高一数学解答题练习试题集

高一数学解答题练习试题答案及解析
1.下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：
第一步输入工资x(注x<=5000);
第二步如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);
否则 y=25+0.1(x-1300)
第三步输出税款y, 结束.
请写出该算法的程序框图.
【答案】见解析
【解析】（1）根据第一步，我们可以开始后，应设计一个数据输入框，由第二步，我们可知我们需要设计一个分支嵌套结构，最后还要在结束前有一个数据输出框，根据已知中数据，易得到程序的框图；
（2）由（1）的框图，将框图中的输入、分支、输出转化为对应语句后，即可得到程序的语句；根据算法步骤画出程序框图，关键是熟练掌握各种框图对应的语句是解答本题的.
试题解析：
【考点】程序框图.
2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点, ,
．
（１）若，且，求向量．
（２）若向量与向量共线，常数，当取最大值4时，求．
【答案】(1)(24,8)或(-8,-8);(2)32
【解析】(1)由可知,又即,解得,所以(24,8)或(-8,-8;(2) ，因为向量与向量共线，所以,则
,①时，取最大值为，由=4，得，此时，②,
时，取最大值为，由=4，得，（舍去）.
试题解析：(1),,
又，得,
所以或
或
（2），因为向量与向量共线，
①时，取最大值为，
由=4，得，此时，
②,时，取最大值为，
由=4，得，（舍去）
综上所述，
【考点】1.向量的运算与性质;2.函数的最值
3.已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
解题思路：（1）利用已知条件先求出，再求；（2）用错位相减法求数列前n项和.
规律总结：1求数列的通项公式一般有三种类型：①利用等差数列、等比数列的基本量求通项公式；②已知数列的首项与递推式，求通项公式；③利用与的关系求通项公式；
因为是等差数列，是等比数列，则求的和利用错位相减法.
注意点：利用时，一定要验证的式子是否满足的表达式．
试题解析：（1）∵是公比为的等比数列，
∴,
∴,从而，,
∵是和的等比中项∴，
解得或,
当时，，不是等比数列，
∴.∴,
当时，,
∵符合,
∴；
（2），
，
，两式相减，得
，
.
【考点】1.已知求；2.错位相减法.
4.已知函数（，）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）此类题的一般解题规律是：先定振幅，然后由周期定，最后再由最高点或最低点的坐标定初相，掌握了这一般规律，就很容易得到正确答案；（2）先将求值的式子化简，看看最终需要什么，然后再将条件朝着结论的方向进行变形，注意整体思想和“1”的巧代换的使用.
试题解析：（1）由其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为得：，从而，∴. 2分
∵为偶函数，即（）∵，∴ 4分
∴. 6分
（2）由得：，平方则有 8分
12分
【考点】三角函数的图象与性质及三角恒等变换.
5.在中，已知，解三角形．
【答案】
【解析】解题思路：因为已知两边与其中一边对角，所以选择正弦定理求C；利用三角和定理求A,利用勾股定理求．规律总结：解三角形，要分析所给已知量，合理选择定理（1．已知三边求角，选用余弦定理；2．已知两角和一边，选用正弦定理；3．已知两边和夹角，选用余弦定理；4．已知两边和其中一边的对角，选用正弦定理．)．
试题解析：在中，
当时，，
．
【考点】解三角形．
6.根据下列条件解三角形：
（1）；（2）．
【答案】（1）,,（2）
【解析】（1）解三角形就是要将三角形的角和边都求出来，一般利用正余弦定理进行求边和角.
本题已知两边及一对角，可用正弦定理先求另一对角，即，确定C角
是否为钝角，需利用大边对大角，大角对应正弦值也大的规律，进行判断：∴，∴为锐角，∴，.也可从余弦定理出发，先求，即
再利用正弦定理求角.（2）类似(1),不同点在于，
，所以要分情况讨论.
试题解析：解：（1），∴，
，∴，∴为锐角，∴，∴．
（2），∴，∴，
∴当；
∴当；
所以，．
【考点】正余弦定理解三角形
7.已知函数，
（1）若，求方程的根；
（2）若函数满足，求函数在的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）若，直接解二次方程的即可；（2）根据，得到函数的对称轴，然后根据二次函数的图象和性质求函数的值域即可．
试题解析：（Ⅰ）若，则，
由得，解得，即方程的根为．
（2）由知，函数图象对称轴为，即，
∴，当时，值域为．
【考点】1．二次函数的图象与性质；2．函数的值域．
8.设为实数，函数.
(Ⅰ)若，求的取值范围；
(Ⅱ)求函数的最小值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由条件代入可解得；(Ⅱ)结合一元二次函数的最值以及分段函数可以求得函数的最小值，详解如下；
试题解析：(Ⅰ)因为，，所以，可知，得到，所以；
(Ⅱ)将函数去掉绝对值，化简有：.
令；
.
当，所以；
当，所以.
综上，函数的最小值为：.
【考点】分段函数，一元二次函数的最值.
9.解方程．
【答案】
【解析】因为所以 8分
增根未舍扣2分
【考点】简单对数方程
点评：中档题，解答对数方程，一般要化为同底数对数相等，利用真数相等，转化成代数方程，但对数方程变形过程中，易于改变未知数的范围，因此，一定要验根。

