<.
()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减. 又()()010,0h h x >∴>.
()πln ππ0h =-<，
∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =. iii.3ππ,2x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
， ()112cos 0h x x x
∴='-+<恒成立. ()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减.
()()πln ππ0h x h ∴<=-<恒成立.
()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
没有零点. iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
时，ln 2sin ln 2x x x x x +-+- 下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+
⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<. 设()2ln n x x x =--.
()110n x x
=->'. ()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
上单调递增， ()3π3π3π3π,2ln 2ln 022
22n x n ⎛⎫-->-> ⎪⎝⎭， ln 20x x ∴+-<恒成立.
综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点. 又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，。