10.在数列中，，.
（1）设，求证数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）
所以数列是等比数列
（2）
【解析】（1），
，所以数列是等比数列
（2）由（1）知是等差数列，公差为，首项为，所以通项为
【考点】等比数列的证明及数列求通项
点评：要证明一个数列是等比数列要依据定义，即证明数列的相邻两项的比值是固定的常数；在求一般数列的通项公式时，通常需要构造与之相关的数列为等差数列或等比数列，借助于这两个特殊数列求解
11.已知，求证：
【答案】
【解析】１．解：
，
在区间内正切值为的角只有１个
即，所以
【考点】本题主要考查两角和的正切公式。

点评：应用两角和的正切公式先求，结合角的范围及正切函数单调性进一步求角。

此类问题，要特别注意角的范围。

12. (2010·北京理，15)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
【答案】（1）－.（2）当cos x＝－1时，f(x)取最大值6；当cos x＝时，f(x)取最小值－.
【解析】本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x的二次函数，求值即可．
(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R
因为cos x∈[－1,1]，所以当cos x＝－1时，f(x)取最大值6；当cos x＝时，f(x)取最小值－. 13.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如图所示．
从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员合适？
【答案】甲运动员
【解析】解：根据茎叶图，可得甲、乙两名运动员的6次预赛成绩如下：
甲：787981849395
乙：758083859295
派甲运动员参赛比较合适．
理由如下：
＝ (70×2＋80×2＋90×2＋8＋9＋1＋4＋3＋5)＝85，
＝ (70×1＋80×3＋90×2＋5＋0＋3＋5＋2＋5)＝85，
＝ [(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝，
＝ [(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝.
∵＝，<，∴甲运动员的成绩较稳定，派甲运动员参赛比较合适．
14.甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），锤子记为“⊥”，剪刀记为“×”，布记为“□”
求：（1）列出实验所有可能的结果（2）平局的概率；（3）甲赢的概率；
【答案】（1）实验所有可能的结果有9种（2）（3）
【解析】（1）实验所有可能结果应为=9种.
（2）平局是甲、乙两人出拳结果一样，所以有3种结果，故平局的概率为.
(3) 甲赢有3种结果，所以甲赢的概率.
解：（1）实验所有可能的结果有9种略
（2）平局的概率
（3）甲赢的概率
15.已知：球的半径为R，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？
【答案】当内接圆柱底面半径为R，高为R时，圆柱的侧面积最大
【解析】解：设球内接圆柱的高为h，底面半径为r,侧面积为S
∴（）2+r2=R2,∴h=2
则S=2πrh=4πr
令y=S2，x=r2，∴y=－16π2x2+16π2R2x
∴当x=时，即r==R时，S取最大值，这时圆柱的高h=2R
故当内接圆柱底面半径为R，高为R时，圆柱的侧面积最大、
16.（满分15分）
【答案】；。

【解析】本试题主要是考查了同角的三角关系式的变形的运用。

，那么可知
可以变形为关于sinx的二次函数，然后利用消去参数，得到关于sinx的函数式，然后求解得到最值问题。

……………….4分
……………………………8分
………………………………12分
…………………………………15分
17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，
（1）若为等差数列，证明为等差数列；
（2）在（1）的条件下，，求数列的前项和；
（3）在（1）（2）的条件下，若存在实数使得对一切,有
成立，求的最小值.
【答案】（1）略
（2）,,
（3）设
由得，
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和前n项和的关系式的运用。

结合等差数列的定义，证明结论和分析通项公式的特点，合理选用求和公式的运用。

以及构造函数的思想，借助于函数
的单调性，证明不等式。

（1）中利用为等差数列，得到关系式，然后将前n项和与通项公式的关系互化，可以证明为等差数列。

（2）在第一问的基础上可以得到数列的通项公式，进而得到前n项和的求解。

（3）要证明不等式成立，只要构造函数，利用函数的单调
性得到f(n)的最值然后求解得到参数的取值范围。

18.已知数列的前项和是,满足.
(Ⅰ)求数列的通项及前项和；
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和；
(Ⅲ)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围
【答案】（1）. （2）
（3）
【解析】(I)先求出a
,然后构造由,再与作差可得,进而
1
确定是等比数列.问题得解.
（II）在（I）问的基础上，采用裂项求和方法求和.
(III) 由恒成立 , 即恒成立
即恒成立 ,必须且只须满足恒成立,然后转化为关于对
于一切实数x恒成立即可.
解：（I）由,…………1分
由---------2分
∴数列是等比数列数列的公比q="2"
所以，数列的通项公式为…………3分
前项和公式为. ………………………4分
（II）
……………………………6分
………………………7分
…………………………………………8分
(Ⅲ)由恒成立即恒成立
即恒成立……………………………………9分
必须且只须满足恒成立………………………………10分
即在R上恒成立,………………11分
解得.
19.（本题满分14分）已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合。

（Ⅰ）写出集合和；
（Ⅱ）若全集，求。

【答案】（Ⅰ）由得x>1，从而，又∵，∴，从而…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………………………9分
易解…………………………14分
【解析】略
20.在w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m中，内角对边的边长分别是，已知
，的面积是，求边长和.
【答案】 w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m …………………………………（5分）
…………………………………（5分）
所以，
【解析】略
21.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下表格所示统计数据，由资
料显示y对x呈线性相关关系。

x3456
关于x的线性回归方程？
(Ⅱ)试根据(1)求出的线性回归方程，预测使用年限为10年时，维修费用是多少？
【答案】(1)
线性回归方程为
（2）时，维修费为（万元）
【解析】略
22.已知函数
(1) 求证：在上是增函数；
(2) 若在区间上取得最大值为5，求实数的值．
【答案】(1)任取且………………1分
…………………………3分
…………………………4分
…………………………5分
上是增函数…………………………6分
(2)因为上单调递增…………………………7分
所以在上也单调递增…………………………8分
解之得
【解析】略
23.已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F是侧棱PD、PC的中点。

（1）求证：平面PAB；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正切值。

【答案】证明：（1）
证明：（2）连结AC，因为PA平面ABCD，所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。

即又因为正方形ABCD的边长为2，所以AC=，
所以
【解析】略
24.（（12分）设函数在上满足，，且
在闭区间上只有．
（1）求证函数是周期函数；
（2）求函数在闭区间上的所有零点；
（3）求函数在闭区间上的零点个数及所有零点的和．
【答案】（1）由，得
所以的最小正周期．
（2）由知
函数在闭区间上的零点分别有：．
（3）零点有1610个，所有零点和为．
【解析】略
25.设二次函数，已知不论，为何实数，恒有和
．
（1）求证：；
（2）若函数的最大值为，求，的值．
【答案】（1）因为且恒成立，所以，又因为且恒成立，所以，从而知，，即．………5分（2）由且恒成立得，即，将代如得
，即．…………8分
，
因为，所以当时，
由，解得，
【解析】略
26.本小题满分12分）设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．
（1）写出函数的解析式；
（2）若当时，恒有，试确定的取值范围；
（3）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，（）在的最大值为，求的值
【答案】解：（1）设点的坐标为，则，即。

∵点在函数图象上
∴，即
∴
(2)由题意，则，.
又，且，∴
∵∴，对称轴为
∵∴，则在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
从而。

（3）由（1）知，而把的图象向左平移个单位得到的图象，则，
∴，
即，又，的对称轴为，又在的最大值为，
①令；此时在上递减，∴的最大值为
，此时无解；
②令，又，∴；此时在上递增，∴
的最大值为，又，∴无解；
③令且
∴，此时的最大值为
，
解得：，又，∴；
综上，的值为.
【解析】略
27.（本题满分10分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD 的中点.⑴证明：平面SBD⊥平面SAC；⑵证明：直线MN//平面SBC.
【答案】证明：⑴因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.----1分
因SA⊥底面ABCD，所以BD⊥SA.----------3分
因SA与AC交于点A，所以BD⊥面SAC.----4分
因BD面SBD，所以面SBD⊥面SAC；------5分
⑵取SB的中上E，连结ME、CE，
因M为SA中点，所以ME//AB且ME=AB.
又ABCD是菱形，N为CD中点，
所以CN//AB且CN=，---------8分
所以CN//EM且CN=EM，
所以四边形CNME是平行四边形，所以MN//CE，
又MN面SBC，CE面SBC，所以MN//面SBC.------------------10分
【解析】略
28.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【答案】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)=.
所以，当x＝100时，f(x)在间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【解析】略
29.已知是定义在R上的函数，对于任意的,,且当时，．（1）求的解析式；
（2）画出函数的图象，并指出的单调区间及在每个区间上的增减性；
（3）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围.
【答案】解：
（1）当x < 0时，–x > 0，∴----2分
∴的解析式为－－－－－－４分
（2）的图象如右图：
在上是减函数在[–1，1]上是增函数－－－８分
（3）由图象可知，在[－1，1]上单调递增，要使在[－1，a－2]上单调递增，只需得<３
【解析】略
30.(本题满分14分)已知函数，求在区间[2,5]上的最大值和最小值
【答案】解：在[2,5]上任取两个数，则有…………….2分
…………….8分
所以，在[2,5]上是增函数。

…………….10分
所以，当时，…………….12分
当时，…………….14分
【解析】略
31.设数列的前项和为，，.
⑴求证：数列是等差数列.
⑵设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数
的值.（本题满分12分）
【答案】解：⑴依题意，，故，………………………………. (2分)
当时，①
又②………………….…………. (4分)
②―①整理得：，故为等比数列，
且，. ，
即是等差数列. ………………………. (6分)
⑵由⑴知，
=.……………………. (9分)
，依题意有，解得，…………… (11分)
故所求最大正整数的值为5 …………………. (12分)
【解析】略
32.已知函数。

（Ⅰ）若函数的图象关于点对称，且，求的值；（Ⅱ）设，若，求实数的取值范围
【答案】
【解析】略
33.(本小题14分) (1) 证明函数 f(x)=在上是增函数；
⑵求在上的值域。

【答案】（1）略
（2）
【解析】证明：⑴、设，则……1分
……3分
……6分
⑵、由⑴知在[4，8]上是增函数……10分
∴
∴……14分
34.已知，，，且，
（1）当时，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】解：由，，①
（1）当时，，
所以：，，即：，
所以：
（2）由①消去得：，
故有：，解得：，
【解析】略
35.(本小题8分) 嘉兴市秀洲区为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，并决定
对淡水鱼养殖提供政府补贴。

设淡水鱼的市场价格为，政府补贴为。

根据市场调查，
当时，淡水鱼的市场日供应量与市场日需求量近似满足关系：
，；当时的市场价格称为市场平衡价格。

（1）将政府补贴费表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的定义域；
（2）为使市场平衡价格不高于，政府需要补贴吗？如果需要，至少为多少？
【答案】（1）（2）不需要补贴
【解析】略
36.两城相距，在两地之间距城km处建一核电站给两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于。

已知供电费用等于供电距离的平方与供电量之积的0.25倍，
若城供电量为每月20亿度，城为每月10亿度。

（1）把月供电总费用表示成的函数；并求此函数的定义域；
（2）核电站建在距城多远，才能使供电总费用最小。

【答案】（1），
（2），y最小
【解析】（1）；
（2）由
则当米时，y最小。

37.（本题满分14分）已知函数f(x)=－3sin2x－4cosx+2（本题满分14分）
⑴求f()的值；
⑵求f(x)的最大值和最小值。

【答案】.⑴f()=－3×－4×+2=－……………………………………………4′f(x)=－3（1－cos2x）－4cosx+2
=3 cos2x－4cosx－1 ……………………………………………6′
=3（cosx－）－
⑵∵－1≤cosx≤1∴cosx=时 f(x)的最小值为－………………10′
cosx=－1时 f(x)的最大值为6 ……………………………………………14′
【解析】略
38.已知两条直线：3x+4y一2=0与：2x+y+2=0的交点P：
（1）求交点P；
（2）过点P且垂直于直线：x一2y一1=0的直线的方程.
【答案】（1）P(-2,2)
(2)2x+y+2=0
【解析】略
39.已知．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。

【答案】(Ⅰ)
（Ⅱ）
【解析】解：(Ⅰ)
（Ⅱ）==。

40.（14分）在数列中，
（1）设，证明：数列是等差数列
（2）求数列的前项和
【答案】（1）同解析（2）
【解析】由得
是等差数列。

（6分）。

（1）。

（2）
（1）-（2）
=。

（14分）
41.（本小题满分12分）
（普通高中做）
画出不等式组所表示的平面区域(用阴影表示).若目标函数，求z的最大值.【答案】
【解析】
（普通高中做）解：
不等式组表示的平面区域如图所示.
阴影部分是一个直角三角形.------6分
目标函数变形为
当上面的直线经过可行域上的点（0，3）时，截距
最大，z最大，------12分
42.(本大题满分10分)是否存在实数，使函数在闭区间上的最大
值为？若存在，求出对应的值；若不存在，请说明理由.
【答案】略
【解析】
当时，，
令，则，-----------2分
（1）当，即时，
则当时，
解得或，
又， --------------------------------------------4分
（2）当，即时，
则当时，，解得，又
故这种情况下不存在满足条件的值.------------------------------6分
（3）当，即时，
则当时，
解得，又
故这种情况下不存在满足条件的值.-------------------------------8分
综上，存在符合题意． -------------------------------------10分
43.（本题满分12分）已知，其中向量
．
（1）求函数的最小正周期;
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
周期；
（2）当
∴的值域为
44.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，有,求的范围.
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【解析】（1）按照证明函数单调性的方法来求函数的单调区间，步骤为：取值、作差、变形、判号，最后根据来确定的范围，进而得出函数的单调区间；
（2）由（1）可知：函数在上为增函数，由此可得：进而可得的范围.
试题解析：
（1）设且，
所以
因为，所以，
当时，函数为增函数；
当时，函数为减函数；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
由（1）可知：当时，函数为增函数，
所以，
所以的范围为.
【考点】函数性质的应用．
45.（12分）求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程．
【答案】．
【解析】由题意设出双曲线的方程，化成标准形式利用双曲线的性质求出λ，代入化简可得标准方程．
解：设双曲线方程为：9x2﹣16y2=λ，
∵双曲线有一个焦点为（5，0），
∴λ＞0；
双曲线方程化为：，
则+=25；
则λ=144，
∴双曲线方程为：．
点评：本题考查了双曲线方程的求解及双曲线的性质，属于基础题．
46.（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中是仪器的月产量，（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）.【答案】（1）
（2）当月产量为300台时，公司获利最大，最大利润为25000元.
【解析】（1）根据题意总收益总成本利润，故利润总收益总成本，易得函数关系式；（2）通过（1）知函数关系式为分段函数，故函数的最大值为各段最大值中的最大值．
试题解析：（1）当时，
=；
当时
所以所求 6分
（2）当时
当时，
当时，
所以当时，
答：当月产量为300台时，公司获利最大，最大利润为25000元 12分
【考点】函数综合问题.
47.（本小题满分14分）计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）1 （2）32
【解析】第一小题是对数计算，由于都是以10为底，涉计的问题，注意的应用，本题有，解题目标是化为的运算，由于，计算即可，当然本题方解题方向化为也可以.第二部为指数运算，涉及幂运算公式，，
，，然后利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，，
，,计算后即可.
试题解析：（1）
=
=
=
=1
（2）
=
=
=
【考点】1.指数运算公式与法则；2.对数运算公式和法则；
48.（本小题满分16分）已知向量，，函数．（1）求的最大值及相应的的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（）时取得最大值（2）
【解析】（1）函数式中代入向量的坐标，转化为关于x的三角函数式，整理为
的形式求最值（2）由求的的三角函数，利用诱导公式将所求式子变形与已知相关，即
可求解
试题解析：（1）因为，，所以
4分
..6分
因此，当，即（）时，
取得最大值； 8分
（2）由及得， 10分
两边平方得，即． 14分
因此，． 16分
【考点】1.三角函数式基本公式；2.三角函数的最值
49.（本题12分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量m＝（－1，
），n＝（cosA，sinA），且m·n＝1．
（1）求A；
（2）若＝（2，1），，求△ABC的面积S．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）第一步，代入向量的数量积的公式；2．第二步，化简三角函数为；第三步，根据三角形的内角求角A；（2）根据正弦定理，，将所给等式进行化简，然后
结合上一问的结果，得到三角形的形状，再求面积．
试题解析：（1）由m·n＝1，得sinA－cosA＝1，
∴sin（A－）＝．∵0<A<π，∴－<A－<．
∴A－＝．∴A＝．
（2）由正弦定理，得，
sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0．
∵－π<B－C<π，∴B－C＝0，即B＝C．
又∵A＝，∴△ABC为等边三角形．
∵c＝＝，∴S＝×（）2＝．
【考点】1．三角函数的化简；2．正弦定理；3．判断三角形的形状．
50.（本小题满分12分）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的单调递增区间．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先利用向量平行的坐标公式求得，再利用二倍角的正切公式求（2）先化
简整理f（x），再把看做一个整体，求解得结果．
试题解析：解：解：，故；
所以．
（2）
令
所以的单调递增区间是
【考点】向量共线的坐标公式，二倍角的正切公式，三角函数的化简，单调区间的求法．
51.（10分）已知定义在上的函数
（1）求的值；
（2）若实数，求的最小值及取得最小值时对应的的值。

【答案】（1）（2）的最小值为此时
【解析】（1）由题意可知结合绝对值三角不等式，求得的最小值，即可求得
的值。

（2）本题考察的是求最小值的问题，根据题意知利用柯西不等式，求得的最小值及取得最小值时对应的的值。

试题解析：（1），，
从而，．
（2）由（1）知：，又，
当且仅当，
故的最小值为，此时。

【考点】（1）绝对值不等式的解法（2）柯西不等式
52.（12分）已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝；（2）A⊆（A∩B）．
【答案】（1）{a|a≤7}；（2）{a|a＜6或a＞}
【解析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a-5≤16，解不等式可得a的取值范围．；（2）由A⊆（A∩B）得A⊆B，分类讨论，A＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a的取值范围试题解析：（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．
此时2a＋1＞3a－5，
即a＜6．
若A≠∅，如图所示，
则解得6≤a≤7．
综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，
所以A∩B＝A，即A⊆B．
显然A＝∅满足条件，此时a＜6．
若A≠∅，如图所示，则或
由解得a∈∅；由解得a＞．
综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞}．
【考点】1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用
53.（本小题满分12分）设不等式的解集为集合A,关于的不等式
的解集为集合B．
（Ⅰ）若,求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】（1）先把不等式的解集求出来，得到集合A，利用十字分解法求出集合B，再
根据子集的定义求出的范围；（2）已知，说明集合A，B没有共同的元素，从而进行求解
试题解析：,
（Ⅰ）要使，需满足，解得
（Ⅱ）要使，需满足或，解得或．
【考点】1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用；3．交集及其运算
54.设A=x∣2x2+ax+2=0,B=x∣x2+3x+2a=0,A B=2，
（1）求的值及集合A，B；
（2）设全集U=A ∪B ，求（C U A ）（C U B ）； （3）写出（C U A ）∪（C U B ）的所有子集． 【答案】（1）
，
，
（2）
（3）
【解析】（1）由A B=可知是两方程的根，代入方程可求得的值，从而解方程可得到两集合；（2）利用集合运算性质可将转化为，因此求得全集U 和即可求解的值；（3）集合共有2个元素，因此有4个子集 试题解析：（1）,
,
（2） 由（1）知:
（3）
【考点】1．集合的交并补运算；2．集合的子集关系
55. （本小题满分13分）
已知二次函数满足，
（1）求的解析式； （2）画的图象； （3）求的单调区间，并写出其值域。

【答案】（1）（2）详见解析 （3）增区间为减区间为值域为 【解析】（1）将已知的代入函数式得到关于的方程组，通过解方程组得到的值，从而确定函数解析式；（2）结合二次函数性质通过描点法可作出函数图像；（3）通过观察函数图像可得到函数的单调区间和函数的最值，从而得到值域 试题解析：（1）由得：
，
即， 解得：，
∴
的解析式为
（2）的图象如图所示：
（3）由图可知：的单调增区间为，的单调减区间为，其值域为-13分
【考点】1．待定系数法求解析式；2．函数图像；3．函数单调性与最值
56.已知函数（为实常数）．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；
（2）；（3）．
【解析】（1）去绝对值，将函数化为分段函数的形式，然后借助二次函数的图像易知其单调性；（2）对于含参数的二次函数的最值计算，应对称轴与区间端点的位置关系进行讨论分别求解，
然后总结结论即可；（3）按照单调性的定义，将函数在区间上是增函数转化为
（）恒成立，从而转化为最值问题求解．
试题解析：（1）时，
的单调增区间为
的单调减区间为
（2）当，时
当时，
当时，
当时，
（3）在区间任取
函数在区间上是增函数恒成立
恒成立
当时．显然成立
当时，恒成立
当时，恒成立
综上所述，
【考点】①求函数的单调区间；②含参数的最值计算；③由单调性求参数范围．
【方法点睛】含参数的一元二次函数在区间[m，n]上的最值问题，常分两个题
型（1）对称轴确定，区间变；（2）区间确定，对称轴变．解法突破：不管是哪种题型均按照对
称轴与区间端点的位置关系分类讨论求解，即当对称轴在区间端点m的左侧（），在区
间端点m与n之间（），在端点n的右侧（）．同时注意求最值时，可能还要考。